A. Trắc nghiệm

Bài 10.17 trang 108

Đề bài: Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ một vòng quanh cạnh $AB$ ta được một hình trụ có bán kính đáy bằng độ dài đoạn thẳng:

A. $AB$. B. $CD$. C. $AD$. D. $AC$.

Lời giải:

Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AB$:

• Cạnh $AB$ trở thành trục của hình trụ → chiều cao = $AB$.
• Cạnh $AD$ vuông góc với $AB$ tại $A$, khi quay tạo ra đường tròn đáy có bán kính bằng $AD$ (vì khoảng cách từ $D$ đến trục $AB$ chính là $AD$).

Đáp án: C. $AD$.

Bài 10.18 trang 108

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 4$ cm, $BC = 5$ cm. Khi quay tam giác $ABC$ một vòng quanh cạnh $AC$ ta được một hình nón có chiều cao bằng:

A. $4$ cm. B. $3$ cm. C. $5$ cm. D. $9$ cm.

Lời giải:

Tính $AC$: tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lí Pythagore:

$$AC^2 = BC^2 – AB^2 = 5^2 – 4^2 = 25 – 16 = 9 ;;\Rightarrow;; AC = 3 \text{ (cm)}.$$

Khi quay tam giác $ABC$ vuông tại $A$ quanh cạnh $AC$:

• $AC$ trở thành trục → chiều cao hình nón = $AC = 3$ cm.

Đáp án: B. $3$ cm.

Bài 10.19 trang 108

Đề bài: Diện tích mặt cầu có đường kính $10$ cm là:

A. $10\pi$ cm². B. $400\pi$ cm². C. $50\pi$ cm². D. $100\pi$ cm².

Lời giải:

Đường kính $10$ cm → bán kính $R = 5$ cm.

$$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 5^2 = 100\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Đáp án: D. $100\pi$ cm².

Bài 10.20 trang 108

Đề bài: Cho hình nón có bán kính đáy $R = 2$ cm, độ dài đường sinh $l = 5$ cm. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng:

A. $\dfrac{10\pi}{3}$ cm². B. $\dfrac{50\pi}{3}$ cm². C. $20\pi$ cm². D. $10\pi$ cm².

Lời giải:

$$S_{xq} = \pi R l = \pi \cdot 2 \cdot 5 = 10\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Đáp án: D. $10\pi$ cm².

Bài 10.21 trang 108

Đề bài: Một mặt phẳng đi qua tâm hình cầu, cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích $9\pi$ cm². Thể tích của hình cầu bằng:

A. $972\pi$ cm³. B. $36\pi$ cm³. C. $6\pi$ cm³. D. $81\pi$ cm³.

Lời giải:

Vì mặt phẳng đi qua tâm hình cầu, mặt cắt là đường tròn lớn có bán kính bằng bán kính $R$ của hình cầu.

$$\pi R^2 = 9\pi ;;\Rightarrow;; R^2 = 9 ;;\Rightarrow;; R = 3 \text{ (cm)}.$$

$$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Đáp án: B. $36\pi$ cm³.

B. Tự luận

Bài 10.22 trang 108

Đề bài: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $20$ cm, chiều cao bằng $30$ cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Tính thể tích của hình trụ.

Lời giải:

Hình trụ có $R = 20$ cm và $h = 30$ cm.

a) Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 20 \cdot 30 = 1\,200\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$

b) Thể tích:

$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 20^2 \cdot 30 = \pi \cdot 400 \cdot 30 = 12\,000\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Vậy $S_{xq} = 1\,200\pi$ cm² và $V = 12\,000\pi$ cm³.

Bài 10.23 trang 108

Đề bài: Cho hình nón có bán kính đáy bằng $9$ cm, độ dài đường sinh bằng $15$ cm (H.10.34).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

c) Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy. Tính diện tích toàn phần của hình nón đã cho.

Lời giải:

Hình nón có $R = 9$ cm, $l = 15$ cm.

a) Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = \pi R l = \pi \cdot 9 \cdot 15 = 135\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$

b) Tính chiều cao và thể tích:

Theo định lí Pythagore áp dụng cho tam giác $SOB$ vuông tại $O$ (xem Hình 10.34):

$$h^2 = l^2 – R^2 = 15^2 – 9^2 = 225 – 81 = 144 ;;\Rightarrow;; h = 12 \text{ (cm)}.$$

Thể tích hình nón:

$$V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 12 = 324\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$

c) Diện tích toàn phần:

Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}} = \pi R^2 = \pi \cdot 81 = 81\pi$ (cm²).

$$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = 135\pi + 81\pi = 216\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Vậy $S_{xq} = 135\pi$ cm², $V = 324\pi$ cm³, $S_{tp} = 216\pi$ cm².

Bài 10.24 trang 109

Đề bài: Quả bóng rổ sử dụng trong thi đấu có dạng hình cầu với đường kính bằng $24$ cm (H.10.35). Hãy tính:

a) Diện tích bề mặt quả bóng.

b) Thể tích của quả bóng.

Lời giải:

Đường kính $24$ cm → bán kính $R = \dfrac{24}{2} = 12$ cm.

a) Diện tích bề mặt quả bóng (= diện tích mặt cầu):

$$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 12^2 = 576\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$

b) Thể tích quả bóng:

$$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 12^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1\,728 = 2\,304\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Vậy diện tích bề mặt quả bóng là $576\pi$ cm² và thể tích là $2\,304\pi$ cm³.

Bài 10.25 trang 109

Đề bài: Đèn trời có dạng hình trụ không có một đáy với đường kính đáy bằng $0{,}8$ m và thân đèn cao $1$ m (H.10.36). Tính diện tích giấy dán bên ngoài đèn trời (coi các mép dán không đáng kể).

Lời giải:

Đường kính $0{,}8$ m → bán kính $R = \dfrac{0{,}8}{2} = 0{,}4$ m.

Đèn trời không có đáy (mặt trên không có giấy), nên diện tích giấy dán chỉ là diện tích xung quanh của hình trụ:

$$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 0{,}4 \cdot 1 = 0{,}8\pi \text{ (m}^2\text{)}.$$

Tính giá trị xấp xỉ:

$$S \approx 0{,}8 \cdot 3{,}14 \approx 2{,}51 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Vậy diện tích giấy dán bên ngoài đèn trời khoảng $0{,}8\pi$ m² $\approx 2{,}51$ m².

Bài 10.26 trang 109

Đề bài: Các hình dưới đây (H.10.37) được tạo thành từ các nửa hình cầu, hình trụ và hình nón (có cùng bán kính đáy). Tính thể tích của các hình đó theo kích thước đã cho.

Lời giải:

Hình a): Bán kính đáy $R = \dfrac{8}{2} = 4$ cm.

Thể tích hình trụ ($R = 4$, $h = 6$): $$V_1 = \pi R^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 96\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Thể tích nửa hình cầu ($R = 4$): $$V_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \dfrac{128\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Tổng: $$V = V_1 + V_2 = 96\pi + \dfrac{128\pi}{3} = \dfrac{288\pi + 128\pi}{3} = \dfrac{416\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Hình b): Bán kính đáy $R = 4$ cm, chiều cao hình nón $h = 10$ cm.

Thể tích hình nón: $$V_1 = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 10 = \dfrac{160\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Nửa hình cầu ($R = 4$): $$V_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \dfrac{128\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Tổng: $$V = V_1 + V_2 = \dfrac{160\pi}{3} + \dfrac{128\pi}{3} = \dfrac{288\pi}{3} = 96\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Hình c): Bán kính $R = 1$ cm.

Thể tích hình trụ ($R = 1$, $h = 5$): $$V_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 5 = 5\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Thể tích hình nón ($R = 1$, $h = 5$): $$V_2 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 5 = \dfrac{5\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Thể tích nửa hình cầu ($R = 1$): $$V_3 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \dfrac{2\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Tổng: $$V = V_1 + V_2 + V_3 = 5\pi + \dfrac{5\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{15\pi + 5\pi + 2\pi}{3} = \dfrac{22\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Vậy thể tích: Hình a là $\dfrac{416\pi}{3}$ cm³; Hình b là $96\pi$ cm³; Hình c là $\dfrac{22\pi}{3}$ cm³.

Bài 10.27 trang 109

Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính thể tích của hình nón có đỉnh là tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ và đáy là hình tròn tiếp xúc với các cạnh của hình vuông $A’B’C’D’$ (H.10.38).

Lời giải:

Bước 1: Xác định chiều cao hình nón.

Đỉnh hình nón là tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ (mặt trên hình lập phương), đáy hình nón nằm trên mặt phẳng $A’B’C’D’$ (mặt dưới). Vậy chiều cao hình nón bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ABCD$ và $A’B’C’D’$, đó chính là cạnh hình lập phương:

$$h = a.$$

Bước 2: Xác định bán kính đáy.

Đáy hình nón là đường tròn nội tiếp hình vuông $A’B’C’D’$ cạnh $a$. Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông bằng nửa cạnh (vì đường tròn tiếp xúc với cả 4 cạnh):

$$R = \dfrac{a}{2}.$$

Bước 3: Tính thể tích.

$$V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \cdot a = \dfrac{1}{3}\pi \cdot \dfrac{a^2}{4} \cdot a = \dfrac{a^3 \pi}{12} \text{ (đvtt)}.$$

Vậy thể tích hình nón là $\dfrac{a^3 \pi}{12}$ (đơn vị thể tích).

Bài 10.28 trang 110

Đề bài: Bạn Khôi cho một hòn đá cảnh vào một bể nuôi cá hình trụ có đường kính đáy bằng $20$ cm thì nước trong bể dâng lên $3$ cm. Hỏi hòn đá cảnh đó có thể tích bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Khi thả hòn đá vào bể nước, lượng nước dâng lên trong bể đúng bằng thể tích hòn đá (vì hòn đá đã chiếm chỗ trong nước).

Bước 1: Bán kính đáy bể.

$$R = \dfrac{20}{2} = 10 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Thể tích phần nước dâng thêm.

Phần nước dâng thêm là một “lát” hình trụ có bán kính đáy $R = 10$ cm và chiều cao $\Delta h = 3$ cm:

$$V = \pi R^2 \cdot \Delta h = \pi \cdot 10^2 \cdot 3 = 300\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Vậy thể tích hòn đá cảnh là $300\pi$ cm³.

Bài 10.29 trang 110

Đề bài: Một chiếc kem ốc quế gồm hai phần: Phần phía dưới dạng hình nón có chiều cao gấp đôi bán kính đáy, phần trên là nửa hình cầu có đường kính bằng đường kính đáy của hình nón phía dưới (H.10.39). Thể tích phần kem phía trên bằng $200$ cm³. Tính thể tích của cả chiếc kem.

Lời giải:

Gọi $r$ là bán kính đáy hình nón (cũng là bán kính nửa hình cầu, vì 2 phần có cùng đường kính). Theo đề bài, chiều cao hình nón:

$$h = 2r.$$

Bước 1: Tính thể tích phần nón theo $r$.

$$V_{\text{nón}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2r = \dfrac{2\pi r^3}{3}.$$

Bước 2: Tính thể tích nửa hình cầu theo $r$.

$$V_{\text{nửa cầu}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2\pi r^3}{3}.$$

Nhận xét: $V_{\text{nón}} = V_{\text{nửa cầu}}$ (cùng bằng $\dfrac{2\pi r^3}{3}$).

Bước 3: Tính thể tích cả chiếc kem.

Vì thể tích phần kem phía trên (nửa hình cầu) bằng $200$ cm³, mà $V_{\text{nón}} = V_{\text{nửa cầu}} = 200$ cm³, nên:

$$V_{\text{cả kem}} = V_{\text{nón}} + V_{\text{nửa cầu}} = 200 + 200 = 400 \text{ (cm}^3\text{)}.$$

Vậy thể tích của cả chiếc kem là $400$ cm³.

Bài 10.30 trang 110

Đề bài: Mái nhà hát Cao Văn Lầu và Trung tâm triển lãm Văn hoá Nghệ thuật tỉnh Bạc Liêu có hình dáng ba chiếc nón lá lớn nhất Việt Nam (H.10.40). Tính diện tích một mái nhà hình nón có đường kính bằng $45$ m và chiều cao bằng $24$ m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của m²).

Lời giải:

Bước 1: Bán kính đáy mái nhà.

$$R = \dfrac{45}{2} = 22{,}5 \text{ (m)}.$$

Bước 2: Tính đường sinh.

Áp dụng định lí Pythagore (tam giác đường cao – bán kính – đường sinh vuông tại tâm đáy):

$$l^2 = R^2 + h^2 = 22{,}5^2 + 24^2 = 506{,}25 + 576 = 1\,082{,}25;$$

$$l = \sqrt{1\,082{,}25} \approx 32{,}90 \text{ (m)}.$$

Bước 3: Diện tích một mái nhà.

Diện tích một mái nhà chính là diện tích xung quanh hình nón:

$$S = \pi R l \approx 3{,}14 \cdot 22{,}5 \cdot 32{,}90 \approx 2\,325 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Vậy diện tích một mái nhà khoảng $2\,325$ m².

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du