1. Tính toán lượng chất tan và dung môi

HĐ1 (trang 114)

Đề bài: Cần tính số gam đường cát ($x$) và số gam nước tinh khiết ($y$) để tạo ra $n = 1{\;}000$ ml dung dịch có nồng độ $a\%$. Biết khối lượng riêng của đường cát là $d = 1{,}1$ g/ml và $1$ lít nước tinh khiết nặng $1$ kg.

a) Lập biểu thức tính thể tích và nồng độ dung dịch để chứng minh $x, y$ thoả mãn hệ phương trình

$$\begin{cases} \dfrac{x}{1{,}1} + y = 1{\;}000 \\[2mm] \dfrac{x}{x + y} \cdot 100 = a. \end{cases}$$

b) Biến đổi hệ trên về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, rồi tìm nghiệm $(x; y)$.

c) Áp dụng: tính lượng nước và đường cát để pha $n = 1{\;}000$ ml nước đường với nồng độ $a = 63\%$.

Lời giải:

a) Gọi $x$ (gam) là lượng đường cát, $y$ (gam) là lượng nước cần dùng.

Về thể tích:

• Đường cát có khối lượng riêng $d = 1{,}1$ g/ml, mà thể tích $=$ khối lượng $:$ khối lượng riêng, nên $x$ gam đường chiếm thể tích $\dfrac{x}{1{,}1}$ (ml).
• Vì $1$ lít $= 1{\;}000$ ml nước nặng $1$ kg $= 1{\;}000$ g, suy ra $1$ ml nước nặng $1$ g. Do đó $y$ gam nước chiếm thể tích $y$ (ml).
• Thể tích dung dịch bằng tổng thể tích đường và nước, và bằng $1{\;}000$ ml, nên:

$$\dfrac{x}{1{,}1} + y = 1{\;}000. \quad (1)$$

Về nồng độ:

• Khối lượng chất tan (đường) là $m_{ct} = x$ (gam).
• Khối lượng dung dịch là $m_{dd} = x + y$ (gam) — gồm đường và nước.
• Áp dụng công thức $C\% = \dfrac{m_{ct}}{m_{dd}} \cdot 100\%$ với nồng độ cần đạt là $a\%$:

$$\dfrac{x}{x + y} \cdot 100 = a. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta thấy $x, y$ thoả mãn hệ phương trình cần chứng minh.

b) Ta biến đổi lần lượt hai phương trình.

Phương trình $(1)$: nhân cả hai vế với $1{,}1$:

$$x + 1{,}1y = 1{\;}100. \quad (1′)$$

Phương trình $(2)$: nhân chéo rồi chuyển vế:

$$100x = a(x + y) ;\Leftrightarrow; 100x = ax + ay ;\Leftrightarrow; (100 – a)x – ay = 0. \quad (2′)$$

Vậy hệ trở thành hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

$$\begin{cases} x + 1{,}1y = 1{\;}100 \\ (100 – a)x – ay = 0. \end{cases}$$

Giải hệ (phương pháp thế). Từ $(2′)$, với $a \neq 0$ ta rút $y$ theo $x$:

$$(100 – a)x = ay ;\Rightarrow; y = \dfrac{(100 – a)x}{a}.$$

Thế vào $(1′)$:

$$x + 1{,}1 \cdot \dfrac{(100 – a)x}{a} = 1{\;}100 ;\Leftrightarrow; \dfrac{\big[a + 1{,}1(100 – a)\big] x}{a} = 1{\;}100.$$

Rút gọn phần trong ngoặc: $a + 110 – 1{,}1a = 110 – 0{,}1a$. Do đó:

$$\dfrac{(110 – 0{,}1a)x}{a} = 1{\;}100 ;\Rightarrow; x = \dfrac{1{\;}100a}{110 – 0{,}1a}.$$

Thay lại để tìm $y$:

$$y = \dfrac{(100 – a)x}{a} = \dfrac{(100 – a)}{a} \cdot \dfrac{1{\;}100a}{110 – 0{,}1a} = \dfrac{1{\;}100(100 – a)}{110 – 0{,}1a}.$$

Vậy nghiệm của hệ là:

$$\begin{cases} x = \dfrac{1{\;}100a}{110 – 0{,}1a} \\[2mm] y = \dfrac{1{\;}100(100 – a)}{110 – 0{,}1a}. \end{cases}$$

c) Thay $a = 63$ vào công thức nghiệm.

Trước hết tính mẫu số: $110 – 0{,}1 \cdot 63 = 110 – 6{,}3 = 103{,}7$.

Lượng đường:

$$x = \dfrac{1{\;}100 \cdot 63}{103{,}7} = \dfrac{69{\;}300}{103{,}7} \approx 668{,}3 \text{ (g)}.$$

Lượng nước:

$$y = \dfrac{1{\;}100 \cdot (100 – 63)}{103{,}7} = \dfrac{1{\;}100 \cdot 37}{103{,}7} = \dfrac{40{\;}700}{103{,}7} \approx 392{,}5 \text{ (g)}.$$

Vậy để pha $1{\;}000$ ml nước đường nồng độ $63\%$, cần khoảng $668{,}3$ g đường và $392{,}5$ g nước.

(Kiểm tra: nồng độ $= \dfrac{668{,}3}{668{,}3 + 392{,}5} \cdot 100 \approx 63\%$; thể tích $= \dfrac{668{,}3}{1{,}1} + 392{,}5 \approx 1{\;}000$ ml — hợp lí.)

2. Xây dựng bảng tính Excel

HĐ2 (trang 115)

Đề bài: Xây dựng bảng tính Excel để tự động tính lượng chất tan và lượng nước cần thiết.

Lời giải:

Mục này là hoạt động thực hành trên máy tính. Ta tạo bảng gồm $5$ cột như sau (theo mẫu trong SGK):

Cách nhập công thức (Bước 3): dùng đúng nghiệm ở HĐ1, nhưng viết cho $n$ và $d$ bất kì. Từ hệ $\dfrac{x}{d} + y = n$ và $\dfrac{x}{x+y}\cdot 100 = a$, làm tương tự HĐ1 ta được:

$$x = \dfrac{n \cdot d \cdot a}{a + d(100 – a)}, \qquad y = n – \dfrac{x}{d}.$$

Giả sử số liệu nhập ở dòng $2$, công thức gõ vào hai ô như sau:

• Ô D2 (lượng chất tan): =B2*C2*A2/(A2 + C2*(100 - A2))
• Ô E2 (lượng nước): =B2 - D2/C2

Bước 4: làm tròn kết quả đến một chữ số sau dấu phẩy, thêm dấu phân cách hàng nghìn cho cột thể tích và khối lượng, rồi đóng khung cho bảng.

Ví dụ nhập $A2 = 63$; $B2 = 1{\;}000$; $C2 = 1{,}1$ thì bảng trả về $D2 \approx 668{,}3$ và $E2 \approx 392{,}5$ — trùng với kết quả HĐ1c ở trên.

3. Thực hành

Thực hành (trang 115)

Đề bài: Tính số gam muối tinh khiết và số gam nước tinh khiết cần thiết để pha được $1{\;}000$ ml dung dịch nước muối sinh lí $0{,}9\%$, biết khối lượng riêng của muối tinh khiết là $2{,}16$ g/ml.

Lời giải:

Cách làm hoàn toàn giống HĐ1, chỉ thay khối lượng riêng đường $1{,}1$ bằng khối lượng riêng muối $2{,}16$ và nồng độ $a = 0{,}9$.

Bước 1: Lập hệ phương trình. Gọi $x$ (gam) là lượng muối, $y$ (gam) là lượng nước.

• Thể tích: $\dfrac{x}{2{,}16} + y = 1{\;}000$. Nhân hai vế với $2{,}16$: $\quad x + 2{,}16y = 2{\;}160. \quad (1′)$
• Nồng độ: $\dfrac{x}{x + y} \cdot 100 = 0{,}9 \Rightarrow 100x = 0{,}9(x + y) \Rightarrow (100 – 0{,}9)x – 0{,}9y = 0$, tức $\quad 99{,}1x – 0{,}9y = 0. \quad (2′)$

Bước 2: Giải hệ bằng phương pháp thế. Từ $(2′)$: $;99{,}1x = 0{,}9y \Rightarrow y = \dfrac{99{,}1x}{0{,}9}$.

Thế vào $(1′)$:

$$x + 2{,}16 \cdot \dfrac{99{,}1x}{0{,}9} = 2{\;}160.$$

Tính hệ số: $\dfrac{2{,}16 \cdot 99{,}1}{0{,}9} = \dfrac{214{,}056}{0{,}9} = 237{,}84$. Khi đó:

$$x + 237{,}84x = 2{\;}160 ;\Leftrightarrow; 238{,}84x = 2{\;}160 ;\Rightarrow; x = \dfrac{2{\;}160}{238{,}84} \approx 9{,}0 \text{ (g)}.$$

Bước 3: Tìm lượng nước. Thay vào $(1′)$: $;y = \dfrac{2{\;}160 – x}{2{,}16} \approx \dfrac{2{\;}160 – 9{,}0}{2{,}16} \approx 995{,}8 \text{ (g)}$.

Vậy để pha $1{\;}000$ ml nước muối sinh lí $0{,}9\%$, cần khoảng $9{,}0$ g muối và $995{,}8$ g nước.

(Kiểm tra: nồng độ $= \dfrac{9{,}0}{9{,}0 + 995{,}8} \cdot 100 \approx 0{,}9\%$; thể tích $= \dfrac{9{,}0}{2{,}16} + 995{,}8 \approx 1{\;}000$ ml — hợp lí.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du