Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn
Cắt nhau, tiếp xúc trong/ngoài, ngoài nhau và đựng nhau
Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ với $R \geq R'$ (quy ước đường tròn $(O)$ có bán kính lớn hơn hoặc bằng).
Hai điểm chung gọi là hai giao điểm.
🔵 Cách hiểu trực quan: Hai đường tròn cắt nhau khi khoảng cách giữa hai tâm $OO'$ nằm giữa hiệu và tổng hai bán kính. Nếu $OO'$ quá nhỏ → đường tròn này nằm trong đường tròn kia; nếu $OO'$ quá lớn → hai đường tròn tách rời.
Cho $OO' = 6$ cm. Giải thích vì sao $(O; 5\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$ cắt nhau.
Điểm chung gọi là tiếp điểm.
Có hai trường hợp:
Cho $OO' = 6$ cm. Giải thích vì sao $(O; 4\text{ cm})$ và $(O'; 2\text{ cm})$ tiếp xúc nhau. Tiếp xúc trong hay ngoài?
Cho $(O; 7\text{ cm})$ và $(O'; 3\text{ cm})$ với $OO' = 4$ cm. Hai đường tròn ở vị trí nào?
Có hai trường hợp:
🔵 Bảng tổng kết 5 vị trí tương đối:
| Vị trí tương đối | Số điểm chung | Hệ thức ($R \geq R'$) |
|---|---|---|
| Đựng nhau | $0$ | $OO' < R - R'$ |
| Tiếp xúc trong | $1$ | $OO' = R - R'$ |
| Cắt nhau | $2$ | $R - R' < OO' < R + R'$ |
| Tiếp xúc ngoài | $1$ | $OO' = R + R'$ |
| Ngoài nhau | $0$ | $OO' > R + R'$ |
$\;\;$ đựng nhau → tiếp xúc trong → cắt nhau → tiếp xúc ngoài → ngoài nhau.
Hai mốc quan trọng: $|R - R'|$ và $R + R'$.
SAI! "Không cắt nhau" nghĩa là không có đúng 2 điểm chung — nhưng vẫn có thể có 1 điểm chung (tiếp xúc). Còn "không giao nhau" mới có nghĩa là 0 điểm chung.
🔵 Dạng 1 — Ba điểm thẳng hàng (tiếp xúc): Khi đề cho ba điểm $O, A, O'$ thẳng hàng, ta cần xét vị trí của $A$ để biết hai đường tròn tiếp xúc trong hay ngoài.
Cho ba điểm thẳng hàng $O, A, O'$. Đặt $R = OA$, $R' = O'A$. Xét vị trí tương đối hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ trong các trường hợp:
a) $A$ nằm giữa $O$ và $O'$:
b) $O$ nằm giữa $A$ và $O'$:
c) $O'$ nằm giữa $A$ và $O$:
🔵 Dạng 2 — Chứng minh đường thẳng song song: Khi hai đường tròn tiếp xúc + có đường thẳng cắt qua tiếp điểm, kết hợp tính chất:
Hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $B$ và cắt $(O')$ tại $C$. Chứng minh $OB \parallel O'C$.
| Dạng bài | Phương pháp chính |
|---|---|
| Xác định vị trí tương đối | So sánh $OO'$ với $R + R'$ và $|R - R'|$ |
| Ba điểm thẳng hàng (tiếp xúc) | Viết hệ thức $OO'$ qua $OA, O'A$ → xác định tiếp xúc trong/ngoài |
| Bài toán tổng hợp | Tiếp điểm thẳng hàng hai tâm + tam giác cân + tính chất góc |
Luyện tập vị trí tương đối hai đường tròn!
22 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du