Menu Học Tập

Bài tập Toán 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (25 bài tập)

Lớp 9 · Toán Bài 2

Giải Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số và sử dụng máy tính cầm tay

1
Phương pháp thế
▼

Ý tưởng: Từ một phương trình của hệ, ta rút một ẩn theo ẩn còn lại, rồi thế vào phương trình kia. Khi đó phương trình còn lại chỉ còn một ẩn — và ta đã biết cách giải phương trình một ẩn từ trước.

Các bước giải bằng phương pháp thế
1
Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để thu được phương trình chỉ chứa một ẩn.
2
Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
💡Mẹo chọn ẩn để rút: Nên chọn phương trình có ẩn với hệ số bằng $1$ hoặc $-1$ để rút (tránh xuất hiện phân số khi biến đổi).
Ví dụ 1 — Hệ có nghiệm duy nhất

Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Bước 1 — Rút $y$ theo $x$ từ phương trình thứ nhất:

$2x - y = 3$$\Rightarrow y = 2x - 3$

Bước 2 — Thế vào phương trình thứ hai:

→$x + 2(2x - 3) = 4$
→$x + 4x - 6 = 4$
→$5x = 10 \Rightarrow x = 2$
→$y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất $(2;\, 1)$.

🔵 Ba trường hợp có thể xảy ra khi giải hệ:

1
Phương trình một ẩn có nghiệm duy nhất → Hệ có nghiệm duy nhất
Trường hợp phổ biến — như Ví dụ 1 ở trên.
2
Xuất hiện $0x = k$ (với $k \neq 0$) → Hệ vô nghiệm
Ví dụ 2: Giải hệ $\begin{cases} x - y = -2 \\ 2x - 2y = 8 \end{cases}$.
Từ PT1: $x = y - 2$. Thế vào PT2: $2(y - 2) - 2y = 8 \Rightarrow 2y - 4 - 2y = 8 \Rightarrow 0y = 12$ (không có $y$ nào thoả mãn).
→ Hệ vô nghiệm.
3
Xuất hiện $0x = 0$ → Hệ có vô số nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ $\begin{cases} -x + y = -2 \\ 3x - 3y = 6 \end{cases}$.
Từ PT1: $y = x - 2$. Thế vào PT2: $3x - 3(x - 2) = 6 \Rightarrow 0x = 0$ (mọi $x$ đều thoả).
→ Hệ có vô số nghiệm dạng $(x;\, x - 2)$ với $x \in \mathbb{R}$.
2
Phương pháp cộng đại số
▼

Ý tưởng: Nếu hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình đối nhau (tổng bằng 0) hoặc bằng nhau, thì khi cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình, ẩn đó sẽ bị triệt tiêu, còn lại phương trình chỉ chứa một ẩn.

➕
Hệ số ĐỐI NHAU
→ CỘNG từng vế
➖
Hệ số BẰNG NHAU
→ TRỪ từng vế
1
Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để thu được phương trình chỉ chứa một ẩn.
2
Giải phương trình một ẩn, từ đó thế ngược để tìm ẩn còn lại.
Ví dụ 4 — Hệ số đối nhau, cộng từng vế

Giải hệ $\begin{cases} -2x + 5y = 12 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases}$.

Hệ số của $x$: $-2$ và $2$ — đối nhau → cộng từng vế:

→$(-2x + 2x) + (5y + 3y) = 12 + 4$
→$8y = 16 \Rightarrow y = 2$
→Thế $y = 2$ vào PT2: $2x + 3 \cdot 2 = 4 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(-1;\, 2)$.

Ví dụ 5 — Hệ số bằng nhau, trừ từng vế

Giải hệ $\begin{cases} 5x - 7y = 9 \\ 5x - 3y = 1 \end{cases}$.

Hệ số của $x$: $5$ và $5$ — bằng nhau → trừ từng vế (PT1 − PT2):

→$(5x - 5x) + (-7y + 3y) = 9 - 1$
→$-4y = 8 \Rightarrow y = -2$
→Thế $y = -2$ vào PT1: $5x - 7 \cdot (-2) = 9 \Rightarrow 5x = -5 \Rightarrow x = -1$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(-1;\, -2)$.

🔵 Khi hệ số không bằng nhau cũng không đối nhau: Ta nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp để tạo ra hệ số bằng nhau hoặc đối nhau, rồi áp dụng phương pháp cộng đại số như bình thường.

Ví dụ 6 — Cần nhân để tạo hệ số đối nhau

Giải hệ $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x - 3y = -4 \end{cases}$.

Bước 1 — Tạo hệ số đối nhau cho ẩn $y$: Nhân PT1 với $3$, PT2 với $2$:

→$\begin{cases} 9x + 6y = 21 \\ 4x - 6y = -8 \end{cases}$
→Hệ số $y$: $6$ và $-6$ — đối nhau ✓

Bước 2 — Cộng từng vế:

→$13x = 13 \Rightarrow x = 1$
→Thế $x = 1$ vào PT1 gốc: $3 + 2y = 7 \Rightarrow y = 2$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(1;\, 2)$.

📌Lưu ý: Phương pháp cộng đại số cũng có thể dẫn đến hệ vô nghiệm (xuất hiện $0x + 0y = k$ với $k \neq 0$) hoặc vô số nghiệm (xuất hiện $0x + 0y = 0$).
3
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT)
▼

Ngoài hai phương pháp giải bằng tay, ta có thể dùng máy tính cầm tay (loại có phím $\boxed{\text{MODE}}$) để giải hệ phương trình rất nhanh.

🔵 Trước hết: Đưa hệ về dạng chuẩn $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ rồi thực hiện 3 bước:

Các bước trên máy

Bước 1: Vào chức năng giải hệ:

MODE → 5 → 1

Màn hình hiện con trỏ ở vị trí $a_1$.

Bước 2: Nhập lần lượt 6 hệ số:

$a_1$ = $b_1$ = $c_1$ = $a_2$ = $b_2$ = $c_2$ =

Bước 3: Đọc kết quả: bấm $\boxed{=}$ để xem $x$, bấm tiếp $\boxed{=}$ để xem $y$.

⚠️Lưu ý quan trọng:
• Nếu phương trình chưa ở dạng chuẩn (ví dụ $8x - 2y - 6 = 0$), cần chuyển về dạng $8x - 2y = 6$ trước khi nhập.
• Máy hiện "Infinite Sol" → hệ có vô số nghiệm.
• Máy hiện "No-Solution" → hệ vô nghiệm.
4
Hệ chứa tham số & Bài toán thực tế
▼

🔵 Hệ phương trình chứa tham số: Là hệ có chứa thêm chữ cái khác (như $m$, $k$,...). Khi đề yêu cầu giải hệ tại một giá trị cụ thể của tham số, ta:

1
Thay giá trị của tham số vào hệ → thu được hệ phương trình cụ thể (chỉ còn $x, y$).
2
Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.
Ví dụ 7 — Hệ chứa tham số

Cho hệ $\begin{cases} 2x - y = -3 \\ -2m^2x + 9y = 3(m + 3) \end{cases}$. Giải hệ khi $m = -2$.

Bước 1 — Thay $m = -2$ vào PT2:

→$-2 \cdot (-2)^2 \cdot x + 9y = 3(-2 + 3)$
→$-8x + 9y = 3$
→Hệ: $\begin{cases} 2x - y = -3 \\ -8x + 9y = 3 \end{cases}$

Bước 2 — Giải bằng PP cộng: Nhân PT1 với $4$ rồi cộng:

→$8x - 4y = -12$, cộng với $-8x + 9y = 3$
→$5y = -9 \Rightarrow y = -\dfrac{9}{5}$
→$2x = -3 - \dfrac{9}{5} = -\dfrac{24}{5} \Rightarrow x = -\dfrac{12}{5}$

Kết luận: Khi $m = -2$, nghiệm là $\left(-\dfrac{12}{5};\, -\dfrac{9}{5}\right)$.

🔵 Bài toán thực tế — Lập hệ phương trình:

1
Đọc kỹ đề, xác định hai đại lượng chưa biết → gọi ẩn $x, y$ và nêu điều kiện.
2
Dịch các giả thiết của đề thành các phương trình bậc nhất hai ẩn.
3
Lập hệ và giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
4
Kiểm tra điều kiện thực tế của nghiệm rồi kết luận.
Ví dụ 8 — Bài toán mảnh vườn cải bắp

Một mảnh vườn được chia thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Biết:
• Nếu tăng thêm $8$ luống và mỗi luống trồng ít đi $3$ cây thì tổng số cây giảm $108$ cây.
• Nếu giảm $4$ luống và mỗi luống trồng thêm $2$ cây thì tổng số cây tăng $64$ cây.
Tính tổng số cây cải bắp.

🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 🥬 x luống — mỗi luống y cây

Bước 1 — Gọi ẩn:

$x$: số luống ($x \in \mathbb{N}^*$)
$y$: số cây/luống ($y \in \mathbb{N}^*$)
Tổng số cây: $xy$

Bước 2 — Lập phương trình:

• GT1: $(x + 8)(y - 3) = xy - 108$
→$xy - 3x + 8y - 24 = xy - 108 \Rightarrow -3x + 8y = -84$
• GT2: $(x - 4)(y + 2) = xy + 64$
→$xy + 2x - 4y - 8 = xy + 64 \Rightarrow x - 2y = 36$

Bước 3 — Giải hệ $\begin{cases} -3x + 8y = -84 \\ x - 2y = 36 \end{cases}$ bằng PP thế: từ PT2: $x = 2y + 36$, thế vào PT1:

→$-3(2y + 36) + 8y = -84$
→$2y = 24 \Rightarrow y = 12$, $x = 60$

Kết luận: Mảnh vườn có $60$ luống, mỗi luống $12$ cây → tổng $\mathbf{720}$ cây cải bắp.

5
Tổng kết & ôn tập thêm
▼
Phương phápKhi nào nên dùng
PP thếKhi có ẩn với hệ số $1$ hoặc $-1$, dễ rút theo ẩn kia.
PP cộng đại sốKhi hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau (hoặc dễ tạo ra bằng cách nhân).
Máy tính cầm tayKhi cần kiểm tra nhanh hoặc hệ số là phân số / số thập phân phức tạp.
Kết quả khi giảiKết luận
Tìm được giá trị duy nhất của $x, y$Hệ có nghiệm duy nhất
Xuất hiện $0x = k$ ($k \neq 0$)Hệ vô nghiệm
Xuất hiện $0x = 0$Hệ có vô số nghiệm
📚 Để ôn lại đầy đủ kiến thức, công thức, mẹo giải và các thông tin chi tiết khác, các em xem bài lý thuyết tại:
🔗 Xem bài lý thuyết chi tiết
1
—
Điểm: 0/25
🧮

Luyện tập giải hệ phương trình nào!

25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 9 Bài 32: Hình cầu (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 31: Hình trụ và hình nón (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 30: Đa giác đều (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 29: Tứ giác nội tiếp (20 bài tập) ( 02/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác (20 bài tập) ( 02/05 )