Bất Đẳng Thức Và Tính Chất
Khái niệm bất đẳng thức và các tính chất với phép cộng, phép nhân
🔵 Nhắc lại thứ tự trên tập số thực: Với hai số $a$ và $b$ bất kỳ, có ba trường hợp xảy ra:
Trên trục số: điểm bên trái biểu diễn số nhỏ hơn, điểm bên phải biểu diễn số lớn hơn.
$a$ là vế trái, $b$ là vế phải.
🔵 Hai bất đẳng thức cùng chiều / ngược chiều:
(cùng dấu $<$)
(một dấu $<$, một dấu $>$)
Xác định vế trái, vế phải của các bất đẳng thức:
🔵 Tính chất bắc cầu:
Tương tự cho các dấu $>$, $\geq$, $\leq$. Tính chất này rất hữu ích khi so sánh gián tiếp hai biểu thức thông qua một giá trị trung gian.
🔵 Cách viết bất đẳng thức từ lời văn — bảng quy đổi:
| Cụm từ trong đề | Kí hiệu |
|---|---|
| "lớn hơn", "trên", "hơn" | $>$ |
| "nhỏ hơn", "dưới", "kém" | $<$ |
| "ít nhất", "không nhỏ hơn", "tối thiểu", "từ ... trở lên" | $\geq$ |
| "nhiều nhất", "không lớn hơn", "không vượt quá", "tối đa" | $\leq$ |
| "là số dương" | $> 0$ |
| "là số âm" | $< 0$ |
Khi cộng cùng một số $c$ vào hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu.
Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$.
(Tương tự cho $\leq$ và $\geq$ — luôn giữ chiều.)
Ví dụ: so sánh $19 + 100$ và $-3 + 100$ → chỉ cần so sánh $19$ và $-3$ → $19 > -3$ → $19 + 100 > -3 + 100$.
a) So sánh $25 + 100$ và $-15 + 100$.
b) So sánh $\sqrt{2} + 5$ và $7$.
Biết $a + 1954 < b + 1954$, hãy so sánh $a$ và $b$.
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số, kết quả phụ thuộc vào dấu của số đó:
→ $ac < b\,c$
(GIỮ chiều)
→ $ac > b\,c$
(ĐỔI chiều!)
So sánh $5 \cdot (-3)$ và $5 \cdot (-1)$.
So sánh $(-4) \cdot (-3)$ và $(-4) \cdot (-1)$.
Cho $a < b$, hãy so sánh:
a) $5a + 7$ và $5b + 7$:
b) $-3a - 9$ và $-3b - 9$:
Biết $-2a > -2b$, hãy so sánh $a$ và $b$.
🔵 Các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức thường dùng:
Chứng minh $\dfrac{2026}{2025} > \dfrac{2023}{2024}$.
Vậy $\dfrac{2026}{2025} > \dfrac{2023}{2024}$ (đpcm).
Chứng minh $\dfrac{34}{11} > \dfrac{26}{9}$.
🔵 Bài toán thực tế dẫn đến bất đẳng thức:
Một nhà tài trợ tổ chức dã ngoại với tổng kinh phí $30$ triệu đồng. Chi phí cố định thuê dịch vụ và phòng nghỉ là $17$ triệu đồng; chi phí ăn của mỗi người là $150 000$ đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn?
Bước 1 — Gọi ẩn: $n$ là số người tham gia, $n \in \mathbb{N}^*$.
Bước 2 — Lập bất đẳng thức: Tổng chi phí không vượt quá ngân sách:
Bước 3 — Kết luận: Vì $n$ là số tự nhiên dương nên $n \leq 86$.
| Tính chất | Kết quả |
|---|---|
| Bắc cầu: $a < b$ và $b < c$ | $a < c$ |
| Cộng cùng số $c$ vào hai vế | Giữ chiều |
| Nhân số dương ($c > 0$) vào hai vế | Giữ chiều |
| Nhân số âm ($c < 0$) vào hai vế | ĐỔI chiều |
Luyện tập bất đẳng thức nào!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du