Menu Học Tập

Bài tập Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia (25 bài tập)

Lớp 9 · Toán Bài 8

Khai Căn Bậc Hai Với Phép Nhân Và Phép Chia

Hai quy tắc tính nhanh: căn của tích bằng tích các căn, căn của thương bằng thương các căn

1
Khai căn bậc hai một tích
▼

Quan sát: Tính và so sánh $\sqrt{100} \cdot \sqrt{4}$ và $\sqrt{100 \cdot 4}$.

→$\sqrt{100} \cdot \sqrt{4} = 10 \cdot 2 = 20$.
→$\sqrt{100 \cdot 4} = \sqrt{400} = 20$.
→Hai kết quả bằng nhau! Đây là tính chất tổng quát:
Quy tắc khai căn một tích
$\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$
(với $A \geq 0$ và $B \geq 0$)

Tóm tắt bằng lời: Căn của tích bằng tích các căn (khi các biểu thức đều không âm).

🔵 Mở rộng cho ba (hoặc nhiều) biểu thức không âm:

$\sqrt{A \cdot B \cdot C} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B} \cdot \sqrt{C}$
($A, B, C \geq 0$)
⚠️ Sai lầm phổ biến cần tránh
❌$\sqrt{A + B} = \sqrt{A} + \sqrt{B}$ — SAI! Ví dụ: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, không phải $3 + 4 = 7$.
✓Quy tắc chỉ đúng với phép nhân: $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$, KHÔNG đúng với phép cộng/trừ.
Ví dụ 1 — Tính giá trị

a) Tính $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$.

→$\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.

b) Tính $\sqrt{7}\left(\sqrt{63} + \sqrt{7}\right)$.

→$= \sqrt{7} \cdot \sqrt{63} + \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}$ (nhân phân phối)
→$= \sqrt{441} + 7 = 21 + 7 = 28$.
Ví dụ 2 — Rút gọn biểu thức đại số

Rút gọn $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{12x}$ với $x \geq 0$.

B1.Gộp: $\sqrt{3x \cdot 12x} = \sqrt{36x^2} = \sqrt{(6x)^2}$.
B2.Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$: $\sqrt{(6x)^2} = |6x|$.
B3.Vì $x \geq 0$ nên $6x \geq 0 \Rightarrow |6x| = 6x$.
Ví dụ 3 — Rút gọn có xét dấu

Rút gọn $\sqrt{49a^2 b^2}$ với $a \geq 0$, $b < 0$.

→$\sqrt{49a^2 b^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = 7 \cdot |a| \cdot |b|$.
→Vì $a \geq 0$: $|a| = a$. Vì $b < 0$: $|b| = -b$.
→Vậy $\sqrt{49a^2 b^2} = 7 \cdot a \cdot (-b) = -7ab$.
2
Khai căn bậc hai một thương
▼

Quan sát: Tính và so sánh $\sqrt{100} : \sqrt{4}$ và $\sqrt{100 : 4}$.

→$\sqrt{100} : \sqrt{4} = 10 : 2 = 5$.
→$\sqrt{100 : 4} = \sqrt{25} = 5$. Hai kết quả bằng nhau.
Quy tắc khai căn một thương
$\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\dfrac{A}{B}}$
(với $A \geq 0$ và $B > 0$)

Tóm tắt bằng lời: Căn của thương bằng thương các căn.

⚠️Lưu ý điều kiện: Mẫu $B$ phải dương ($B > 0$, không chỉ $\geq 0$) vì không thể chia cho $0$.
Ví dụ 4 — Tính thương các căn

a) Tính $\sqrt{18} : \sqrt{2}$.

→$\sqrt{18} : \sqrt{2} = \sqrt{18 : 2} = \sqrt{9} = 3$.

b) Rút gọn $\sqrt{75a^3} : \sqrt{3a}$ với $a > 0$.

→$= \sqrt{\dfrac{75a^3}{3a}} = \sqrt{25a^2} = |5a|$.
→Vì $a > 0$: $|5a| = 5a$.

🔵 Khai căn số thập phân: Viết số thập phân thành phân số có tử và mẫu là số chính phương, rồi áp dụng quy tắc thương.

Ví dụ 5 — Khai căn số thập phân

Tính $\sqrt{2{,}56}$.

B1.$2{,}56 = \dfrac{256}{100} = \dfrac{16^2}{10^2}$.
B2.$\sqrt{2{,}56} = \sqrt{\dfrac{16^2}{10^2}} = \dfrac{\sqrt{16^2}}{\sqrt{10^2}} = \dfrac{16}{10} = 1{,}6$.
Ví dụ 6 — Rút gọn có biến ở mẫu

Rút gọn $a \cdot \sqrt{\dfrac{5}{a^2}}$ với $a > 0$.

→$a \cdot \sqrt{\dfrac{5}{a^2}} = a \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{a^2}} = a \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{|a|}$.
→Vì $a > 0$: $|a| = a$. Suy ra $a \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{a} = \sqrt{5}$.
3
Bài toán tổng hợp — Tính giá trị và rút gọn biểu thức
▼

Khi gặp biểu thức phức tạp, ta kết hợp cả hai quy tắc nhân căn và chia căn, kèm các kỹ thuật khác:

A
Biểu thức $\sqrt{A}(\sqrt{B} \pm \sqrt{C})$
Cách: nhân phân phối rồi gộp từng cặp căn.
$\sqrt{A}(\sqrt{B} + \sqrt{C}) = \sqrt{AB} + \sqrt{AC}$
B
Biểu thức $(\sqrt{A} \pm \sqrt{B})^2$
Cách: dùng hằng đẳng thức $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
$(\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = A + 2\sqrt{AB} + B$
C
Phân thức chứa căn
Cách: tách từng số hạng ở tử, đặt nhân tử chung rồi giản ước với mẫu.
Ví dụ 7 — Nhân phân phối

Tính $\sqrt{12} \cdot (\sqrt{12} + \sqrt{3})$.

→$= \sqrt{12} \cdot \sqrt{12} + \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$
→$= \sqrt{144} + \sqrt{36} = 12 + 6 = 18$.
Ví dụ 8 — Hằng đẳng thức bình phương

Tính $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6}$.

B1.$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$
→$= 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$.
B2.$(5 + 2\sqrt{6}) - 2\sqrt{6} = 5$.
Ví dụ 9 — Rút gọn với hằng đẳng thức $a^2 - b^2$

Rút gọn $\sqrt{2(a^2 - b^2)} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{a + b}}$ với $a \geq b > 0$.

B1.Gộp căn: $\sqrt{2(a^2 - b^2) \cdot \dfrac{3}{a + b}} = \sqrt{\dfrac{6(a-b)(a+b)}{a+b}}$.
B2.Giản ước $(a+b)$: $= \sqrt{6(a-b)}$.
Ví dụ 10 — Rút gọn phân thức chứa căn

Rút gọn $\dfrac{-3\sqrt{16a} + 5a\sqrt{16ab^2}}{2\sqrt{a}}$ với $a > 0, b > 0$.

B1.$\sqrt{16a} = 4\sqrt{a}$ và $\sqrt{16ab^2} = 4b\sqrt{a}$.
B2.Tử $= -3 \cdot 4\sqrt{a} + 5a \cdot 4b\sqrt{a} = -12\sqrt{a} + 20ab\sqrt{a} = \sqrt{a}(-12 + 20ab)$.
B3.$\dfrac{\sqrt{a}(-12 + 20ab)}{2\sqrt{a}} = \dfrac{-12 + 20ab}{2} = -6 + 10ab$.
4
Bài toán vận dụng thực tế
▼

Hai quy tắc khai căn được dùng để biến đổi nhanh các công thức trong vật lý, hình học khi đại lượng cần tìm có chứa căn.

1
Đọc kỹ đề, xác định công thức chứa căn.
2
Sử dụng quy tắc khai căn tích/thương để biến đổi và rút gọn.
3
Thay số liệu vào, tính kết quả. Lưu ý chọn nghiệm phù hợp với đại lượng thực tế (luôn dương).
Ví dụ 11 — Bài toán vật lý (mạch điện)

Trong mạch điện một chiều, hiệu điện thế $U$, công suất $P$ và điện trở $R$ liên hệ bởi $U = \sqrt{PR}$. Nếu công suất tăng 8 lần và điện trở giảm 2 lần, hỏi hiệu điện thế lúc sau gấp bao nhiêu lần ban đầu?

B1.Ban đầu: $U_1 = \sqrt{PR}$.
B2.Sau khi đổi: $P' = 8P$, $R' = \dfrac{R}{2}$.
B3.$U_2 = \sqrt{8P \cdot \dfrac{R}{2}} = \sqrt{4PR} = 2\sqrt{PR}$.
B4.Tỉ số: $\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{2\sqrt{PR}}{\sqrt{PR}} = 2$.

Kết luận: Hiệu điện thế lúc sau gấp 2 lần ban đầu.

Ví dụ 12 — Bài toán hình học (màn hình ti vi)

Màn hình ti vi hình chữ nhật có tỉ lệ hai cạnh là $4 : 3$. Gọi chiều rộng là $x$ (inch).

$\dfrac{4x}{3}$ $x$ $d$ Tỉ lệ 4:3

a) Lập công thức tính đường chéo $d$ theo $x$:

B1.Chiều dài: $\dfrac{4x}{3}$ (inch). Theo Pythagore: $d^2 = x^2 + \left(\dfrac{4x}{3}\right)^2 = \dfrac{9x^2 + 16x^2}{9} = \dfrac{25x^2}{9}$.
B2.$d = \sqrt{\dfrac{25x^2}{9}} = \dfrac{5x}{3}$ (inch).

b) Ti vi 40 inch ($d = 40$):

→$\dfrac{5x}{3} = 40 \Rightarrow x = 24$ (inch). Chiều dài $= 32$ (inch).
→Đổi: chiều rộng $\approx 60{,}96$ cm, chiều dài $\approx 81{,}28$ cm. ($1$ inch $= 2{,}54$ cm)
5
Tổng kết & ôn tập thêm
▼
Quy tắcCông thức
Khai căn một tích$\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ (với $A, B \geq 0$)
Khai căn một thương$\sqrt{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (với $A \geq 0, B > 0$)
Hằng đẳng thức then chốt$\sqrt{A^2} = |A|$ — luôn cần khi rút gọn biểu thức đại số
Lưu ý sai lầm$\sqrt{A + B} \neq \sqrt{A} + \sqrt{B}$ — KHÔNG đúng cho phép cộng
📚 Để ôn lại đầy đủ kiến thức, công thức, mẹo giải và các thông tin chi tiết khác, các em xem bài lý thuyết tại:
🔗 Xem bài lý thuyết chi tiết
1
—
Điểm: 0/25
∛

Luyện tập khai căn tích & thương!

25 câu · 4 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 9 Bài 32: Hình cầu (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 31: Hình trụ và hình nón (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 30: Đa giác đều (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 29: Tứ giác nội tiếp (20 bài tập) ( 02/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác (20 bài tập) ( 02/05 )