Mở đầu trang 83

Đề bài: Bạn Oanh có một mảnh giấy hình tròn nhưng không còn dấu vết của tâm. Theo em, Oanh làm thế nào để tìm lại được tâm của hình tròn đó?

Lời giải:

Ta sử dụng tính chất “đường tròn có vô số trục đối xứng và mỗi trục đối xứng đều đi qua tâm”.

Cách làm: Gấp đôi mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau.

• Lần 1: Gấp đôi sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau, nếp gấp tạo ra là một đường kính (vì nó là một trục đối xứng của hình tròn, nên đi qua tâm).
• Lần 2: Mở mảnh giấy ra, gấp đôi lại theo một cách khác (theo một hướng khác), ta được nếp gấp thứ hai, cũng là một đường kính.

Giao điểm của hai nếp gấp chính là tâm hình tròn, vì hai đường kính bất kì cắt nhau tại tâm.

(Chi tiết hơn về cách này, em sẽ tìm hiểu lại ở Vận dụng 2 trang 86.)

1. Đường tròn

Luyện tập 1 trang 84

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh rằng điểm $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Lời giải:

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó đường tròn đường kính $BC$ chính là đường tròn $\left(O;\ \dfrac{BC}{2}\right)$.

Để chứng minh $A$ thuộc đường tròn này, ta cần chứng minh $OA = \dfrac{BC}{2}$.

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC$ là cạnh huyền và $AO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (vì $O$ là trung điểm $BC$). Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:

$$AO = \dfrac{BC}{2}.$$

Mặt khác, $OB = OC = \dfrac{BC}{2}$ (vì $O$ là trung điểm $BC$).

Vậy $OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}$, suy ra $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ (đpcm).

Vận dụng 1 trang 84

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $A(3;\ 0),\ B(-2;\ 0),\ C(0;\ 4)$. Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn $(O;\ 3)$?

Lời giải:

Đường tròn $(O;\ 3)$ có tâm $O$ là gốc tọa độ, bán kính $R = 3$.

Để xác định vị trí của mỗi điểm so với đường tròn, ta tính khoảng cách từ $O$ đến từng điểm rồi so sánh với $R = 3$.

Tính $OA$: Vì $A(3;\ 0)$ nằm trên trục $Ox$, nên

$$OA = |3 – 0| = 3.$$

Vì $OA = 3 = R$ nên $A$ nằm trên đường tròn $(O;\ 3)$.

Tính $OB$: Vì $B(-2;\ 0)$ nằm trên trục $Ox$, nên

$$OB = |-2 – 0| = 2.$$

Vì $OB = 2 < 3 = R$ nên $B$ nằm trong đường tròn $(O;\ 3)$.

Tính $OC$: Vì $C(0;\ 4)$ nằm trên trục $Oy$, nên

$$OC = |4 – 0| = 4.$$

Vì $OC = 4 > 3 = R$ nên $C$ nằm ngoài đường tròn $(O;\ 3)$.

Kết luận: $A$ nằm trên, $B$ nằm trong, $C$ nằm ngoài đường tròn $(O;\ 3)$.

2. Tính đối xứng của đường tròn

HĐ trang 85

Đề bài: Chứng minh rằng nếu một điểm thuộc đường tròn $(O)$ thì:

a) Điểm đối xứng với nó qua tâm $O$ cũng thuộc $(O)$.

b) Điểm đối xứng với nó qua một đường thẳng $d$ tuỳ ý đi qua $O$ cũng thuộc $(O)$.

Lời giải:

Gọi $M$ là một điểm thuộc đường tròn $(O;\ R)$, tức là $OM = R$.

a) Gọi $M’$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm $O$. Theo định nghĩa đối xứng tâm, $O$ là trung điểm của đoạn $MM’$, do đó:

$$OM’ = OM = R.$$

Vậy $M’ \in (O;\ R)$, tức là $M’$ cũng thuộc đường tròn $(O)$.

b) Gọi $M’$ là điểm đối xứng với $M$ qua đường thẳng $d$ (với $d$ đi qua $O$). Theo định nghĩa đối xứng trục, $d$ là đường trung trực của đoạn $MM’$.

Vì $O \in d$ và $d$ là trung trực của $MM’$, theo tính chất đường trung trực (mọi điểm trên trung trực cách đều hai đầu mút), ta có:

$$OM’ = OM = R.$$

Vậy $M’ \in (O;\ R)$, tức là $M’$ cũng thuộc đường tròn $(O)$.

Luyện tập 2 trang 86

Đề bài: Cho đường tròn tâm $O$ và hai điểm $A$, $B$ thuộc $(O)$. Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AB$. Chứng minh rằng $d$ là một trục đối xứng của $(O)$.

Lời giải:

Vì $A,\ B$ cùng thuộc đường tròn $(O)$ nên:

$$OA = OB = R.$$

Suy ra $O$ cách đều hai điểm $A$ và $B$. Theo tính chất đường trung trực, $O$ phải nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$. Mà $d$ là đường trung trực của $AB$, nên $O \in d$.

Như vậy, $d$ là một đường thẳng đi qua tâm $O$ của đường tròn $(O)$. Theo lý thuyết đã học, mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

Vậy $d$ là một trục đối xứng của $(O)$ (đpcm).

Vận dụng 2 trang 86

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, bằng cách gấp đôi mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau, Oanh có thể tìm lại được tâm của hình tròn. Em hãy làm thử xem.

Lời giải:

Bước 1. Gấp đôi mảnh giấy hình tròn sao cho hai nửa trùng khít nhau. Mở mảnh giấy ra, ta thấy có một nếp gấp.

Giải thích: Khi gấp đôi mà hai nửa trùng khít nhau, đường gấp chính là một trục đối xứng của hình tròn. Mà mọi trục đối xứng của hình tròn đều đi qua tâm, nên nếp gấp là một đường kính.

Bước 2. Gấp đôi mảnh giấy theo một hướng khác (không trùng với nếp gấp lần 1) sao cho hai nửa lại trùng khít nhau. Mở ra, ta được nếp gấp thứ hai — cũng là một đường kính.

Bước 3. Hai đường kính cắt nhau tại một điểm. Điểm đó chính là tâm $O$ của hình tròn.

Bài tập (trang 86)

Bài 5.1 trang 86

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $M(0;\ 2),\ N(0;\ -3)$ và $P(2;\ -1)$. Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn $\left(O;\ \sqrt{5}\right)$? Vì sao?

Lời giải:

Đường tròn $\left(O;\ \sqrt{5}\right)$ có tâm $O$ là gốc tọa độ, bán kính $R = \sqrt{5}$.

Ta tính khoảng cách từ $O$ đến từng điểm rồi so sánh với $R = \sqrt{5}$. Lưu ý: với điểm $A(x;\ y)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, ta có $OA = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Xét điểm $M(0;\ 2)$:

$$OM = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2.$$

So sánh: $OM = 2 = \sqrt{4} < \sqrt{5} = R$. Vậy $M$ nằm trong đường tròn $\left(O;\ \sqrt{5}\right)$.

Xét điểm $N(0;\ -3)$:

$$ON = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3.$$

So sánh: $ON = 3 = \sqrt{9} > \sqrt{5} = R$. Vậy $N$ nằm ngoài đường tròn.

Xét điểm $P(2;\ -1)$:

$$OP = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.$$

So sánh: $OP = \sqrt{5} = R$. Vậy $P$ nằm trên đường tròn $\left(O;\ \sqrt{5}\right)$.

Kết luận: $M$ nằm trong, $N$ nằm ngoài, $P$ nằm trên đường tròn $\left(O;\ \sqrt{5}\right)$.

Bài 5.2 trang 86

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3\ \text{cm},\ AC = 4\ \text{cm}$. Chứng minh rằng các điểm $A,\ B,\ C$ thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh huyền $BC$. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.$$

Suy ra $BC = 5\ \text{cm}$.

Bước 2: Chứng minh $A,\ B,\ C$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó:

$$OB = OC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{5}{2}\ \text{cm}.$$

Vì $AO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:

$$AO = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{5}{2}\ \text{cm}.$$

Vậy $OA = OB = OC = \dfrac{5}{2}\ \text{cm}$, suy ra ba điểm $A,\ B,\ C$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $\dfrac{5}{2}\ \text{cm}$.

Kết luận: Bán kính của đường tròn đó là $R = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\ \text{cm}$.

Bài 5.3 trang 86

Đề bài: Cho đường tròn $(O)$, đường thẳng $d$ đi qua $O$ và điểm $A$ thuộc $(O)$ nhưng không thuộc $d$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$; $C$ và $D$ lần lượt là điểm đối xứng với $A$ và $B$ qua $O$.

a) Ba điểm $B,\ C$ và $D$ có thuộc $(O)$ không? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.

Lời giải:

a) Ba điểm $B,\ C,\ D$ đều thuộc $(O)$.

Vì $A \in (O)$ và theo HĐ trang 85 đã chứng minh:

• $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$ đi qua $O$, nên $B \in (O)$.
• $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua tâm $O$, nên $C \in (O)$.
• $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua tâm $O$, nên $D \in (O)$ (do $B \in (O)$).

b) Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$, suy ra $AC$ là đường kính của $(O)$, và $OA = OC = R$.

Vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $BD$, suy ra $BD$ là đường kính của $(O)$, và $OB = OD = R$.

Như vậy, tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$:

• Cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường ($O$ là trung điểm cả $AC$ và $BD$).
• Bằng nhau: $AC = BD = 2R$.

Một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật. Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật (đpcm).

c) $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.

Vì $B$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $d$ là trung trực của đoạn $AB$, suy ra $d \perp AB$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật (theo câu b) nên $AB \parallel CD$. Kết hợp với $d \perp AB$, ta được:

$$d \perp CD. \quad (1)$$

Mặt khác, vì $C,\ D$ đều thuộc $(O)$ nên $OC = OD = R$, tức là $O$ cách đều $C$ và $D$, suy ra $O$ nằm trên đường trung trực của $CD$. Mà $O \in d$, nên $d$ đi qua một điểm cách đều $C$ và $D$. Kết hợp với $(1)$, ta kết luận:

$d$ là đường trung trực của đoạn $CD$.

Vậy $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$ (đpcm).

Bài 5.4 trang 86

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ có $E$ là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm $A,\ B,\ C$ và $D$. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng $3\ \text{cm}$.

Lời giải:

a) Chứng minh tồn tại đường tròn đi qua $A,\ B,\ C,\ D$.

Trong hình vuông $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ có tính chất:

• Cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (giao điểm là $E$).
• Bằng nhau: $AC = BD$.

Suy ra:

$$EA = EB = EC = ED = \dfrac{AC}{2}.$$

Vậy bốn điểm $A,\ B,\ C,\ D$ cùng cách đều điểm $E$ một khoảng bằng $\dfrac{AC}{2}$, nên chúng cùng thuộc đường tròn $\left(E;\ \dfrac{AC}{2}\right)$.

Tâm đối xứng: Tâm đối xứng của đường tròn là tâm $E$.

Hai trục đối xứng: Vì mỗi đường thẳng đi qua tâm $E$ đều là một trục đối xứng của đường tròn, ta có thể chọn:

• Đường thẳng $AC$ (đường chéo thứ nhất, đi qua $E$).
• Đường thẳng $BD$ (đường chéo thứ hai, đi qua $E$).

b) Tính bán kính. Hình vuông $ABCD$ có cạnh $AB = 3\ \text{cm}$. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (vì $\widehat{ABC} = 90^\circ$):

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 3^2 = 18.$$

Suy ra $AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}$.

Bán kính của đường tròn là:

$$R = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\ \text{cm}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du