Mở đầu trang 91

Đề bài: Số người trên một địa bàn đã được tiêm mũi $4$ phòng dịch Covid-19 đạt $40\%$ trong tổng số các đối tượng cần được tiêm. Để hoàn thành một biểu đồ hình quạt tròn, Trang cần vẽ hình quạt tròn biểu thị số liệu $40\%$. Em có thể giúp bạn Trang được không?

Lời giải:

Cả hình tròn ứng với $100\%$ và có số đo cung là $360^\circ$. Hình quạt tròn ứng với $40\%$ sẽ có số đo cung là:

$$40\% \cdot 360^\circ = 0{,}4 \cdot 360^\circ = 144^\circ.$$

Như vậy, Trang cần vẽ một hình quạt tròn có góc ở tâm bằng $144^\circ$ (cung $144^\circ$).

(Cách vẽ cụ thể sẽ được trình bày trong phần Thực hành trang 94.)

1. Độ dài của cung tròn

HĐ1 trang 91

Đề bài: Biết rằng trên một đường tròn, hai cung bằng nhau thì có cùng độ dài và độ dài của cung tỉ lệ với số đo của nó. Từ đó hãy lập công thức tính độ dài cung $n^\circ$ của đường tròn bán kính $R$ bằng cách thực hiện các bước sau:

a) Từ $(1)$, tính độ dài của cung $1^\circ$.

b) Tính độ dài $l$ của cung $n^\circ$.

Lời giải:

a) Cả đường tròn là cung $360^\circ$ và có độ dài $C = 2\pi R$ (theo công thức $(1)$).

Do độ dài cung tỉ lệ với số đo của cung, độ dài cung $1^\circ$ là:

$$\dfrac{2\pi R}{360} = \dfrac{\pi R}{180}.$$

b) Cung $n^\circ$ có độ dài gấp $n$ lần độ dài cung $1^\circ$:

$$l = n \cdot \dfrac{\pi R}{180} = \dfrac{n}{180} \pi R.$$

Vậy công thức tính độ dài cung $n^\circ$ là $l = \dfrac{n}{180} \pi R$.

Luyện tập 1 trang 92

Đề bài: Tính độ dài cung $40^\circ$ của đường tròn bán kính $9\ \text{cm}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức $l = \dfrac{n}{180} \pi R$ với $n = 40$ và $R = 9\ \text{cm}$:

$$l = \dfrac{40}{180} \cdot \pi \cdot 9 = \dfrac{40 \cdot 9}{180} \cdot \pi = \dfrac{360}{180} \cdot \pi = 2\pi \ (\text{cm}).$$

Vậy độ dài cung $40^\circ$ là $2\pi\ \text{cm} \approx 6{,}28\ \text{cm}$.

Vận dụng 1 trang 92

Đề bài: Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính $650\ \text{mm}$. Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng $3{,}3$ vòng. Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp $10$ vòng liên tục?

Lời giải:

Bước 1: Tính chu vi bánh xe (cũng là quãng đường bánh xe lăn được khi quay $1$ vòng).

Bánh xe có đường kính $d = 650\ \text{mm}$, nên chu vi:

$$C = \pi d = 650\pi \ (\text{mm}).$$

Bước 2: Tính số vòng bánh xe quay được khi người đi $10$ vòng giò đĩa.

Mỗi vòng giò đĩa, bánh xe quay $3{,}3$ vòng. Vậy $10$ vòng giò đĩa thì bánh xe quay:

$$10 \cdot 3{,}3 = 33 \text{ (vòng)}.$$

Bước 3: Tính quãng đường xe đi được.

Mỗi vòng bánh xe lăn được $650\pi\ \text{mm}$. Vậy $33$ vòng đi được:

$$33 \cdot 650\pi = 21450\pi \ (\text{mm}).$$

Đổi sang mét ($1\ \text{m} = 1000\ \text{mm}$):

$$21450\pi \ \text{mm} = \dfrac{21450\pi}{1000} \ \text{m} = 21{,}45\pi \ \text{m} \approx 67{,}4\ \text{m}.$$

Vậy chiếc xe đạp đi được khoảng $67{,}4\ \text{m}$.

2. Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Câu hỏi trang 93

Đề bài: Em hãy tìm một số hình ảnh của hình quạt tròn và hình vành khuyên trong thực tế.

Lời giải:

Một số gợi ý:

Hình quạt tròn:

• Một miếng bánh pizza cắt từ chiếc pizza tròn.
• Một lát dưa hấu cắt theo lát.
• Phần mặt đồng hồ được giới hạn bởi hai kim đồng hồ và đường viền mặt đồng hồ.
• Quạt giấy khi xoè ra (một phần hình quạt tròn).

Hình vành khuyên:

• Chiếc đĩa CD/DVD (phần giữa lỗ tròn và mép đĩa).
• Vòng cao su bít kín nắp chai.
• Bia ngắm bắn cung (gồm nhiều vành khuyên đồng tâm).
• Vòng lốp xe đạp, vòng tròn đệm cao su quanh trục đèn pin.

HĐ2 trang 93

Đề bài: Biết rằng hai hình quạt tròn ứng với hai cung bằng nhau trên một đường tròn thì có diện tích bằng nhau và diện tích hình quạt tròn tỉ lệ với số đo của cung tương ứng với nó. Hãy thiết lập công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính $R$ ứng với cung $n^\circ$ bằng cách thực hiện từng bước sau:

a) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung $1^\circ$.

b) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n^\circ$.

Lời giải:

a) Cả hình tròn ứng với cung $360^\circ$ có diện tích $S = \pi R^2$. Do diện tích hình quạt tỉ lệ với số đo cung, diện tích hình quạt tròn ứng với cung $1^\circ$ là:

$$\dfrac{\pi R^2}{360}.$$

b) Hình quạt tròn ứng với cung $n^\circ$ có diện tích gấp $n$ lần diện tích hình quạt ứng với cung $1^\circ$:

$$S_q = n \cdot \dfrac{\pi R^2}{360} = \dfrac{n}{360} \pi R^2.$$

HĐ3 trang 93

Đề bài: Thiết lập công thức tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là $R$ và $r$ ($R > r$).

Lời giải:

Hình vành khuyên là phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính $R$ và $r$.

Diện tích hình vành khuyên = Diện tích hình tròn lớn − Diện tích hình tròn nhỏ:

$$S_v = \pi R^2 – \pi r^2 = \pi (R^2 – r^2) \quad (\text{với } R > r).$$

Thực hành trang 94

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Hãy vẽ (tô màu) hình quạt tròn theo hướng dẫn sau:

• Vẽ đường tròn tâm $O$ (với bán kính tuỳ chọn).
• Hình quạt tròn cần vẽ ứng với cung có số đo bằng $40\%$ của $360^\circ$. Tính số đo của cung cần vẽ.
• Vẽ góc ở tâm có số đo tìm được và tô màu hình quạt tròn tương ứng.

Lời giải:

Bước 1. Vẽ đường tròn tâm $O$ với bán kính tuỳ chọn.

Bước 2. Tính số đo cung cần vẽ:

$$n = 40\% \cdot 360^\circ = 144^\circ.$$

Bước 3. Vẽ góc ở tâm $\widehat{AOB} = 144^\circ$ (gồm hai bán kính $OA$, $OB$), rồi tô màu hình quạt tròn $OAB$ giới hạn bởi hai bán kính $OA,\ OB$ và cung nhỏ $AB$.

Luyện tập 2 trang 94

Đề bài: Tính diện tích của hình quạt tròn đã vẽ trong Thực hành trên nếu bán kính của nó bằng $4\ \text{cm}$.

Lời giải:

Theo Thực hành, hình quạt tròn ứng với cung $n = 144^\circ$. Áp dụng công thức:

$$S_q = \dfrac{n}{360} \pi R^2 = \dfrac{144}{360} \cdot \pi \cdot 4^2 = \dfrac{2}{5} \cdot 16\pi = \dfrac{32\pi}{5} \ (\text{cm}^2).$$

Vậy diện tích hình quạt tròn là $\dfrac{32\pi}{5}\ \text{cm}^2 \approx 20{,}1\ \text{cm}^2$.

Vận dụng 2 trang 94

Đề bài: Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính là $5\ \text{cm},\ 10\ \text{cm},\ 15\ \text{cm},\ 20\ \text{cm}$ và $30\ \text{cm}$ (Hình 5.17). Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng $8$ (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba), biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích của hình vành khuyên tương ứng với diện tích của hình tròn lớn nhất.

Lời giải:

Bước 1: Diện tích hình vành khuyên ứng với vòng $8$.

Vòng $8$ nằm giữa đường tròn thứ hai (bán kính $r = 10\ \text{cm}$) và đường tròn thứ ba (bán kính $R = 15\ \text{cm}$). Diện tích vòng $8$:

$$S_8 = \pi (R^2 – r^2) = \pi (15^2 – 10^2) = \pi (225 – 100) = 125\pi \ (\text{cm}^2).$$

Bước 2: Diện tích hình tròn lớn nhất.

Hình tròn lớn nhất có bán kính $30\ \text{cm}$:

$$S = \pi \cdot 30^2 = 900\pi \ (\text{cm}^2).$$

Bước 3: Tính xác suất.

$$P = \dfrac{S_8}{S} = \dfrac{125\pi}{900\pi} = \dfrac{125}{900} = \dfrac{5}{36}.$$

Vậy xác suất ném trúng vòng $8$ là $\dfrac{5}{36} \approx 0{,}139$ (khoảng $13{,}9\%$).

Bài tập (trang 94 – 95)

Bài 5.9 trang 94

Đề bài: Cho đường tròn $(O;\ 4\ \text{cm})$ và ba điểm $A,\ B,\ C$ trên đường tròn đó sao cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ và số đo của cung nhỏ $\overset\frown{BC}$ bằng $70^\circ$.

a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ và $\overset\frown{AC}$ bằng nhau.

b) Tính độ dài của các cung $\overset\frown{BC},\ \overset\frown{AB}$ và $\overset\frown{AC}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

a) Giải thích $\overset\frown{AB} = \overset\frown{AC}$.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$, ta có $AB = AC$ (hai dây bằng nhau).

Xét hai tam giác $OAB$ và $OAC$:

• $OA$ là cạnh chung.
• $OB = OC$ ($= R$, hai bán kính).
• $AB = AC$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle OAB = \triangle OAC$ (c.c.c). Suy ra:

$$\widehat{AOB} = \widehat{AOC}.$$

Hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung nhỏ bằng nhau, nên:

$$\text{sđ } \overset\frown{AB} = \text{sđ } \overset\frown{AC}.$$

Vậy hai cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ và $\overset\frown{AC}$ bằng nhau.

b) Tính độ dài các cung.

Ba cung nhỏ $\overset\frown{AB},\ \overset\frown{BC},\ \overset\frown{CA}$ hợp lại tạo thành cả đường tròn ($360^\circ$):

$$\text{sđ } \overset\frown{AB} + \text{sđ } \overset\frown{BC} + \text{sđ } \overset\frown{CA} = 360^\circ.$$

Vì $\overset\frown{AB} = \overset\frown{AC}$ và $\overset\frown{BC} = 70^\circ$, ta có:

$$2 \cdot \text{sđ } \overset\frown{AB} + 70^\circ = 360^\circ \implies \text{sđ } \overset\frown{AB} = \text{sđ } \overset\frown{AC} = \dfrac{360^\circ – 70^\circ}{2} = 145^\circ.$$

Áp dụng công thức $l = \dfrac{n}{180} \pi R$ với $R = 4\ \text{cm}$:

Độ dài cung $\overset\frown{BC}$:

$$l_{BC} = \dfrac{70}{180} \cdot \pi \cdot 4 = \dfrac{280\pi}{180} = \dfrac{14\pi}{9} \approx 4{,}9 \ (\text{cm}).$$

Độ dài cung $\overset\frown{AB} = \overset\frown{AC}$:

$$l_{AB} = l_{AC} = \dfrac{145}{180} \cdot \pi \cdot 4 = \dfrac{580\pi}{180} = \dfrac{29\pi}{9} \approx 10{,}1 \ (\text{cm}).$$

Bài 5.10 trang 95

Đề bài: Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính $4\ \text{cm}$, ứng với cung $36^\circ$.

Lời giải:

Áp dụng công thức $S_q = \dfrac{n}{360} \pi R^2$ với $n = 36$ và $R = 4\ \text{cm}$:

$$S_q = \dfrac{36}{360} \cdot \pi \cdot 4^2 = \dfrac{1}{10} \cdot 16\pi = \dfrac{16\pi}{10} = \dfrac{8\pi}{5} \ (\text{cm}^2).$$

Vậy diện tích hình quạt tròn là $\dfrac{8\pi}{5}\ \text{cm}^2 \approx 5{,}03\ \text{cm}^2$.

Bài 5.11 trang 95

Đề bài: Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là $6\ \text{cm}$ và $4\ \text{cm}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức $S_v = \pi (R^2 – r^2)$ với $R = 6\ \text{cm}$ và $r = 4\ \text{cm}$:

$$S_v = \pi (6^2 – 4^2) = \pi (36 – 16) = 20\pi \ (\text{cm}^2).$$

Vậy diện tích hình vành khuyên là $20\pi\ \text{cm}^2 \approx 62{,}8\ \text{cm}^2$.

Bài 5.12 trang 95

Đề bài: Có hai chiếc bánh pizza hình tròn. Chiếc bánh thứ nhất có đường kính $16\ \text{cm}$ được cắt thành $6$ miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai có đường kính $18\ \text{cm}$ được cắt thành $8$ miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Hãy so sánh diện tích bề mặt của hai miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và thứ hai.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích một miếng bánh thứ nhất.

Bánh $1$ có đường kính $16\ \text{cm}$ nên bán kính $R_1 = 8\ \text{cm}$. Cắt thành $6$ miếng đều nhau, mỗi miếng ứng với cung:

$$n_1 = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ.$$

Diện tích một miếng bánh $1$:

$$S_1 = \dfrac{60}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 = \dfrac{1}{6} \cdot 64\pi = \dfrac{64\pi}{6} = \dfrac{32\pi}{3} \ (\text{cm}^2).$$

Bước 2: Tính diện tích một miếng bánh thứ hai.

Bánh $2$ có đường kính $18\ \text{cm}$ nên bán kính $R_2 = 9\ \text{cm}$. Cắt thành $8$ miếng đều nhau, mỗi miếng ứng với cung:

$$n_2 = \dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ.$$

Diện tích một miếng bánh $2$:

$$S_2 = \dfrac{45}{360} \cdot \pi \cdot 9^2 = \dfrac{1}{8} \cdot 81\pi = \dfrac{81\pi}{8} \ (\text{cm}^2).$$

Bước 3: So sánh $S_1$ và $S_2$.

Để so sánh hai phân số $\dfrac{32}{3}$ và $\dfrac{81}{8}$, ta quy đồng mẫu số:

$$\dfrac{32}{3} = \dfrac{32 \cdot 8}{24} = \dfrac{256}{24}; \quad \dfrac{81}{8} = \dfrac{81 \cdot 3}{24} = \dfrac{243}{24}.$$

Vì $256 > 243$ nên $\dfrac{32}{3} > \dfrac{81}{8}$, tức là $S_1 > S_2$.

Kết luận: Miếng bánh cắt ra từ chiếc pizza thứ nhất có diện tích lớn hơn miếng bánh cắt ra từ chiếc pizza thứ hai.

(Cụ thể: $S_1 \approx 33{,}5\ \text{cm}^2$ và $S_2 \approx 31{,}8\ \text{cm}^2$.)

Bài 5.13 trang 95

Đề bài: Một chiếc quạt giấy khi xoè ra có dạng nửa hình tròn bán kính $2{,}2\ \text{dm}$ như Hình 5.19. Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng $1{,}6\ \text{dm}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của $\text{dm}^2$).

Lời giải:

Bước 1: Xác định hình dạng phần giấy.

Khi xoè ra, chiếc quạt có dạng nửa hình tròn bán kính $R = 2{,}2\ \text{dm}$. Tuy nhiên, phần giấy không chiếm toàn bộ nửa hình tròn này — có một phần ở gần trục (tay cầm) không có giấy.

Khi gấp lại, phần giấy có chiều dài $1{,}6\ \text{dm}$ (đo theo phương bán kính). Vậy bán kính trong (phần không có giấy) là:

$$r = R – 1{,}6 = 2{,}2 – 1{,}6 = 0{,}6 \ (\text{dm}).$$

Phần giấy chính là nửa hình vành khuyên giữa hai nửa đường tròn đồng tâm bán kính $R = 2{,}2\ \text{dm}$ và $r = 0{,}6\ \text{dm}$.

Bước 2: Tính diện tích phần giấy.

Diện tích cả hình vành khuyên là $\pi(R^2 – r^2)$. Diện tích nửa hình vành khuyên (phần giấy) là:

$$S = \dfrac{1}{2} \pi (R^2 – r^2) = \dfrac{1}{2} \pi (2{,}2^2 – 0{,}6^2).$$

Tính:

$$2{,}2^2 – 0{,}6^2 = 4{,}84 – 0{,}36 = 4{,}48.$$

Suy ra:

$$S = \dfrac{1}{2} \pi \cdot 4{,}48 = 2{,}24\pi \ (\text{dm}^2) \approx 2{,}24 \cdot 3{,}14159 \approx 7{,}04 \ (\text{dm}^2).$$

Vậy diện tích phần giấy của chiếc quạt là khoảng $7{,}04\ \text{dm}^2$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du