Mở đầu trang 99

Đề bài: Người ta gieo một đồng xu hình tròn bán kính $1\ \text{cm}$ lên một tờ giấy có vẽ các đường thẳng song song cách đều, khoảng cách giữa hai đường thẳng cạnh nhau bằng $2\ \text{cm}$. Có thể xảy ra các trường hợp sau hay không? Vì sao?

a) Đồng xu đè lên một đường thẳng (đồng xu che khuất một phần đường thẳng).

b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào.

c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.

Lời giải:

Đường kính đồng xu $= 2 \cdot 1 = 2\ \text{cm}$, vừa bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng cạnh nhau.

• a) Có thể xảy ra: khi tâm đồng xu cách đường thẳng đó một khoảng nhỏ hơn $1\ \text{cm}$ (đồng xu cắt đường thẳng).
• b) Có thể xảy ra: khi tâm đồng xu nằm “ở giữa” dải, cách mỗi đường thẳng lớn hơn $1\ \text{cm}$.
• c) Không thể xảy ra: vì đồng xu nằm trong dải hai đường thẳng cách nhau $2\ \text{cm}$, mà đường kính đồng xu cũng đúng bằng $2\ \text{cm}$, nên đồng xu không thể “đè” lên cả hai đường thẳng cùng lúc.

(Phần chứng minh chi tiết được trình bày ở Vận dụng trang 101.)

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

HĐ1 trang 99

Đề bài: Cho đường thẳng $a$ và điểm $O$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $a$, và $A$ là một điểm thuộc tia $OH$. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy vẽ đường tròn $(O;\ OA)$ và cho biết đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;\ OA)$ có bao nhiêu điểm chung:

a) $OH < OA$.

b) $OH = OA$.

c) $OH > OA$.

Lời giải:

Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$ chính là $OH$ (vì $OH \perp a$). Bán kính của đường tròn là $R = OA$. Ta so sánh $OH$ với $R = OA$:

a) $OH < OA$: Khoảng cách từ $O$ đến $a$ nhỏ hơn bán kính, nên đường thẳng $a$ cắt đường tròn tại $2$ điểm chung.

b) $OH = OA$: Khoảng cách bằng bán kính, đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn tại $H$ (tức $H \equiv A$) — có $1$ điểm chung.

c) $OH > OA$: Khoảng cách lớn hơn bán kính, đường thẳng $a$ không giao với đường tròn — có $0$ điểm chung.

Luyện tập 1 trang 100

Đề bài: Cho đường thẳng $a$ và điểm $O$ cách $a$ một khoảng bằng $4\ \text{cm}$. Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng $a$. Tại sao?

a) $(O;\ 3\ \text{cm})$; b) $(O;\ 5\ \text{cm})$; c) $(O;\ 4\ \text{cm})$.

Lời giải:

Khoảng cách $d$ từ $O$ đến đường thẳng $a$ là $d = 4\ \text{cm}$. Ta so sánh $d$ với từng bán kính $R$:

a) $(O;\ 3\ \text{cm})$: $R = 3 < 4 = d$. Vì $d > R$ nên đường tròn không cắt đường thẳng $a$.

b) $(O;\ 5\ \text{cm})$: $R = 5 > 4 = d$. Vì $d < R$ nên đường tròn cắt đường thẳng $a$ (tại $2$ điểm).

c) $(O;\ 4\ \text{cm})$: $R = 4 = d$. Vì $d = R$ nên đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $a$ (tại đúng $1$ điểm).

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

HĐ2 trang 100

Đề bài: Cho đoạn thẳng $OH$ và đường thẳng $a$ vuông góc với $OH$ tại $H$.

a) Xác định khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$.

b) Nếu vẽ đường tròn $(O;\ OH)$ thì đường tròn này và đường thẳng $a$ có vị trí tương đối như thế nào?

Lời giải:

a) Vì $OH \perp a$ tại $H$, nên $OH$ chính là đoạn vuông góc hạ từ $O$ xuống $a$. Theo định nghĩa, khoảng cách từ $O$ đến $a$ là:

$$d = OH.$$

b) Đường tròn $(O;\ OH)$ có bán kính $R = OH$. Khi đó $d = OH = R$, tức khoảng cách bằng bán kính.

Vậy đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn $(O;\ OH)$ tại $H$ (theo Nhận xét). Điểm $H$ chính là tiếp điểm.

Luyện tập 2 trang 101

Đề bài: Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng $6\ \text{cm}$ và hai đường chéo cắt nhau tại $I$. Chứng minh rằng đường tròn $(I;\ 3\ \text{cm})$ tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Lời giải:

Gọi hình vuông là $ABCD$. Vì hai đường chéo cắt nhau tại $I$, nên $I$ là tâm của hình vuông.

Theo tính chất tâm của hình vuông, khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh đều bằng nhau và bằng nửa cạnh hình vuông:

$$d = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{cm}.$$

So sánh với bán kính $R = 3\ \text{cm}$, ta có $d = R = 3\ \text{cm}$ ứng với cả bốn cạnh.

Vậy đường tròn $(I;\ 3\ \text{cm})$ tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông (đpcm).

Thực hành trang 101

Đề bài: Cho đường thẳng $a$ và điểm $M$ không thuộc $a$. Hãy vẽ đường tròn tâm $M$ tiếp xúc với $a$.

Lời giải:

Bước 1. Từ $M$, hạ đường vuông góc xuống $a$, gọi $H$ là chân đường vuông góc đó.

Bước 2. Vẽ đường tròn tâm $M$ bán kính $MH$, tức $(M;\ MH)$.

Giải thích: Vì $MH \perp a$ tại $H$, khoảng cách từ $M$ đến $a$ bằng $MH$, đúng bằng bán kính. Do đó đường tròn $(M;\ MH)$ tiếp xúc với $a$ tại $H$.

Vận dụng trang 101

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh viền ngoài của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau. Bằng cách xét vị trí của tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng song song cạnh nhau, hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm đồng xu (đường tròn bán kính $1\ \text{cm}$), $a$ và $b$ là hai đường thẳng song song kề nhau, cách nhau $2\ \text{cm}$. Giả sử $O$ nằm trong dải giữa $a$ và $b$.

Đặt $d_a$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$, $d_b$ là khoảng cách từ $O$ đến $b$. Khi đó:

$$d_a + d_b = 2\ \text{cm}.$$

Đồng xu đè lên (cắt) đường thẳng $a$ khi $d_a < 1$ (khoảng cách nhỏ hơn bán kính). Tương tự, đồng xu đè lên $b$ khi $d_b < 1$.

Giả sử đồng xu đè lên cả hai đường thẳng $a$ và $b$ (trường hợp c). Khi đó:

$$d_a < 1 \quad \text{và} \quad d_b < 1.$$

Cộng vế:

$$d_a + d_b < 1 + 1 = 2\ \text{cm}.$$

Điều này mâu thuẫn với $d_a + d_b = 2\ \text{cm}$. Vậy trường hợp c không thể xảy ra.

Còn các trường hợp a (đồng xu đè lên đúng một đường thẳng) và b (không đè lên đường thẳng nào) đều có thể xảy ra tùy vào vị trí của tâm đồng xu trong dải.

3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn

HĐ3 trang 101

Đề bài: Cho điểm $M$ ở bên ngoài một đường tròn tâm $O$. Hãy dùng thước và compa thực hiện các bước vẽ hình như sau:

• Vẽ đường tròn đường kính $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$.
• Vẽ và chứng tỏ các đường thẳng $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$.

Lời giải:

Chứng minh $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$:

Vì $A$ nằm trên đường tròn đường kính $MO$, nên tam giác $MAO$ vuông tại $A$ (theo Luyện tập 1 Bài 13: điểm nằm trên đường tròn đường kính $MO$ thì nhìn $MO$ dưới một góc vuông). Suy ra:

$$MA \perp OA \text{ tại } A.$$

Mặt khác, $A$ cũng thuộc $(O)$ và $OA$ là bán kính của $(O)$. Theo Định lý 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến), đường thẳng $MA$ đi qua $A \in (O)$ và vuông góc với bán kính $OA$ tại $A$, nên $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$.

Lập luận tương tự, $MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$.

HĐ4 trang 102

Đề bài: (Dựa vào hình vẽ có được sau HĐ3). Bằng cách xét hai tam giác $OMA$ và $OMB$, chứng minh rằng:

a) $MA = MB$;

b) $MO$ là tia phân giác của góc $\widehat{AMB}$;

c) $OM$ là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$.

Lời giải:

Xét hai tam giác $OMA$ và $OMB$:

• $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90^\circ$ (do $MA,\ MB$ là tiếp tuyến của $(O)$).
• $OA = OB$ ($= R$, hai bán kính).
• $OM$ là cạnh chung.

Do đó hai tam giác vuông $OMA$ và $OMB$ bằng nhau (cạnh huyền $-$ cạnh góc vuông), tức:

$$\triangle OMA = \triangle OMB.$$

Từ đây suy ra các cặp cạnh và góc tương ứng bằng nhau:

a) $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng).

b) $\widehat{AMO} = \widehat{BMO}$ (hai góc tương ứng), nên $MO$ là tia phân giác của $\widehat{AMB}$.

c) $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (hai góc tương ứng), nên $OM$ là tia phân giác của $\widehat{AOB}$.

Thử thách nhỏ trang 103

Đề bài: Cho góc $xMy$ và điểm $A$ thuộc tia $Mx$. Hãy vẽ đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với cả hai cạnh của góc $xMy$ sao cho $A$ là một trong hai tiếp điểm.

Lời giải:

Phân tích: Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với hai cạnh $Mx,\ My$ của góc nên tâm $O$ phải cách đều hai cạnh này, tức $O$ nằm trên tia phân giác của $\widehat{xMy}$. Đồng thời, vì $A$ là tiếp điểm trên $Mx$, theo Nhận xét, $OA \perp Mx$ tại $A$.

Cách dựng:

Bước 1. Dựng tia phân giác $Mz$ của góc $\widehat{xMy}$.

Bước 2. Qua $A$, kẻ đường thẳng vuông góc với $Mx$. Đường thẳng này cắt tia phân giác $Mz$ tại $O$.

Bước 3. Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$. Đó là đường tròn cần dựng.

Kiểm tra: Vì $OA \perp Mx$ tại $A$ và $A \in (O)$, nên $Mx$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$. Vì $O$ trên phân giác, khoảng cách từ $O$ đến $My$ cũng bằng $OA$, nên $My$ cũng tiếp xúc với $(O)$.

Bài tập (trang 103)

Bài 5.20 trang 103

Đề bài: Bạn Thanh cắt $4$ hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là $4\ \text{cm},\ 6\ \text{cm},\ 7\ \text{cm}$ và $8\ \text{cm}$ để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng $a$ và $b$. Biết rằng $a$ và $b$ là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng $6\ \text{cm}$. Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả $4$ hình tròn đều nằm trên đường thẳng $b$ thì hình tròn nào sẽ che khuất một phần của đường thẳng $a$, hình tròn nào sẽ không che khuất một phần của đường thẳng $a$?

Lời giải:

Vì tâm của mỗi hình tròn đều nằm trên đường thẳng $b$ và $b$ cách $a$ một khoảng $6\ \text{cm}$, nên khoảng cách từ tâm mỗi hình tròn đến $a$ bằng:

$$d = 6\ \text{cm}.$$

So sánh $d = 6$ với bán kính $R$ của mỗi hình:

• Hình bán kính $4\ \text{cm}$: $R = 4 < 6 = d$, đường thẳng $a$ và hình tròn không giao nhau → không che khuất một phần của $a$.
• Hình bán kính $6\ \text{cm}$: $R = 6 = d$, hình tròn tiếp xúc với $a$ (chỉ chạm tại $1$ điểm, không che khuất một phần nào của $a$).
• Hình bán kính $7\ \text{cm}$: $R = 7 > 6 = d$, hình tròn cắt $a$ → che khuất một phần của $a$.
• Hình bán kính $8\ \text{cm}$: $R = 8 > 6 = d$, hình tròn cắt $a$ → che khuất một phần của $a$.

Kết luận:

• Hình che khuất một phần đường thẳng $a$: bán kính $7\ \text{cm}$ và $8\ \text{cm}$.
• Hình không che khuất một phần đường thẳng $a$: bán kính $4\ \text{cm}$ và $6\ \text{cm}$ (trong đó bán kính $6\ \text{cm}$ tiếp xúc tại đúng $1$ điểm).

Bài 5.21 trang 103

Đề bài: Cho đường tròn $(O)$ đi qua ba đỉnh $A,\ B$ và $C$ của một tam giác cân tại $A$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ là một tiếp tuyến của $(O)$.

Lời giải:

Bước 1: $OA \perp BC$.

Vì $B$ và $C$ cùng thuộc $(O)$ nên $OB = OC$, suy ra $O$ cách đều $B$ và $C$, tức $O$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Mặt khác, tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$, suy ra $A$ cũng cách đều $B$ và $C$, tức $A$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Hai điểm $O$ và $A$ cùng nằm trên đường trung trực của $BC$, nên đường thẳng $OA$ chính là đường trung trực của $BC$. Do đó:

$$OA \perp BC.$$

Bước 2: Kết luận.

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$. Vì $OA \perp BC$ và $d \parallel BC$, nên:

$$OA \perp d \text{ tại } A.$$

Mà $A$ thuộc đường tròn $(O)$, nên theo Định lý 1 (dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến), $d$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ (đpcm).

Bài 5.22 trang 103

Đề bài: Cho góc $xOy$ với tia phân giác $Ot$ và điểm $A$ trên cạnh $Ox$, điểm $B$ trên cạnh $Oy$ sao cho $OA = OB$. Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $Ox$ cắt $Ot$ tại $M$. Chứng minh rằng $OA$ và $OB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(M;\ MA)$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $\triangle OMA = \triangle OMB$.

Xét hai tam giác $OMA$ và $OMB$:

• $OA = OB$ (giả thiết).
• $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ ($Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$).
• $OM$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle OMA = \triangle OMB$ (c.g.c).

Bước 2: $MA = MB$ và $\widehat{OBM} = 90^\circ$.

Từ $\triangle OMA = \triangle OMB$, ta có:

• $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng) → $B \in (M;\ MA)$.
• $\widehat{OAM} = \widehat{OBM}$ (hai góc tương ứng).

Theo giả thiết, đường thẳng qua $A$ vuông góc với $Ox$, nên $\widehat{OAM} = 90^\circ$. Suy ra:

$$\widehat{OBM} = 90^\circ.$$

Bước 3: Kết luận.

• $A \in (M;\ MA)$ và $OA \perp MA$ tại $A$ → $OA$ là tiếp tuyến của $(M;\ MA)$ tại $A$.
• $B \in (M;\ MA)$ và $OB \perp MB$ tại $B$ (vì $\widehat{OBM} = 90^\circ$) → $OB$ là tiếp tuyến của $(M;\ MA)$ tại $B$.

Hai tiếp tuyến $OA$ và $OB$ cùng đi qua điểm $O$, nên chúng là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(M;\ MA)$ (đpcm).

Bài 5.23 trang 103

Đề bài: Cho $SA$ và $SB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$ ($A$ và $B$ là hai tiếp điểm). Gọi $M$ là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ $\overset\frown{AB}$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ cắt $SA$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$.

a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác $SEF$ bằng $SA + SB$.

b) Giả sử $M$ là giao điểm của đoạn $SO$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $SE = SF$.

Lời giải:

a) Chu vi tam giác $SEF$ bằng $SA + SB$.

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau (Định lý 2):

Từ điểm $E$: Hai tiếp tuyến $EA$ (thuộc $SA$) và $EM$ cắt nhau tại $E$, nên:

$$EA = EM.$$

Từ điểm $F$: Hai tiếp tuyến $FB$ (thuộc $SB$) và $FM$ cắt nhau tại $F$, nên:

$$FB = FM.$$

Vì $M$ nằm trên đoạn $EF$ nên $EF = EM + MF$. Chu vi tam giác $SEF$:

$$P = SE + EF + FS = SE + (EM + MF) + FS = SE + (EA + FB) + FS.$$

Nhóm lại:

$$P = (SE + EA) + (FS + FB) = SA + SB.$$

Vậy chu vi tam giác $SEF$ bằng $SA + SB$ (đpcm).

b) Khi $M$ nằm trên đoạn $SO$, chứng minh $SE = SF$.

Khi $M$ là giao của đoạn $SO$ với $(O)$, ba điểm $S,\ M,\ O$ thẳng hàng.

Tính chất 1: Vì $EF$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$, nên $OM \perp EF$ tại $M$. Vì $S,\ M,\ O$ thẳng hàng, ta cũng có:

$$SM \perp EF \text{ tại } M.$$

Tính chất 2: $SA$ và $SB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $S$, nên theo Định lý 2, $SO$ là tia phân giác của $\widehat{ASB} = \widehat{ESF}$. Suy ra:

$$\widehat{ESM} = \widehat{FSM}.$$

Xét hai tam giác $SEM$ và $SFM$:

• $SM$ là cạnh chung.
• $\widehat{SME} = \widehat{SMF} = 90^\circ$ (cùng do $SM \perp EF$).
• $\widehat{ESM} = \widehat{FSM}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle SEM = \triangle SFM$ (g.c.g). Suy ra:

$$SE = SF \quad \text{(đpcm)}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du