1. Hai đường tròn cắt nhau

HĐ1 trang 104

Đề bài: Cho Hình 5.31, trong đó giả sử $O’A < OA$. Ta có $OA – O’A < OO’ < OA + O’A$. Hãy vẽ hai đường tròn $(O;\ OA)$ và $(O’;\ O’A)$ và cho biết hai đường tròn đó có mấy điểm chung.

Lời giải:

Vẽ hai đường tròn $(O;\ OA)$ và $(O’;\ O’A)$ theo hướng dẫn (xem Hình 5.32 trong sách):

• Cả hai đường tròn đều đi qua điểm $A$ (vì $A$ cách $O$ một khoảng $OA$ và cách $O’$ một khoảng $O’A$).
• Ngoài điểm $A$, ta thấy hai đường tròn còn cắt nhau tại một điểm $B$ khác, đối xứng với $A$ qua đường thẳng $OO’$.

Vậy hai đường tròn $(O;\ OA)$ và $(O’;\ O’A)$ có đúng $2$ điểm chung ($A$ và $B$). Đây là vị trí hai đường tròn cắt nhau.

Luyện tập 1 trang 105

Đề bài: Cho đường tròn $(O;\ 5\ \text{cm})$ và điểm $I$ cách $O$ một khoảng $2\ \text{cm}$. Xác định vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn $(I;\ r)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $r = 4\ \text{cm}$; b) $r = 6\ \text{cm}$.

Lời giải:

Ta có $OI = 2\ \text{cm}$. So sánh $OI$ với $|R – r|$ và $R + r$ để xác định vị trí tương đối.

a) $r = 4\ \text{cm}$:

Đặt $R = 5\ \text{cm}$, $r = 4\ \text{cm}$. Tính:

$$R – r = 5 – 4 = 1\ \text{cm}; \quad R + r = 5 + 4 = 9\ \text{cm}.$$

So sánh với $OI = 2$:

$$1 < 2 < 9 \quad \text{tức là} \quad R – r < OI < R + r.$$

Vậy hai đường tròn cắt nhau.

b) $r = 6\ \text{cm}$:

Lúc này $r > R$, ta đặt lại $R = 6\ \text{cm}$ (đường tròn lớn $(I;\ 6)$), $r = 5\ \text{cm}$ (đường tròn nhỏ $(O;\ 5)$). Tính:

$$R – r = 6 – 5 = 1\ \text{cm}; \quad R + r = 6 + 5 = 11\ \text{cm}.$$

So sánh với $OI = 2$:

$$1 < 2 < 11 \quad \text{tức là} \quad R – r < OI < R + r.$$

Vậy hai đường tròn cắt nhau.

2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau

HĐ2 trang 105

Đề bài: Trên Hình 5.33a, ta có $OO’ = OA + O’A$; trên Hình 5.33b, ta có $OO’ = OA – O’A$. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn $(O;\ OA)$ và $(O’;\ O’A)$ và cho biết hai đường tròn đó có mấy điểm chung?

Lời giải:

Vẽ hai đường tròn theo từng trường hợp (xem Hình 5.34 trong sách):

Trường hợp Hình 5.33a: $OO’ = OA + O’A$. Hai đường tròn nằm về hai phía của điểm $A$, chỉ chạm nhau tại $A$. Hai đường tròn có đúng $1$ điểm chung là $A$ — đây là vị trí tiếp xúc ngoài.

Trường hợp Hình 5.33b: $OO’ = OA – O’A$. Đường tròn nhỏ $(O’;\ O’A)$ nằm bên trong đường tròn lớn $(O;\ OA)$, hai đường tròn chỉ chạm nhau tại $A$. Hai đường tròn có đúng $1$ điểm chung là $A$ — đây là vị trí tiếp xúc trong.

Luyện tập 2 trang 105

Đề bài: Cho hai điểm $O$ và $O’$ sao cho $OO’ = 3\ \text{cm}$. Giải thích tại sao hai đường tròn $(O;\ 8\ \text{cm})$ và $(O’;\ 5\ \text{cm})$ tiếp xúc với nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Lời giải:

Đặt $R = 8\ \text{cm}$, $R’ = 5\ \text{cm}$ (chú ý $R > R’$). Tính hiệu:

$$R – R’ = 8 – 5 = 3\ \text{cm}.$$

So sánh với $OO’ = 3\ \text{cm}$, ta thấy:

$$OO’ = R – R’ = 3\ \text{cm}.$$

Theo nhận xét, khi $OO’ = R – R’$ thì hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.

Vậy hai đường tròn $(O;\ 8\ \text{cm})$ và $(O’;\ 5\ \text{cm})$ tiếp xúc trong.

3. Hai đường tròn không giao nhau

HĐ3 trang 106

Đề bài: Trên Hình 5.35a, ta có $OO’ > OA + O’B$; trên Hình 5.35b, ta có $OO’ < OA – O’B$. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn $(O;\ OA)$ và $(O’;\ OB)$ và cho biết hai đường tròn đó có điểm chung nào không.

Lời giải:

Vẽ hai đường tròn theo từng trường hợp (xem Hình 5.36 trong sách):

Trường hợp Hình 5.35a: $OO’ > OA + O’B$, tức $OO’ > R + R’$. Hai đường tròn nằm “tách rời” nhau, không có điểm chung nào — đây là vị trí hai đường tròn ngoài nhau.

Trường hợp Hình 5.35b: $OO’ < OA – O’B$, tức $OO’ < R – R’$. Đường tròn nhỏ $(O’;\ R’)$ nằm hoàn toàn bên trong đường tròn lớn $(O;\ R)$, không chạm vào nhau — đây là vị trí đường tròn $(O)$ đựng đường tròn $(O’)$.

Trong cả hai trường hợp, hai đường tròn không có điểm chung nào.

Luyện tập 3 trang 106

Đề bài: Cho hai điểm $O$ và $O’$ sao cho $OO’ = 2\ \text{cm}$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(O;\ 5\ \text{cm})$ và $(O’;\ r)$, biết rằng $r < 3\ \text{cm}$.

Lời giải:

Đặt $R = 5\ \text{cm}$ và $R’ = r$ (với $r < 3$). Vì $R = 5 > r = R’$ nên đường tròn $(O)$ có bán kính lớn hơn.

Tính hiệu $R – R’$:

$$R – R’ = 5 – r.$$

Vì $r < 3$ nên:

$$R – R’ = 5 – r > 5 – 3 = 2 = OO’.$$

Tức là:

$$OO’ < R – R’.$$

Theo nhận xét, khi $OO’ < R – R’$ thì đường tròn $(O)$ đựng đường tròn $(O’)$.

Vậy hai đường tròn $(O;\ 5\ \text{cm})$ và $(O’;\ r)$ không giao nhau, trong đó $(O;\ 5\ \text{cm})$ đựng $(O’;\ r)$.

Thực hành trang 106 – 107

Đề bài: Để mô phỏng nguyệt thực, em hãy cắt hai hình tròn từ giấy: hình tròn thứ nhất màu sáng tượng trưng cho Mặt Trăng, hình tròn thứ hai màu tối (to hơn và bằng giấy mờ càng tốt) tượng trưng cho bóng Trái Đất. Sắp xếp hai hình tròn đó để:

a) Mô phỏng nguyệt thực một phần. Khi đó, hình ảnh của hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

b) Mô phỏng nguyệt thực toàn phần. Khi đó, hình ảnh của hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

Lời giải:

a) Nguyệt thực một phần: Mặt Trăng bị bóng Trái Đất che khuất một phần. Khi đó hai hình tròn có phần giao nhau khác rỗng nhưng không hình nào nằm hoàn toàn trong hình kia. Đây là vị trí hai đường tròn cắt nhau (có $2$ điểm chung).

b) Nguyệt thực toàn phần: Mặt Trăng bị bóng Trái Đất che khuất hoàn toàn. Khi đó hình tròn Mặt Trăng (nhỏ hơn) nằm hoàn toàn bên trong hình tròn bóng Trái Đất (lớn hơn). Đây là vị trí đường tròn bóng Trái Đất đựng đường tròn Mặt Trăng (không giao nhau, không có điểm chung).

Tranh luận trang 107

Đề bài: Tròn cho rằng: Nói “hai đường tròn không cắt nhau” cũng có nghĩa là “hai đường tròn không giao nhau”. Theo em, Tròn đúng hay sai?

Lời giải:

Bạn Tròn sai.

Giải thích: Theo bảng tổng kết trong bài:

• “Hai đường tròn cắt nhau” có nghĩa là chúng có $2$ điểm chung.
• “Hai đường tròn không giao nhau” có nghĩa là chúng có $0$ điểm chung (ngoài nhau hoặc đựng nhau).

Khi nói “hai đường tròn không cắt nhau” tức là chúng không có $2$ điểm chung, nhưng vẫn có thể có $1$ điểm chung (tiếp xúc) hoặc $0$ điểm chung (không giao nhau).

Như vậy “không cắt nhau” gồm cả hai trường hợp:

• Tiếp xúc nhau ($1$ điểm chung).
• Không giao nhau ($0$ điểm chung).

Còn “không giao nhau” chỉ tương ứng với trường hợp $0$ điểm chung. Hai khái niệm này không tương đương.

Bài tập (trang 107)

Bài 5.24 trang 107

Đề bài: Hình 5.37 cho thấy hình ảnh của những đường tròn (là viền ngoài của các sản phẩm) qua cách trình bày một số sản phẩm mây tre đan. Bằng cách đánh số các đường tròn, em hãy chỉ ra một vài cặp đường tròn cắt nhau và một vài cặp đường tròn không giao nhau.

Lời giải:

Quan sát Hình 5.37, ta đánh số các đường tròn (viền ngoài các sản phẩm mây tre đan) lần lượt là $(1), (2), (3),\ldots$ Khi đó:

Các cặp đường tròn cắt nhau (hai viền chồng lên nhau, cắt nhau tại $2$ điểm):

$$(3) \text{ và } (4); \quad (2) \text{ và } (5); \quad (7) \text{ và } (8); \quad (8) \text{ và } (9).$$

Các cặp đường tròn không giao nhau (hai viền tách rời, không có điểm chung):

$$(1) \text{ và } (4); \quad (1) \text{ và } (2); \quad (2) \text{ và } (4); \quad (5) \text{ và } (9); \quad (6) \text{ và } (8); \quad \ldots$$

Gợi ý chung khi quan sát:

• Hai viền tròn chồng lên nhau (giao nhau ở 2 điểm) → cắt nhau.
• Hai viền tròn rời nhau hoàn toàn → không giao nhau.
• Hai viền tròn chạm nhau tại đúng 1 điểm → tiếp xúc nhau.

Bài 5.25 trang 107

Đề bài: Cho hai điểm $O$ và $O’$ cách nhau một khoảng $5\ \text{cm}$. Mỗi đường tròn sau đây có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn $(O;\ 3\ \text{cm})$:

a) Đường tròn $(O’;\ 3\ \text{cm})$; b) Đường tròn $(O’;\ 1\ \text{cm})$; c) Đường tròn $(O’;\ 8\ \text{cm})$.

Lời giải:

Có $OO’ = 5\ \text{cm}$ và $(O;\ 3\ \text{cm})$ với $R = 3\ \text{cm}$. Ta xét từng trường hợp.

a) $(O’;\ 3\ \text{cm})$, tức $R’ = 3\ \text{cm}$:

$$R + R’ = 3 + 3 = 6\ \text{cm}; \quad |R – R’| = 0\ \text{cm}.$$

So sánh: $0 < 5 < 6$, tức $|R – R’| < OO’ < R + R’$.

Vậy hai đường tròn cắt nhau.

b) $(O’;\ 1\ \text{cm})$, tức $R’ = 1\ \text{cm}$:

$$R + R’ = 3 + 1 = 4\ \text{cm}.$$

So sánh: $OO’ = 5 > 4 = R + R’$. Tức $OO’ > R + R’$.

Vậy hai đường tròn ngoài nhau (không giao nhau).

c) $(O’;\ 8\ \text{cm})$, tức $R’ = 8\ \text{cm}$:

Vì $R’ = 8 > R = 3$ nên ta tính $R’ – R = 8 – 3 = 5\ \text{cm}$.

So sánh với $OO’ = 5$: $OO’ = R’ – R = 5$.

Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong (với nhau).

Bài 5.26 trang 107

Đề bài: Cho ba điểm thẳng hàng $O,\ A$ và $O’$. Với mỗi trường hợp sau, hãy viết hệ thức giữa các độ dài $OO’,\ OA$ và $O’A$ rồi xét xem hai đường tròn $(O;\ OA)$ và $(O’;\ O’A)$ tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài với nhau; vẽ hình để khẳng định dự đoán của mình.

a) Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $O$ và $O’$;

b) Điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O’$;

c) Điểm $O’$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O$.

Lời giải:

Đặt $R = OA$ là bán kính của $(O)$ và $R’ = O’A$ là bán kính của $(O’)$. Cả hai đường tròn đều đi qua $A$, nên $A$ là điểm chung của hai đường tròn. Vì $O,\ A,\ O’$ thẳng hàng, theo nhận xét, hai đường tròn tiếp xúc tại $A$.

a) Điểm $A$ nằm giữa $O$ và $O’$:

Khi đó $OO’ = OA + AO’ = R + R’$.

Vì $OO’ = R + R’$ nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $A$.

b) Điểm $O$ nằm giữa $A$ và $O’$:

Khi đó $AO’ = AO + OO’$, tức $O’A = OA + OO’$, suy ra:

$$OO’ = O’A – OA = R’ – R \quad (\text{với } R’ > R).$$

Vì $OO’ = R’ – R$ (hiệu hai bán kính) nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại $A$ — cụ thể, đường tròn $(O’)$ đựng đường tròn $(O)$.

c) Điểm $O’$ nằm giữa $A$ và $O$:

Khi đó $AO = AO’ + O’O$, tức $OA = O’A + OO’$, suy ra:

$$OO’ = OA – O’A = R – R’ \quad (\text{với } R > R’).$$

Vì $OO’ = R – R’$ (hiệu hai bán kính) nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại $A$ — cụ thể, đường tròn $(O)$ đựng đường tròn $(O’)$.

Bài 5.27 trang 107

Đề bài: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$. Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $B$ và cắt $(O’)$ tại $C$. Chứng minh rằng $OB \parallel O’C$.

Lời giải:

Bước 1: $O,\ A,\ O’$ thẳng hàng.

Vì $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc nhau tại $A$, theo nhận xét, tiếp điểm $A$ thẳng hàng với hai tâm $O$ và $O’$. Hơn nữa, do tiếp xúc ngoài nên $A$ nằm giữa $O$ và $O’$.

Bước 2: So sánh các góc.

Tam giác $OAB$: Có $OA = OB = R$ (đều là bán kính của $(O)$), nên tam giác $OAB$ cân tại $O$, suy ra hai góc đáy bằng nhau:

$$\widehat{OAB} = \widehat{OBA}. \quad (1)$$

Tam giác $O’AC$: Có $O’A = O’C = R’$ (đều là bán kính của $(O’)$), nên tam giác $O’AC$ cân tại $O’$, suy ra:

$$\widehat{O’AC} = \widehat{O’CA}. \quad (2)$$

Hai góc đối đỉnh tại $A$: Vì $B,\ A,\ C$ thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng qua $A$) và $O,\ A,\ O’$ cũng thẳng hàng, nên hai góc $\widehat{OAB}$ và $\widehat{O’AC}$ là hai góc đối đỉnh, do đó:

$$\widehat{OAB} = \widehat{O’AC}. \quad (3)$$

Bước 3: Kết luận.

Từ $(1),\ (2),\ (3)$, ta suy ra:

$$\widehat{OBA} = \widehat{OAB} = \widehat{O’AC} = \widehat{O’CA}.$$

Tức $\widehat{OBA} = \widehat{O’CA}$. Hai góc này là hai góc so le trong tạo bởi hai đường thẳng $OB$ và $O’C$ với cát tuyến $BC$.

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (cặp góc so le trong bằng nhau), ta có:

$$OB \parallel O’C \quad \text{(đpcm)}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du