Mở đầu trang 4

Đề bài: Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao $75$ m so với mặt của cây cầu và cách nhau $400$ m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) như Hình 6.1 và được treo trên các đỉnh tháp. Tìm chiều cao $CH$ của dây cáp biết điểm $H$ cách tâm $O$ của cây cầu $100$ m (giả sử mặt của cây cầu là bằng phẳng).

Lời giải:

Đây là bài toán mở đầu, sẽ được giải đầy đủ ở phần Vận dụng 2 (trang 8). Tóm tắt hướng làm: Hai đỉnh trụ tháp có toạ độ $A(-200;\ 75)$ và $B(200;\ 75)$. Thay $B$ vào $y = ax^2$ tìm được $a = \dfrac{3}{1600}$. Tại $H(100;\ 0)$, điểm $C$ trên dây cáp có cùng hoành độ với $H$, ta được $CH = 18{,}75$ m.

1. Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

HĐ1 trang 5

Đề bài: Khi thả một vật rơi tự do và bỏ qua sức cản của không khí, quãng đường chuyển động $s$ (mét) của vật được cho bằng công thức $s = 4{,}9t^2$, trong đó $t$ (giây) là thời gian chuyển động của vật.

a) Hoàn thành bảng sau vào vở:

b) Giả sử một vật rơi tự do từ độ cao $19{,}6$ m so với mặt đất. Hỏi sau bao lâu vật chạm đất?

Lời giải:

a) Thay từng giá trị của $t$ vào công thức $s = 4{,}9t^2$:

• $t = 0$: $s = 4{,}9 \cdot 0^2 = 0$ (m).
• $t = 1$: $s = 4{,}9 \cdot 1^2 = 4{,}9$ (m).
• $t = 2$: $s = 4{,}9 \cdot 2^2 = 4{,}9 \cdot 4 = 19{,}6$ (m).

Ta có bảng:

b) Vật rơi từ độ cao $19{,}6$ m, chạm đất khi quãng đường rơi đúng bằng $19{,}6$ m. Ta có:

$$4{,}9t^2 = 19{,}6 ;\Leftrightarrow; t^2 = 4 ;\Leftrightarrow; t = 2 \ (\text{do } t > 0).$$

Vậy sau $2$ giây vật chạm đất.

HĐ2 trang 5

Đề bài:

a) Viết công thức tính diện tích $S$ của hình tròn bán kính $r$.

b) Hoàn thành bảng sau vào vở (lấy $\pi = 3{,}14$ và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Lời giải:

a) Công thức tính diện tích hình tròn bán kính $r$:

$$S = \pi r^2.$$

b) Lấy $\pi \approx 3{,}14$, thay từng giá trị $r$ vào:

• $r = 1$: $S = 3{,}14 \cdot 1^2 = 3{,}14$ (cm²).
• $r = 2$: $S = 3{,}14 \cdot 2^2 = 3{,}14 \cdot 4 = 12{,}56$ (cm²).
• $r = 3$: $S = 3{,}14 \cdot 3^2 = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$ (cm²).
• $r = 4$: $S = 3{,}14 \cdot 4^2 = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24$ (cm²).

Ta có bảng:

Luyện tập 1 trang 5

Đề bài: Cho hàm số $y = -\dfrac{3}{2}x^2$. Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

Lời giải:

Thay lần lượt từng giá trị của $x$ vào $y = -\dfrac{3}{2}x^2$:

• $x = -3$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 9 = -\dfrac{27}{2}$.
• $x = -2$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 4 = -6$.
• $x = -1$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 1 = -\dfrac{3}{2}$.
• $x = 0$: $y = 0$.
• $x = 1$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 1 = -\dfrac{3}{2}$.
• $x = 2$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 4 = -6$.
• $x = 3$: $y = -\dfrac{3}{2} \cdot 9 = -\dfrac{27}{2}$.

Ta có bảng:

Nhận xét: Hai giá trị $x$ đối nhau cho cùng một giá trị $y$ (vì $(-x)^2 = x^2$).

Vận dụng 1 trang 5

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $a$ (cm) và chiều cao $15$ cm.

a) Viết công thức tính thể tích $V$ của hình chóp theo $a$ và tính giá trị của $V$ khi $a = 5$ cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình chóp thay đổi thế nào?

Lời giải:

a) Diện tích đáy hình vuông cạnh $a$ là $S = a^2$ (cm²). Thể tích hình chóp:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot 15 = 5a^2 \ (\text{cm}^3).$$

Khi $a = 5$ cm: $V = 5 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125$ (cm³).

b) Khi cạnh đáy tăng lên hai lần, cạnh mới là $2a$. Thể tích mới:

$$V’ = 5 \cdot (2a)^2 = 5 \cdot 4a^2 = 20a^2 = 4 \cdot 5a^2 = 4V.$$

Vậy thể tích của hình chóp tăng lên $4$ lần.

2. Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

HĐ3 trang 6

Đề bài: Cho hàm số $y = 2x^2$.

a) Hoàn thành bảng giá trị vào vở.

b) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, biểu diễn các điểm $(x;\ y)$ trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $(x;\ 2x^2)$ với $x \in \mathbb{R}$ và nối lại, ta được đồ thị của hàm số $y = 2x^2$.

Lời giải:

a) Thay lần lượt các giá trị $x$ vào $y = 2x^2$:

b) Biểu diễn $7$ điểm $(-3;\ 18)$, $(-2;\ 8)$, $(-1;\ 2)$, $(0;\ 0)$, $(1;\ 2)$, $(2;\ 8)$, $(3;\ 18)$ trên mặt phẳng toạ độ rồi nối lại bằng một đường cong trơn, ta được đồ thị của $y = 2x^2$.

HĐ4 trang 6

Đề bài: Xét đồ thị của hàm số $y = 2x^2$ đã vẽ ở HĐ3 (H.6.3).

a) Đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục hoành? Điểm nào là điểm thấp nhất của đồ thị?

b) So sánh hoành độ và tung độ của các cặp điểm thuộc đồ thị: $A(1;\ 2)$ và $A'(-1;\ 2)$; $B(2;\ 8)$ và $B'(-2;\ 8)$. Từ đó hãy nhận xét mối liên hệ về vị trí giữa các cặp điểm nêu trên.

c) Tìm điểm $C$ có hoành độ $x = \dfrac{1}{2}$ thuộc đồ thị. Xác định toạ độ điểm $C’$ đối xứng với $C$ qua trục tung $Oy$ và cho biết $C’$ có thuộc đồ thị đã cho hay không.

Lời giải:

a) Vì $y = 2x^2 \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên đồ thị nằm phía trên trục hoành (đường thẳng $y = 0$), chỉ tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ.

Điểm thấp nhất là gốc toạ độ $O(0;\ 0)$ (tại đây $y = 0$, là giá trị nhỏ nhất).

b) So sánh hai cặp điểm:

• $A(1;\ 2)$ và $A'(-1;\ 2)$: hoành độ là hai số đối nhau ($1$ và $-1$), tung độ bằng nhau.
• $B(2;\ 8)$ và $B'(-2;\ 8)$: hoành độ là hai số đối nhau ($2$ và $-2$), tung độ bằng nhau.

Nhận xét: Hai điểm có hoành độ đối nhau và cùng tung độ thì đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$. Vậy $A$ đối xứng với $A’$ qua $Oy$, $B$ đối xứng với $B’$ qua $Oy$.

c) Điểm $C$ có hoành độ $x = \dfrac{1}{2}$ thuộc đồ thị $y = 2x^2$, nên tung độ:

$$y_C = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.$$

Vậy $C\left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$.

Điểm $C’$ đối xứng với $C$ qua $Oy$ có hoành độ đối, tung độ bằng nhau, nên $C’\left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$.

Kiểm tra $C’$ có thuộc đồ thị không: thay $x = -\dfrac{1}{2}$ vào $y = 2x^2$:

$$y = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.$$

Đúng bằng tung độ của $C’$, vậy $C’$ thuộc đồ thị.

Luyện tập 2 trang 8

Đề bài: Vẽ đồ thị của hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$. Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $2$ và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Lời giải:

Bước 1: Lập bảng giá trị. Thay các giá trị $x$ thuận tiện vào $y = \dfrac{1}{2}x^2$:

Bước 2: Vẽ đồ thị. Biểu diễn các điểm trong bảng trên mặt phẳng toạ độ rồi nối lại bằng đường cong trơn.

Bước 3: Tìm điểm có tung độ bằng $2$. Đặt $y = 2$, ta có:

$$\dfrac{1}{2}x^2 = 2 ;\Leftrightarrow; x^2 = 4 ;\Leftrightarrow; x = 2 \text{ hoặc } x = -2.$$

Vậy có hai điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $2$: $M(2;\ 2)$ và $N(-2;\ 2)$.

Nhận xét: Hai điểm $M$ và $N$ có hoành độ đối nhau, tung độ bằng nhau, nên chúng đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$.

Vận dụng 2 trang 8

Đề bài: Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ trục toạ độ và xác định các điểm.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ như Hình 6.1, gốc $O$ ở tâm cây cầu, trục $Ox$ trùng với mặt cầu, trục $Oy$ thẳng đứng hướng lên. Khi đó:

• Hai đỉnh trụ tháp ở vị trí $A(-200;\ 75)$ và $B(200;\ 75)$ (vì hai trụ cách nhau $400$ m nên mỗi trụ cách tâm $O$ là $200$ m, cao $75$ m).
• Điểm $H$ trên mặt cầu, cách tâm $O$ là $100$ m: $H(100;\ 0)$.
• Điểm $C$ thuộc dây cáp, nằm trên đường thẳng đứng qua $H$ (cùng hoành độ).

Bước 2: Tìm hệ số $a$ của hàm số $y = ax^2$.

Vì dây cáp có dạng $y = ax^2$ và đi qua điểm $B(200;\ 75)$, ta thay vào:

$$75 = a \cdot 200^2 = 40\,000 a ;\Leftrightarrow; a = \dfrac{75}{40\,000} = \dfrac{3}{1600}.$$

Hàm số: $y = \dfrac{3}{1600}x^2$.

Bước 3: Tính $CH$.

Vì $C$ thuộc dây cáp, có hoành độ $x = 100$, nên:

$$y_C = \dfrac{3}{1600} \cdot 100^2 = \dfrac{3}{1600} \cdot 10\,000 = \dfrac{30\,000}{1600} = 18{,}75.$$

$H(100;\ 0)$ và $C(100;\ 18{,}75)$, đoạn $CH$ thẳng đứng có độ dài:

$$CH = 18{,}75 – 0 = 18{,}75 \ (\text{m}).$$

Kết luận: Chiều cao của dây cáp tại vị trí cách tâm cầu $100$ m là $18{,}75$ m.

Bài tập

Bài 6.1 trang 8

Đề bài: Cho hàm số $y = 0{,}25x^2$. Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

Lời giải:

Thay từng giá trị $x$ vào $y = 0{,}25x^2$:

• $x = \pm 3$: $y = 0{,}25 \cdot 9 = 2{,}25$.
• $x = \pm 2$: $y = 0{,}25 \cdot 4 = 1$.
• $x = \pm 1$: $y = 0{,}25 \cdot 1 = 0{,}25$.
• $x = 0$: $y = 0$.

Ta có bảng:

Bài 6.2 trang 8

Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh $a$ (cm) và chiều cao $10$ cm.

a) Viết công thức tính thể tích $V$ của hình lăng trụ theo $a$ và tính giá trị của $V$ khi $a = 2$ cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình lăng trụ thay đổi thế nào?

Lời giải:

a) Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân chiều cao:

$$V = a^2 \cdot 10 = 10 a^2 \ (\text{cm}^3).$$

Khi $a = 2$ cm: $V = 10 \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40$ (cm³).

b) Khi cạnh đáy tăng hai lần, cạnh mới là $2a$. Thể tích mới:

$$V’ = 10 \cdot (2a)^2 = 10 \cdot 4a^2 = 40 a^2 = 4 \cdot 10 a^2 = 4V.$$

Vậy thể tích hình lăng trụ tăng lên $4$ lần.

Bài 6.3 trang 8

Đề bài: Diện tích toàn phần $S$ (cm²) của hình lập phương, tức là tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai mặt đáy là một hàm số của độ dài cạnh $a$ (cm).

a) Viết công thức của hàm số này.

b) Sử dụng công thức nhận được ở câu a để tính độ dài cạnh của một hình lập phương có diện tích toàn phần là $54$ cm².

Lời giải:

a) Hình lập phương có $6$ mặt đều là hình vuông cạnh $a$, diện tích mỗi mặt là $a^2$. Diện tích toàn phần:

$$S = 6 a^2 \ (\text{cm}^2).$$

b) Cho $S = 54$ cm², tìm $a$:

$$6 a^2 = 54 ;\Leftrightarrow; a^2 = 9 ;\Leftrightarrow; a = 3 \ (\text{do } a > 0).$$

Vậy độ dài cạnh của hình lập phương là $3$ cm.

Bài 6.4 trang 8

Đề bài: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = 3x^2$;

b) $y = -\dfrac{1}{3}x^2$.

Lời giải:

a) $y = 3x^2$. Lập bảng giá trị:

Biểu diễn các điểm $(-2;\ 12)$, $(-1;\ 3)$, $(0;\ 0)$, $(1;\ 3)$, $(2;\ 12)$ trên mặt phẳng toạ độ rồi nối lại bằng đường cong trơn.

Vì $a = 3 > 0$, đồ thị nằm phía trên trục hoành, đỉnh là gốc $O$, đối xứng qua trục $Oy$.

b) $y = -\dfrac{1}{3}x^2$. Lập bảng giá trị:

Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng toạ độ rồi nối lại bằng đường cong trơn.

Vì $a = -\dfrac{1}{3} < 0$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành, đỉnh là gốc $O$, đối xứng qua trục $Oy$.

Bài 6.5 trang 8

Đề bài: Biết rằng đường cong trong Hình 6.6 là một parabol $y = ax^2$.

a) Tìm hệ số $a$.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x = -2$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y = 8$.

Lời giải:

a) Tìm hệ số $a$.

Từ Hình 6.6, parabol đi qua điểm $(2;\ 2)$. Thay vào $y = ax^2$:

$$2 = a \cdot 2^2 = 4a ;\Leftrightarrow; a = \dfrac{1}{2}.$$

Vậy hàm số là $y = \dfrac{1}{2}x^2$.

b) Tìm tung độ tại $x = -2$.

Thay $x = -2$ vào $y = \dfrac{1}{2}x^2$:

$$y = \dfrac{1}{2} \cdot (-2)^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2.$$

Vậy tung độ của điểm có hoành độ $x = -2$ là $y = 2$.

c) Tìm các điểm có tung độ $y = 8$.

Đặt $y = 8$:

$$\dfrac{1}{2}x^2 = 8 ;\Leftrightarrow; x^2 = 16 ;\Leftrightarrow; x = 4 \text{ hoặc } x = -4.$$

Vậy có hai điểm thuộc parabol có tung độ bằng $8$: $(4;\ 8)$ và $(-4;\ 8)$.

Bài 6.6 trang 9

Đề bài: Trong Hình 6.7 có hai đường cong là đồ thị của hai hàm số $y = -3x^2$ và $y = x^2$. Hãy cho biết đường nào là đồ thị của hàm số $y = -3x^2$.

Lời giải:

Ta nhận xét hệ số $a$ của hai hàm số:

• Hàm số $y = x^2$ có $a = 1 > 0$ → đồ thị nằm phía trên trục hoành, mở lên.
• Hàm số $y = -3x^2$ có $a = -3 < 0$ → đồ thị nằm phía dưới trục hoành, mở xuống.

Trong Hình 6.7, đường cong nằm phía dưới trục hoành (mở xuống) chính là đồ thị của hàm số $y = -3x^2$. Đường cong còn lại (mở lên) là đồ thị của $y = x^2$.

Bài 6.7 trang 9

Đề bài: Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol $y = ax^2$ như Hình 6.8. Biết chiều rộng của chân cổng là $AB = 6$ m và chiều cao của cổng là $OI = 4{,}5$ m.

a) Tìm hệ số $a$ dựa vào các dữ kiện trên. Từ đó, tính độ dài đoạn $HK$ biết $H$ cách điểm chính giữa cổng $I$ là $2$ m.

b) Để vận chuyển hàng qua cổng, người ta dự định sử dụng một xe tải có chiều rộng $2$ m, chiều cao $3$ m. Hỏi xe tải này có thể đi qua được cổng vòm đó hay không?

Lời giải:

a) Tìm hệ số $a$ và tính $HK$.

Vì $AB = 6$ m, $I$ là điểm chính giữa $AB$ nên $IA = IB = 3$ m. Với hệ toạ độ trong hình ($O$ ở đỉnh cổng, trục $Oy$ hướng xuống dưới qua $I$, trục $Ox$ vuông góc với $OI$), ta có toạ độ:

$$A(-3;\ -4{,}5),\quad B(3;\ -4{,}5),\quad I(0;\ -4{,}5).$$

Parabol đi qua $B(3;\ -4{,}5)$, thay vào $y = ax^2$:

$$-4{,}5 = a \cdot 3^2 = 9a ;\Leftrightarrow; a = -\dfrac{4{,}5}{9} = -\dfrac{1}{2}.$$

Vậy hàm số là $y = -\dfrac{1}{2}x^2$.

Tính $HK$: $H$ cách $I$ là $2$ m và nằm trên đoạn $IB$ nên $H(2;\ -4{,}5)$. $K$ trên parabol có cùng hoành độ với $H$, tức $x_K = 2$:

$$y_K = -\dfrac{1}{2} \cdot 2^2 = -2.$$

Vậy $K(2;\ -2)$. Đoạn $HK$ thẳng đứng có độ dài:

$$HK = |y_K – y_H| = |-2 – (-4{,}5)| = 2{,}5 \ (\text{m}).$$

b) Xét xe tải có đi qua được không.

Để xe tải đi qua, ta đặt xe ở giữa cổng (đối xứng qua $OI$). Xe rộng $2$ m nên hai mép xe cách $I$ là $1$ m, tức ứng với $x = \pm 1$.

Tại $x = 1$, điểm trên parabol có tung độ:

$$y = -\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 = -\dfrac{1}{2}.$$

Khoảng cách từ mặt đất ($y = -4{,}5$) đến điểm này trên cổng là:

$$\left|-\dfrac{1}{2} – (-4{,}5)\right| = 4 \ (\text{m}).$$

Vậy chiều cao của cổng tại vị trí mép xe là $4$ m, lớn hơn chiều cao của xe ($3$ m).

Kết luận: Xe tải có thể đi qua được cổng vòm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du