Mở đầu trang 25

Đề bài: Bác Lan gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn $12$ tháng theo thể thức lãi kép. Sau năm thứ nhất, do chưa có nhu cầu sử dụng nên bác Lan không rút tiền ra mà tiếp tục gửi $12$ tháng nữa, với lãi suất như cũ. Sau hai năm bác Lan rút tiền ra thì nhận được $118{,}81$ triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Hỏi lãi suất gửi tiết kiệm là bao nhiêu?

Lời giải:

Bài toán sẽ được giải qua các HĐ1, HĐ2, HĐ3 ngay sau đây. Tóm tắt kết quả: lãi suất gửi tiết kiệm là $9\%$/năm.

HĐ1 trang 25

Đề bài: Gọi $x$ là lãi suất gửi tiết kiệm của bác Lan ($x$ được cho dưới dạng số thập phân). Hãy biểu thị số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác Lan sau kì gửi thứ nhất theo $x$.

Lời giải:

Sau kì gửi thứ nhất ($12$ tháng):

• Tiền lãi $= 100 \cdot x$ (triệu đồng).
• Tổng tiền thu được (vốn + lãi) $= 100 + 100x = 100(1 + x)$ (triệu đồng).

HĐ2 trang 25

Đề bài: Hết kì gửi thứ nhất, bác Lan không rút tiền ra mà tiếp tục gửi tiết kiệm kì thứ hai với lãi suất như cũ. Hãy biểu thị số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác Lan sau kì gửi thứ hai theo $x$.

Lời giải:

Đầu kì gửi thứ hai, “vốn” bây giờ chính là tổng số tiền thu được sau kì thứ nhất, tức $100(1 + x)$ triệu đồng. Với lãi suất $x$ như cũ:

• Tiền lãi của kì thứ hai $= 100(1 + x) \cdot x$.
• Tổng tiền thu được sau kì thứ hai:

$$100(1 + x) + 100(1 + x) \cdot x = 100(1 + x)(1 + x) = 100(1 + x)^2 \ (\text{triệu đồng}).$$

HĐ3 trang 25

Đề bài: Dựa vào đề bài, viết phương trình ẩn $x$ thu được và giải phương trình này để tìm $x$. Từ đó, trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Theo đề bài, sau hai năm bác Lan nhận được $118{,}81$ triệu đồng, nên:

$$100(1 + x)^2 = 118{,}81 ;\Leftrightarrow; (1 + x)^2 = 1{,}1881.$$

Vì $1 + x > 0$ (do $x$ là lãi suất, dương), ta có:

$$1 + x = \sqrt{1{,}1881} = 1{,}09 ;\Leftrightarrow; x = 0{,}09.$$

Trả lời: Lãi suất gửi tiết kiệm là $x = 0{,}09 = 9\%$/năm.

Luyện tập

Luyện tập trang 27

Đề bài: Một đội xe gồm các xe tải cùng loại, cần phải chở $120$ tấn hàng. Tuy nhiên khi làm việc, có hai xe phải điều chuyển đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm $3$ tấn hàng. Hỏi đội xe đó có bao nhiêu chiếc xe tải?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình.

Gọi $x$ là số xe tải của đội (chiếc), điều kiện $x \in \mathbb{N}^*$ và $x > 2$ (vì phải có ít nhất nhiều hơn $2$ xe).

• Theo kế hoạch: mỗi xe chở $\dfrac{120}{x}$ tấn hàng.
• Thực tế còn $x – 2$ xe, mỗi xe chở $\dfrac{120}{x – 2}$ tấn hàng.

Vì thực tế mỗi xe phải chở thêm $3$ tấn:

$$\dfrac{120}{x – 2} – \dfrac{120}{x} = 3.$$

Bước 2: Giải phương trình.

Nhân cả hai vế với $x(x – 2)$ để khử mẫu:

$$120x – 120(x – 2) = 3x(x – 2).$$

Khai triển và thu gọn:

$$120x – 120x + 240 = 3x^2 – 6x ;\Leftrightarrow; 3x^2 – 6x – 240 = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 – 2x – 80 = 0.$$

Có $b’ = -1,\ \Delta’ = 1 + 80 = 81 > 0,\ \sqrt{\Delta’} = 9$.

$$x_1 = 1 + 9 = 10, \quad x_2 = 1 – 9 = -8.$$

Bước 3: Đối chiếu điều kiện. $x_1 = 10$ thoả mãn; $x_2 = -8$ loại.

Kết luận: Đội xe có $10$ chiếc xe tải.

Kiểm tra: kế hoạch mỗi xe chở $\dfrac{120}{10} = 12$ tấn; thực tế $8$ xe, mỗi xe chở $\dfrac{120}{8} = 15$ tấn — đúng là chở thêm $3$ tấn so với kế hoạch ✓.

Bài tập

Bài 6.28 trang 27

Đề bài: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $360$ m². Nếu tăng chiều rộng $3$ m và giảm chiều dài $4$ m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tìm các kích thước của mảnh đất đó.

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình.

Gọi chiều rộng của mảnh đất là $x$ (m), điều kiện $x > 0$. Vì diện tích $= 360$ m² nên chiều dài là $\dfrac{360}{x}$ (m).

Sau khi tăng chiều rộng $3$ m và giảm chiều dài $4$ m, kích thước mới:

• Chiều rộng mới: $x + 3$ (m).
• Chiều dài mới: $\dfrac{360}{x} – 4$ (m), điều kiện $\dfrac{360}{x} – 4 > 0$.

Vì diện tích không đổi, ta có:

$$(x + 3)\left(\dfrac{360}{x} – 4\right) = 360.$$

Bước 2: Giải phương trình.

Khai triển:

$$360 – 4x + \dfrac{1080}{x} – 12 = 360 ;\Leftrightarrow; -4x + \dfrac{1080}{x} – 12 = 0.$$

Nhân cả hai vế với $x$:

$$-4x^2 + 1080 – 12x = 0 ;\Leftrightarrow; 4x^2 + 12x – 1080 = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 + 3x – 270 = 0.$$

Có $\Delta = 9 + 1080 = 1089,\ \sqrt{\Delta} = 33$.

$$x_1 = \dfrac{-3 + 33}{2} = 15, \quad x_2 = \dfrac{-3 – 33}{2} = -18.$$

Bước 3: Đối chiếu điều kiện. $x_1 = 15$ thoả mãn; $x_2 = -18$ loại.

Với $x = 15$ m, chiều dài $= \dfrac{360}{15} = 24$ m.

Kết luận: Mảnh đất có chiều rộng $15$ m và chiều dài $24$ m.

Bài 6.29 trang 27

Đề bài: Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ $1\,200\,000$ người lên $1\,452\,000$ người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình.

Gọi $x$ là tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm (dạng số thập phân), điều kiện $x > 0$.

• Sau năm thứ nhất: dân số $= 1\,200\,000 \cdot (1 + x)$ (người).
• Sau năm thứ hai (tăng tiếp với tỉ lệ $x$): dân số $= 1\,200\,000 \cdot (1 + x)^2$.

Theo đề bài, sau $2$ năm dân số bằng $1\,452\,000$:

$$1\,200\,000 \cdot (1 + x)^2 = 1\,452\,000.$$

Bước 2: Giải phương trình.

$$(1 + x)^2 = \dfrac{1\,452\,000}{1\,200\,000} = 1{,}21.$$

Vì $1 + x > 0$:

$$1 + x = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 ;\Leftrightarrow; x = 0{,}1.$$

Bước 3: Đối chiếu điều kiện. $x = 0{,}1 > 0$ thoả mãn.

Kết luận: Trung bình mỗi năm dân số tăng $0{,}1 = 10\%$.

Bài 6.30 trang 27

Đề bài: Một thanh sô cô la có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $12$ cm, chiều rộng $7$ cm và độ dày $3$ cm. Do giá nguyên liệu ca cao tăng nhưng vẫn muốn giữ nguyên giá bán nên nhà sản xuất quyết định giảm $10\%$ thể tích của mỗi thanh sô cô la. Để thực hiện việc này, nhà sản xuất dự định làm thanh sô cô la mới có cùng độ dày $3$ cm như thanh cũ, nhưng chiều dài và chiều rộng sẽ giảm đi cùng một số centimét. Hỏi kích thước của thanh sô cô la mới là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của cm)?

Lời giải:

Bước 1: Tính thể tích cũ và mới.

• Thể tích thanh cũ: $V_1 = 12 \cdot 7 \cdot 3 = 252$ (cm³).
• Thể tích thanh mới (giảm $10\%$): $V_2 = 252 \cdot 0{,}9 = 226{,}8$ (cm³).

Bước 2: Lập phương trình.

Gọi $x$ (cm) là số cm giảm đi của mỗi cạnh chiều dài và chiều rộng, điều kiện $0 < x < 7$ (vì chiều rộng mới phải dương).

• Chiều dài mới: $12 – x$ (cm).
• Chiều rộng mới: $7 – x$ (cm).
• Độ dày giữ nguyên: $3$ cm.

Thể tích thanh mới:

$$(12 – x)(7 – x) \cdot 3 = 226{,}8 ;\Leftrightarrow; (12 – x)(7 – x) = 75{,}6.$$

Khai triển:

$$84 – 12x – 7x + x^2 = 75{,}6 ;\Leftrightarrow; x^2 – 19x + 8{,}4 = 0.$$

Bước 3: Giải phương trình.

$\Delta = (-19)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 8{,}4 = 361 – 33{,}6 = 327{,}4$, $\sqrt{\Delta} \approx 18{,}09$.

$$x_1 = \dfrac{19 + 18{,}09}{2} \approx 18{,}55, \quad x_2 = \dfrac{19 – 18{,}09}{2} \approx 0{,}45.$$

Bước 4: Đối chiếu điều kiện $0 < x < 7$. $x_1 \approx 18{,}55$ loại; $x_2 \approx 0{,}45$ nhận.

Với $x \approx 0{,}45$ cm:

• Chiều dài mới $\approx 12 – 0{,}45 = 11{,}55$ (cm).
• Chiều rộng mới $\approx 7 – 0{,}45 = 6{,}55$ (cm).

Kết luận: Thanh sô cô la mới có kích thước xấp xỉ $11{,}55$ cm $\times$ $6{,}55$ cm $\times$ $3$ cm.

Bài 6.31 trang 27

Đề bài: Một máy bay khởi hành từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh, sau đó nghỉ $96$ phút và tiếp tục bay về Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là $100$ km/h. Tổng thời gian của cả hành trình, kể từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là $6$ giờ. Tính vận tốc của máy bay lúc đi, biết quãng đường bay Hà Nội — Thành phố Hồ Chí Minh dài khoảng $1\,200$ km.

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình.

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc máy bay lúc đi, điều kiện $x > 0$.

• Vận tốc lúc về: $x + 100$ (km/h).
• Thời gian lúc đi: $\dfrac{1200}{x}$ (giờ).
• Thời gian lúc về: $\dfrac{1200}{x + 100}$ (giờ).
• Thời gian nghỉ: $96$ phút $= \dfrac{96}{60} = 1{,}6$ (giờ).

Tổng thời gian $= 6$ giờ:

$$\dfrac{1200}{x} + 1{,}6 + \dfrac{1200}{x + 100} = 6 ;\Leftrightarrow; \dfrac{1200}{x} + \dfrac{1200}{x + 100} = 4{,}4.$$

Bước 2: Giải phương trình.

Nhân cả hai vế với $x(x + 100)$:

$$1200(x + 100) + 1200x = 4{,}4 \cdot x(x + 100).$$

Khai triển:

$$2400x + 120\,000 = 4{,}4x^2 + 440x ;\Leftrightarrow; 4{,}4x^2 – 1960x – 120\,000 = 0.$$

Chia cả hai vế cho $0{,}4$ (hoặc nhân $10$ rồi chia $4$): $11x^2 – 4900x – 300\,000 = 0$.

$\Delta = 4900^2 + 4 \cdot 11 \cdot 300\,000 = 24\,010\,000 + 13\,200\,000 = 37\,210\,000$.

$\sqrt{\Delta} = 6100$.

$$x_1 = \dfrac{4900 + 6100}{22} = \dfrac{11\,000}{22} = 500, \quad x_2 = \dfrac{4900 – 6100}{22} \approx -54{,}55.$$

Bước 3: Đối chiếu. $x_1 = 500$ nhận; $x_2 < 0$ loại.

Kết luận: Vận tốc máy bay lúc đi là $500$ km/h.

Kiểm tra: thời gian đi $= 1200/500 = 2{,}4$ giờ; vận tốc về $= 600$ km/h, thời gian về $= 1200/600 = 2$ giờ; nghỉ $1{,}6$ giờ. Tổng $= 2{,}4 + 1{,}6 + 2 = 6$ giờ ✓.

Bài 6.32 trang 27

Đề bài: Một ô tô khách khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng. Sau đó $30$ phút, một ô tô con xuất phát từ cùng địa điểm ở Hà Nội và cũng đi về Hải Phòng trên cùng tuyến đường, với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô khách là $20$ km/h. Hai xe đến cùng một địa điểm ở Hải Phòng tại cùng một thời điểm. Hãy tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng quãng đường Hà Nội — Hải Phòng dài khoảng $120$ km.

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình.

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của ô tô khách, điều kiện $x > 0$.

• Vận tốc ô tô con: $x + 20$ (km/h).
• Thời gian ô tô khách đi từ Hà Nội đến Hải Phòng: $\dfrac{120}{x}$ (giờ).
• Thời gian ô tô con đi: $\dfrac{120}{x + 20}$ (giờ).

Vì ô tô con xuất phát sau $30$ phút $= 0{,}5$ giờ nhưng đến cùng thời điểm, nên ô tô khách đi lâu hơn ô tô con đúng $0{,}5$ giờ:

$$\dfrac{120}{x} – \dfrac{120}{x + 20} = 0{,}5.$$

Bước 2: Giải phương trình.

Nhân cả hai vế với $x(x + 20)$:

$$120(x + 20) – 120x = 0{,}5 \cdot x(x + 20).$$

Khai triển:

$$120x + 2400 – 120x = 0{,}5x^2 + 10x ;\Leftrightarrow; 2400 = 0{,}5x^2 + 10x.$$

Nhân hai vế với $2$:

$$x^2 + 20x – 4800 = 0.$$

Có $b’ = 10,\ \Delta’ = 100 + 4800 = 4900,\ \sqrt{\Delta’} = 70$.

$$x_1 = -10 + 70 = 60, \quad x_2 = -10 – 70 = -80.$$

Bước 3: Đối chiếu. $x_1 = 60$ nhận; $x_2$ loại.

Kết luận: Vận tốc ô tô khách là $60$ km/h, vận tốc ô tô con là $60 + 20 = 80$ km/h.

Kiểm tra: thời gian khách $= 120/60 = 2$ giờ; thời gian con $= 120/80 = 1{,}5$ giờ. Chênh lệch $= 0{,}5$ giờ $= 30$ phút ✓.

Bài 6.33 trang 27

Đề bài: Một xưởng may phải may $1\,500$ chiếc áo trong thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn $10$ chiếc áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Do đó, ba ngày trước khi hết thời hạn, xưởng đã may được $1\,320$ áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may xong bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình.

Gọi $x$ (áo) là số áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch, điều kiện $x \in \mathbb{N}^*$.

• Theo kế hoạch: tổng thời gian $= \dfrac{1500}{x}$ (ngày).
• Thực tế mỗi ngày may được: $x + 10$ (áo).
• Đến $3$ ngày trước khi hết thời hạn, tức xưởng đã may được trong $\left(\dfrac{1500}{x} – 3\right)$ ngày, số áo may được là $1\,320$:

$$(x + 10)\left(\dfrac{1500}{x} – 3\right) = 1\,320.$$

Bước 2: Giải phương trình.

Khai triển:

$$1500 – 3x + \dfrac{15\,000}{x} – 30 = 1\,320 ;\Leftrightarrow; -3x + \dfrac{15\,000}{x} = -150.$$

Nhân cả hai vế với $x$:

$$-3x^2 + 15\,000 = -150x ;\Leftrightarrow; 3x^2 – 150x – 15\,000 = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 – 50x – 5\,000 = 0.$$

Có $b’ = -25,\ \Delta’ = 625 + 5\,000 = 5\,625,\ \sqrt{\Delta’} = 75$.

$$x_1 = 25 + 75 = 100, \quad x_2 = 25 – 75 = -50.$$

Bước 3: Đối chiếu điều kiện. $x_1 = 100$ thoả mãn; $x_2 = -50$ loại.

Kết luận: Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may $100$ chiếc áo.

Kiểm tra: thời gian kế hoạch $= 1500/100 = 15$ ngày; thực tế mỗi ngày may $110$ áo; sau $15 – 3 = 12$ ngày may được $12 \cdot 110 = 1\,320$ áo ✓.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du