Mở đầu trang 46

Đề bài: Để tìm hiểu về thời gian tự học trong ngày của học sinh, giáo viên chủ nhiệm lớp 9C đã phát phiếu hỏi (với 4 mức: A. Từ 0 đến dưới 1 giờ; B. Từ 1 đến dưới 2 giờ; C. Từ 2 đến dưới 3 giờ; D. Từ 3 đến dưới 4 giờ) cho các bạn trong lớp. Chúng ta biểu diễn dữ liệu thu được như thế nào?

Lời giải:

Khi dữ liệu được chia thành các nhóm (mỗi nhóm là một khoảng số như $[0;1)$, $[1;2)$, …), ta dùng bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm để biểu diễn. Khi muốn nhìn dữ liệu trực quan hơn, ta vẽ thêm biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột hoặc dạng đoạn thẳng. Các cách biểu diễn này sẽ được trình bày chi tiết trong các phần tiếp theo của bài.

1. Bảng tần số, tần số tương đối ghép nhóm

HĐ1 trang 46

Đề bài: Giáo viên chủ nhiệm lớp 9C đã thu được kết quả: thời gian tự học dưới $1$ giờ có $10$ bạn; từ $1$ giờ đến dưới $2$ giờ có $15$ bạn; từ $2$ giờ đến dưới $3$ giờ có $8$ bạn; từ $3$ giờ đến dưới $4$ giờ có $7$ bạn. Hoàn thiện Bảng 7.1 (bảng tần số ghép nhóm) và Bảng 7.2 (bảng tần số tương đối ghép nhóm).

Lời giải:

Bảng 7.1 — Bảng tần số ghép nhóm. Điền tần số tương ứng với mỗi nhóm:

Tổng số học sinh là:

$$n = 10 + 15 + 8 + 7 = 40 \text{ (học sinh)}.$$

Bảng 7.2 — Bảng tần số tương đối ghép nhóm. Áp dụng công thức $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$:

$$f_1 = \dfrac{10}{40} \cdot 100\% = 25\%;$$

$$f_2 = \dfrac{15}{40} \cdot 100\% = 37{,}5\%;$$

$$f_3 = \dfrac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%;$$

$$f_4 = \dfrac{7}{40} \cdot 100\% = 17{,}5\%.$$

Kiểm tra: $25\% + 37{,}5\% + 20\% + 17{,}5\% = 100\%$ ✓

Luyện tập 1 trang 48

Đề bài: Cho bảng tần số ghép nhóm về tuổi thọ của một số ong mật cái:

a) Đọc và giải thích bảng thống kê trên.

b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho bảng thống kê này.

Lời giải:

a) Đọc bảng:

• Có $12$ con ong mật cái có tuổi thọ từ $30$ đến dưới $40$ ngày.
• Có $23$ con ong mật cái có tuổi thọ từ $40$ đến dưới $50$ ngày.
• Có $15$ con ong mật cái có tuổi thọ từ $50$ đến dưới $60$ ngày.

b) Tổng số ong là:

$$n = 12 + 23 + 15 = 50 \text{ (con)}.$$

Tần số tương đối của mỗi nhóm:

$$f_1 = \dfrac{12}{50} \cdot 100\% = 24\%;$$

$$f_2 = \dfrac{23}{50} \cdot 100\% = 46\%;$$

$$f_3 = \dfrac{15}{50} \cdot 100\% = 30\%.$$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

Kiểm tra: $24\% + 46\% + 30\% = 100\%$ ✓

Luyện tập 2 trang 48

Đề bài: Năm $2021$, chỉ số HDI của $11$ quốc gia Đông Nam Á như sau:

$$0{,}939;\ 0{,}829;\ 0{,}803;\ 0{,}8;\ 0{,}705;\ 0{,}703;\ 0{,}699;\ 0{,}607;\ 0{,}607;\ 0{,}593;\ 0{,}585.$$

Các nước được chia theo HDI: Nhóm 4 (thấp) — HDI dưới $0{,}55$; Nhóm 3 (trung bình) — HDI từ $0{,}55$ đến dưới $0{,}7$; Nhóm 2 (cao) — HDI từ $0{,}7$ đến dưới $0{,}8$; Nhóm 1 (rất cao) — HDI từ $0{,}8$ trở lên.

Hoàn thành bảng tần số ghép nhóm với các nhóm $[0;\ 0{,}55)$, $[0{,}55;\ 0{,}7)$, $[0{,}7;\ 0{,}8)$, $[0{,}8;\ 1{,}0)$.

Lời giải:

Ta đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm trong dãy dữ liệu.

Nhóm $[0;\ 0{,}55)$ — HDI dưới $0{,}55$: Giá trị nhỏ nhất trong dãy là $0{,}585 \ge 0{,}55$, nên không có giá trị nào nhỏ hơn $0{,}55$. Tần số: $0$.

Nhóm $[0{,}55;\ 0{,}7)$ — HDI từ $0{,}55$ đến dưới $0{,}7$: Các giá trị thuộc nhóm này là $0{,}699;\ 0{,}607;\ 0{,}607;\ 0{,}593;\ 0{,}585$. Tần số: $5$.

Nhóm $[0{,}7;\ 0{,}8)$ — HDI từ $0{,}7$ đến dưới $0{,}8$: Các giá trị là $0{,}705;\ 0{,}703$. Lưu ý $0{,}8$ không thuộc nhóm này vì nhóm chỉ chứa các số “nhỏ hơn $0{,}8$”. Tần số: $2$.

Nhóm $[0{,}8;\ 1{,}0)$ — HDI từ $0{,}8$ đến dưới $1{,}0$: Các giá trị là $0{,}939;\ 0{,}829;\ 0{,}803;\ 0{,}8$. Tần số: $4$.

Kiểm tra: $0 + 5 + 2 + 4 = 11$ ✓

Bảng tần số ghép nhóm:

2. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột

HĐ2 trang 49

Đề bài: Biểu đồ Hình 7.17 cho biết tỉ lệ cân nặng của $62$ trẻ sơ sinh tại một bệnh viện. Các nhóm cân nặng (kg) lần lượt là $[2{,}5;\ 2{,}7)$, $[2{,}7;\ 2{,}9)$, $[2{,}9;\ 3{,}1)$, $[3{,}1;\ 3{,}3)$, $[3{,}3;\ 3{,}5)$, $[3{,}5;\ 3{,}7)$, $[3{,}7;\ 3{,}9)$, $[3{,}9;\ 4{,}1)$ với tỉ lệ tương ứng là $3{,}2\%;\ 6{,}5\%;\ 11{,}3\%;\ 19{,}4\%;\ 24{,}2\%;\ 16{,}1\%;\ 12{,}9\%;\ 6{,}4\%$.

a) Đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

b) Lập bảng thống kê cho số liệu được biểu diễn trên biểu đồ. Bảng thống kê đó có phải là bảng tần số tương đối ghép nhóm không?

Lời giải:

a) Đọc biểu đồ. Đây là biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột. Trục ngang biểu diễn cân nặng (kg) chia thành $8$ nhóm liên tiếp, trục đứng biểu diễn tần số tương đối (\%). Chiều cao mỗi cột cho biết tỉ lệ phần trăm trẻ sơ sinh có cân nặng thuộc nhóm tương ứng. Cụ thể:

• $3{,}2\%$ trẻ có cân nặng từ $2{,}5$ đến dưới $2{,}7$ kg.
• $6{,}5\%$ trẻ có cân nặng từ $2{,}7$ đến dưới $2{,}9$ kg.
• $11{,}3\%$ trẻ có cân nặng từ $2{,}9$ đến dưới $3{,}1$ kg.
• $19{,}4\%$ trẻ có cân nặng từ $3{,}1$ đến dưới $3{,}3$ kg.
• $24{,}2\%$ trẻ có cân nặng từ $3{,}3$ đến dưới $3{,}5$ kg (cao nhất).
• $16{,}1\%$ trẻ có cân nặng từ $3{,}5$ đến dưới $3{,}7$ kg.
• $12{,}9\%$ trẻ có cân nặng từ $3{,}7$ đến dưới $3{,}9$ kg.
• $6{,}4\%$ trẻ có cân nặng từ $3{,}9$ đến dưới $4{,}1$ kg.

b) Lập bảng thống kê:

Kiểm tra tổng: $3{,}2 + 6{,}5 + 11{,}3 + 19{,}4 + 24{,}2 + 16{,}1 + 12{,}9 + 6{,}4 = 100$ (\%) ✓

Vì bảng này biểu diễn tần số tương đối của các nhóm số liệu (mỗi nhóm là một khoảng số), nên bảng thống kê trên là bảng tần số tương đối ghép nhóm.

Luyện tập 3 trang 50

Đề bài: Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng sau về chiều cao của một số cây chà là giống $3$ tháng tuổi:

Lời giải:

Ta thực hiện theo $3$ bước trong bài.

Bước 1. Vẽ trục ngang để biểu diễn các nhóm chiều cao ($[30;34)$, $[34;38)$, $[38;42)$, $[42;46)$). Vẽ trục đứng để biểu diễn tần số tương đối (\%), chia thang phù hợp từ $0$ đến khoảng $40\%$.

Bước 2. Dựng $4$ hình cột kề nhau ứng với $4$ nhóm dữ liệu. Chiều cao mỗi cột bằng tần số tương đối của nhóm: $20$; $35$; $30$; $15$ (đơn vị \%).

Bước 3. Ghi chú giải cho các trục, ghi tỉ lệ trên đỉnh mỗi cột và đặt tiêu đề cho biểu đồ.

3. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng

Luyện tập 4 trang 52

Đề bài: Cho bảng tần số ghép nhóm sau về thời gian gọi (phút) của một số cuộc điện thoại:

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê trên.

Lời giải:

Bước 1. Tính tần số tương đối của mỗi nhóm. Tổng số cuộc gọi:

$$n = 6 + 14 + 20 + 12 + 8 = 60.$$

Áp dụng $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$:

$$f_1 = \dfrac{6}{60} \cdot 100\% = 10\%;\quad f_2 = \dfrac{14}{60} \cdot 100\% \approx 23{,}3\%;$$

$$f_3 = \dfrac{20}{60} \cdot 100\% \approx 33{,}3\%;\quad f_4 = \dfrac{12}{60} \cdot 100\% = 20\%;$$

$$f_5 = \dfrac{8}{60} \cdot 100\% \approx 13{,}3\%.$$

Bước 2. Chọn giá trị đại diện $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ cho từng nhóm:

• $x_1 = \dfrac{0{,}5 + 2{,}5}{2} = 1{,}5$.
• $x_2 = \dfrac{2{,}5 + 4{,}5}{2} = 3{,}5$.
• $x_3 = \dfrac{4{,}5 + 6{,}5}{2} = 5{,}5$.
• $x_4 = \dfrac{6{,}5 + 8{,}5}{2} = 7{,}5$.
• $x_5 = \dfrac{8{,}5 + 10{,}5}{2} = 9{,}5$.

Bảng giá trị đại diện và tần số tương đối:

Bước 3. Vẽ hai trục, xác định $5$ điểm $M_i(x_i;\ f_i)$ và nối các điểm liên tiếp bằng đoạn thẳng:

$$M_1(1{,}5;\ 10),\ M_2(3{,}5;\ 23{,}3),\ M_3(5{,}5;\ 33{,}3),\ M_4(7{,}5;\ 20),\ M_5(9{,}5;\ 13{,}3).$$

Bước 4. Ghi chú giải cho các trục, ghi giá trị tần số tương đối bên cạnh mỗi điểm và đặt tiêu đề cho biểu đồ.

Bài tập (trang 52 – 53)

Bài 7.17 trang 52

Đề bài: Một cuộc điều tra về thời gian dùng mạng Internet trong ngày của học sinh lớp 9 tại một thành phố cho kết quả:

a) Đọc và giải thích bảng thống kê trên.

b) Để thu được bảng thống kê trên, người ta đã thu về tổng cộng $2000$ phiếu trả lời. Lập bảng tần số ghép nhóm cho kết quả thu được.

Lời giải:

a) Đọc bảng: Bảng cho biết tỉ lệ phần trăm học sinh dùng Internet trong các khoảng thời gian khác nhau.

• $15\%$ học sinh dùng Internet từ $0$ đến dưới $0{,}5$ giờ.
• $27\%$ học sinh dùng Internet từ $0{,}5$ đến dưới $1$ giờ.
• $23\%$ học sinh dùng Internet từ $1$ đến dưới $1{,}5$ giờ.
• $18\%$ học sinh dùng Internet từ $1{,}5$ đến dưới $2$ giờ.
• $17\%$ học sinh dùng Internet từ $2$ đến dưới $2{,}5$ giờ.

Tổng tỉ lệ: $15 + 27 + 23 + 18 + 17 = 100$ (\%). Đây là bảng tần số tương đối ghép nhóm.

b) Đây là bài “ngược” — đã biết tần số tương đối $f_i$ và tổng $n = 2000$, ta tìm tần số $m_i = f_i \cdot n$:

• $m_1 = 15\% \cdot 2000 = 300$ (phiếu).
• $m_2 = 27\% \cdot 2000 = 540$ (phiếu).
• $m_3 = 23\% \cdot 2000 = 460$ (phiếu).
• $m_4 = 18\% \cdot 2000 = 360$ (phiếu).
• $m_5 = 17\% \cdot 2000 = 340$ (phiếu).

Kiểm tra: $300 + 540 + 460 + 360 + 340 = 2000$ ✓

Bảng tần số ghép nhóm:

Bài 7.18 trang 53

Đề bài: Ghi lại cấp độ của các trận động đất xảy ra tại một vùng trong $10$ năm thu được kết quả:

$$\text{I, V, II, III, VI, V, IV, II, III, V, VI, VII, VIII, I, I, II, VI, VII, IV.}$$

Theo thang Richter: cấp I có độ lớn từ $1$ đến dưới $3$; cấp II và III có độ lớn từ $3$ đến dưới $4$; cấp IV và V có độ lớn từ $4$ đến dưới $5$; cấp VI và VII có độ lớn từ $5$ đến dưới $6$; cấp VIII có độ lớn từ $6$ đến dưới $6{,}9$.

Lập bảng tần số ghép nhóm cho độ lớn các trận động đất xảy ra ở vùng này theo thang Richter.

Lời giải:

Bước 1: Đếm số trận theo từng cấp trong dãy $19$ phần tử:

• Cấp I: $3$ lần.
• Cấp II: $3$ lần.
• Cấp III: $2$ lần.
• Cấp IV: $2$ lần.
• Cấp V: $3$ lần.
• Cấp VI: $3$ lần.
• Cấp VII: $2$ lần.
• Cấp VIII: $1$ lần.

Tổng: $3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 19$ ✓

Bước 2: Gộp theo nhóm độ lớn (thang Richter):

• $[1;\ 3)$ — cấp I: $3$ trận.
• $[3;\ 4)$ — cấp II + III: $3 + 2 = 5$ trận.
• $[4;\ 5)$ — cấp IV + V: $2 + 3 = 5$ trận.
• $[5;\ 6)$ — cấp VI + VII: $3 + 2 = 5$ trận.
• $[6;\ 6{,}9)$ — cấp VIII: $1$ trận.

Bảng tần số ghép nhóm:

Kiểm tra: $3 + 5 + 5 + 5 + 1 = 19$ ✓

Bài 7.19 trang 53

Đề bài: Giáo viên ghi lại thời gian chạy cự li $100$ mét của các học sinh lớp 9A cho kết quả:

a) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương ứng.

b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.

Lời giải:

a) Có $4$ nhóm số liệu (thời gian, đơn vị giây) và tần số tương ứng:

• Nhóm $[13;\ 15)$ có tần số $5$ (có $5$ học sinh chạy từ $13$ đến dưới $15$ giây).
• Nhóm $[15;\ 17)$ có tần số $20$.
• Nhóm $[17;\ 19)$ có tần số $13$.
• Nhóm $[19;\ 21)$ có tần số $2$.

b) Tổng số học sinh: $n = 5 + 20 + 13 + 2 = 40$.

Tần số tương đối của mỗi nhóm:

$$f_1 = \dfrac{5}{40} \cdot 100\% = 12{,}5\%;$$

$$f_2 = \dfrac{20}{40} \cdot 100\% = 50\%;$$

$$f_3 = \dfrac{13}{40} \cdot 100\% = 32{,}5\%;$$

$$f_4 = \dfrac{2}{40} \cdot 100\% = 5\%.$$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

Kiểm tra: $12{,}5\% + 50\% + 32{,}5\% + 5\% = 100\%$ ✓

Bài 7.20 trang 53

Đề bài: Người ta trồng cà rốt và thử nghiệm một loại phân bón mới. Khi thu hoạch, đo chiều dài các củ cà rốt thu được kết quả:

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng thống kê trên.

Lời giải:

Bước 1: Tính tần số tương đối. Tổng số củ cà rốt:

$$n = 8 + 17 + 30 + 28 + 12 + 5 = 100 \text{ (củ)}.$$

Áp dụng công thức $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$:

$$f_1 = \dfrac{8}{100} \cdot 100\% = 8\%;\quad f_2 = \dfrac{17}{100} \cdot 100\% = 17\%;$$

$$f_3 = \dfrac{30}{100} \cdot 100\% = 30\%;\quad f_4 = \dfrac{28}{100} \cdot 100\% = 28\%;$$

$$f_5 = \dfrac{12}{100} \cdot 100\% = 12\%;\quad f_6 = \dfrac{5}{100} \cdot 100\% = 5\%.$$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

Kiểm tra: $8 + 17 + 30 + 28 + 12 + 5 = 100$ (\%) ✓

Bước 2: Vẽ biểu đồ. Vẽ hai trục, trục ngang là chiều dài (cm) với $6$ nhóm, trục đứng là tần số tương đối (\%). Dựng $6$ cột kề sát nhau với chiều cao lần lượt là $8;\ 17;\ 30;\ 28;\ 12;\ 5$ (đơn vị \%).

Bài 7.21 trang 53

Đề bài: Thời gian chờ mua vé xem bóng đá của một số cổ động viên được cho như sau:

a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.

b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê thu được ở câu a.

Lời giải:

a) Tổng số cổ động viên:

$$n = 15 + 38 + 50 + 27 + 20 + 10 = 160.$$

Tính tần số tương đối (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất):

$$f_1 = \dfrac{15}{160} \cdot 100\% \approx 9{,}4\%;\quad f_2 = \dfrac{38}{160} \cdot 100\% \approx 23{,}8\%;$$

$$f_3 = \dfrac{50}{160} \cdot 100\% \approx 31{,}3\%;\quad f_4 = \dfrac{27}{160} \cdot 100\% \approx 16{,}9\%;$$

$$f_5 = \dfrac{20}{160} \cdot 100\% = 12{,}5\%;\quad f_6 = \dfrac{10}{160} \cdot 100\% \approx 6{,}3\%.$$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

b) Vẽ biểu đồ dạng đoạn thẳng.

Bước 1. Chọn giá trị đại diện cho từng nhóm theo công thức $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$:

• $x_1 = \dfrac{0 + 5}{2} = 2{,}5;\quad x_2 = \dfrac{5 + 10}{2} = 7{,}5;\quad x_3 = \dfrac{10 + 15}{2} = 12{,}5.$
• $x_4 = \dfrac{15 + 20}{2} = 17{,}5;\quad x_5 = \dfrac{20 + 25}{2} = 22{,}5;\quad x_6 = \dfrac{25 + 30}{2} = 27{,}5.$

Bước 2. Xác định $6$ điểm:

$$M_1(2{,}5;\ 9{,}4),\ M_2(7{,}5;\ 23{,}8),\ M_3(12{,}5;\ 31{,}3),$$

$$M_4(17{,}5;\ 16{,}9),\ M_5(22{,}5;\ 12{,}5),\ M_6(27{,}5;\ 6{,}3).$$

Bước 3. Nối các điểm liên tiếp với nhau bằng đoạn thẳng. Ghi chú giải, tiêu đề và giá trị bên cạnh mỗi điểm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du