Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài toán mở đầu trang 21

Đề bài: Một vật có khối lượng $124$ g và thể tích $15$ cm³ là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng $1$ cm³ đồng nặng $8{,}9$ g và $1$ cm³ kẽm nặng $7$ g.

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi mở đầu. Cụ thể, gọi $x$ là số gam đồng và $y$ là số gam kẽm, ta lập được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả bài toán. Chi tiết được trình bày qua HĐ1, HĐ2, HĐ3 dưới đây.

HĐ1 trang 21

Đề bài: Biểu thị khối lượng của vật qua $x$ và $y$.

Lời giải:

Khối lượng của vật chính là tổng khối lượng đồng và kẽm:

$$x + y \ (\text{g}).$$

Theo giả thiết, vật có khối lượng $124$ g, nên ta có phương trình:

$$x + y = 124.$$

HĐ2 trang 21

Đề bài: Biểu thị thể tích của vật qua $x$ và $y$.

Lời giải:

Vì $1$ cm³ đồng nặng $8{,}9$ g nên $x$ gam đồng có thể tích là $\dfrac{x}{8{,}9}$ cm³.

Vì $1$ cm³ kẽm nặng $7$ g nên $y$ gam kẽm có thể tích là $\dfrac{y}{7}$ cm³.

Tổng thể tích của vật là:

$$\dfrac{x}{8{,}9} + \dfrac{y}{7} \ (\text{cm}^3).$$

Theo giả thiết, vật có thể tích $15$ cm³, nên ta có phương trình:

$$\dfrac{x}{8{,}9} + \dfrac{y}{7} = 15.$$

HĐ3 trang 21

Đề bài: Giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ nhận được ở HĐ1 và HĐ2. Từ đó trả lời câu hỏi ở tình huống mở đầu.

Lời giải:

Từ HĐ1 và HĐ2, ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y = 124 \\ \dfrac{x}{8{,}9} + \dfrac{y}{7} = 15. \end{cases}$$

Khử mẫu ở phương trình thứ hai bằng cách nhân hai vế với $8{,}9 \cdot 7 = 62{,}3$:

$$7x + 8{,}9y = 15 \cdot 62{,}3 = 934{,}5.$$

Hệ trở thành:

$$\begin{cases} x + y = 124 \\ 7x + 8{,}9y = 934{,}5. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $y = 124 – x$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$7x + 8{,}9(124 – x) = 934{,}5 ;\Leftrightarrow; 7x + 1103{,}6 – 8{,}9x = 934{,}5 ;\Leftrightarrow; -1{,}9x = -169{,}1 ;\Leftrightarrow; x = 89.$$

Suy ra $y = 124 – 89 = 35$.

Kiểm tra điều kiện: $x = 89 > 0$ và $y = 35 > 0$, thoả mãn.

Trả lời: Trong hợp kim có $89$ g đồng và $35$ g kẽm.

Luyện tập 1 trang 22

Đề bài: Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài $170$ km. Sau khi xe khách xuất phát $1$ giờ $40$ phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh (trên cùng một tuyến đường với xe khách) và gặp xe khách sau đó $40$ phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải $15$ km.

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc xe tải và $y$ (km/h) là vận tốc xe khách (điều kiện: $x > 0$, $y > 0$).

Phương trình 1: Xe khách đi nhanh hơn xe tải $15$ km mỗi giờ:

$$y – x = 15.$$

Phương trình 2: Đổi thời gian sang giờ: $1$ giờ $40$ phút $= \dfrac{5}{3}$ giờ và $40$ phút $= \dfrac{2}{3}$ giờ.

Tính từ lúc xe khách xuất phát đến khi hai xe gặp nhau, xe khách đã đi tổng cộng:

$$\dfrac{5}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3} \ (\text{giờ}).$$

Xe tải đi từ Cần Thơ trong $\dfrac{2}{3}$ giờ thì gặp xe khách.

• Quãng đường xe khách đi: $\dfrac{7}{3}y$ (km).
• Quãng đường xe tải đi: $\dfrac{2}{3}x$ (km).

Vì hai xe đi ngược chiều và gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đã đi bằng quãng đường HCM – Cần Thơ ($170$ km):

$$\dfrac{7}{3}y + \dfrac{2}{3}x = 170.$$

Nhân hai vế với $3$: $7y + 2x = 510$.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

$$\begin{cases} y – x = 15 \\ 2x + 7y = 510. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $y = x + 15$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$2x + 7(x + 15) = 510 ;\Leftrightarrow; 2x + 7x + 105 = 510 ;\Leftrightarrow; 9x = 405 ;\Leftrightarrow; x = 45.$$

Suy ra $y = 45 + 15 = 60$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$x = 45 > 0$ và $y = 60 > 0$, thoả mãn điều kiện.

Vậy vận tốc xe tải là $45$ km/h và vận tốc xe khách là $60$ km/h.

Luyện tập 2 trang 23

Đề bài: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong $1$ giờ $20$ phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong $10$ phút và vòi thứ hai trong $12$ phút thì chỉ được $\dfrac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $x$ (phút) là thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể nếu chảy riêng, $y$ (phút) là thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể nếu chảy riêng (điều kiện: $x > 0$, $y > 0$).

Khi đó:

• Mỗi phút, vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể.
• Mỗi phút, vòi thứ hai chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể.

Phương trình 1: Hai vòi cùng chảy $1$ giờ $20$ phút $= 80$ phút thì đầy bể:

$$80 \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right) = 1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{80}.$$

Phương trình 2: Vòi 1 chảy $10$ phút được $\dfrac{10}{x}$ bể, vòi 2 chảy $12$ phút được $\dfrac{12}{y}$ bể, tổng cộng được $\dfrac{2}{15}$ bể:

$$\dfrac{10}{x} + \dfrac{12}{y} = \dfrac{2}{15}.$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Đặt $u = \dfrac{1}{x}$ và $v = \dfrac{1}{y}$ ($u, v > 0$), ta được hệ bậc nhất hai ẩn $u$, $v$:

$$\begin{cases} u + v = \dfrac{1}{80} \\ 10u + 12v = \dfrac{2}{15}. \end{cases}$$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $10$: $10u + 10v = \dfrac{10}{80} = \dfrac{1}{8}$.

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình mới này (vế theo vế):

$$(10u + 12v) – (10u + 10v) = \dfrac{2}{15} – \dfrac{1}{8} ;\Leftrightarrow; 2v = \dfrac{16}{120} – \dfrac{15}{120} = \dfrac{1}{120} ;\Leftrightarrow; v = \dfrac{1}{240}.$$

Thế $v = \dfrac{1}{240}$ vào phương trình $u + v = \dfrac{1}{80}$:

$$u = \dfrac{1}{80} – \dfrac{1}{240} = \dfrac{3}{240} – \dfrac{1}{240} = \dfrac{2}{240} = \dfrac{1}{120}.$$

Trở lại ẩn $x$, $y$:

• $u = \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{120} \Rightarrow x = 120$.
• $v = \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{240} \Rightarrow y = 240$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$x = 120 > 0$ và $y = 240 > 0$, thoả mãn điều kiện.

Vậy nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể trong $120$ phút ($= 2$ giờ) và vòi thứ hai chảy đầy bể trong $240$ phút ($= 4$ giờ).

Bài tập (trang 23)

Bài 1.15 trang 23

Đề bài: Tìm số tự nhiên $n$ có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng $12$, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn $n$ là $36$ đơn vị.

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $a$ là chữ số hàng chục và $b$ là chữ số hàng đơn vị của số $n$. Điều kiện: $a, b \in \mathbb{N}$, $1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$.

Khi đó: $n = 10a + b$ và số viết theo thứ tự ngược lại là $10b + a$.

Phương trình 1: Tổng hai chữ số bằng $12$:

$$a + b = 12.$$

Phương trình 2: Số ngược lớn hơn $n$ là $36$ đơn vị:

$$(10b + a) – (10a + b) = 36 ;\Leftrightarrow; 9b – 9a = 36 ;\Leftrightarrow; b – a = 4.$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

$$\begin{cases} a + b = 12 \\ -a + b = 4. \end{cases}$$

Cộng từng vế: $2b = 16 \Rightarrow b = 8$. Suy ra $a = 12 – 8 = 4$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$a = 4$ thoả mãn $1 \le a \le 9$; $b = 8$ thoả mãn $0 \le b \le 9$.

Vậy $n = 10 \cdot 4 + 8 = 48$.

Kiểm tra lại: $4 + 8 = 12$ ✓; số ngược là $84$, hiệu $84 – 48 = 36$ ✓.

Bài 1.16 trang 23

Đề bài: Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau $100$ lần bắn là $8{,}69$ điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu “?”):

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai ô đó.

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $x$ là số lần bắn được $8$ điểm và $y$ là số lần bắn được $6$ điểm. Điều kiện: $x, y \in \mathbb{N}$.

Phương trình 1: Tổng số lần bắn là $100$:

$$25 + 42 + x + 15 + y = 100 ;\Leftrightarrow; x + y = 18.$$

Phương trình 2: Tổng số điểm $= 8{,}69 \times 100 = 869$. Tính tổng điểm theo từng mức:

$$10 \cdot 25 + 9 \cdot 42 + 8x + 7 \cdot 15 + 6y = 869.$$

Tính các số đã biết: $250 + 378 + 105 = 733$. Phương trình trở thành:

$$733 + 8x + 6y = 869 ;\Leftrightarrow; 8x + 6y = 136 ;\Leftrightarrow; 4x + 3y = 68.$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

$$\begin{cases} x + y = 18 \\ 4x + 3y = 68. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $y = 18 – x$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$4x + 3(18 – x) = 68 ;\Leftrightarrow; 4x + 54 – 3x = 68 ;\Leftrightarrow; x = 14.$$

Suy ra $y = 18 – 14 = 4$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$x = 14$ và $y = 4$ là các số tự nhiên, thoả mãn điều kiện.

Vậy vận động viên bắn được $14$ lần $8$ điểm và $4$ lần $6$ điểm.

Bài 1.17 trang 23

Đề bài: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được $3600$ tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch được $4095$ tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức $15\%$, đơn vị thứ hai làm vượt mức $12\%$ so với năm ngoái? Hãy dùng máy tính cầm tay để kiểm tra lại kết quả thu được.

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $x$ (tấn) là sản lượng năm ngoái của đơn vị thứ nhất và $y$ (tấn) là sản lượng năm ngoái của đơn vị thứ hai. Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$.

Phương trình 1: Tổng sản lượng năm ngoái là $3600$ tấn:

$$x + y = 3600.$$

Phương trình 2: Năm nay:

• Đơn vị 1 vượt mức $15\%$ nên sản lượng là $x + 15\% \cdot x = 1{,}15x$.
• Đơn vị 2 vượt mức $12\%$ nên sản lượng là $1{,}12y$.

Tổng sản lượng năm nay là $4095$ tấn:

$$1{,}15x + 1{,}12y = 4095.$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

$$\begin{cases} x + y = 3600 \\ 1{,}15x + 1{,}12y = 4095. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $y = 3600 – x$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$1{,}15x + 1{,}12(3600 – x) = 4095 ;\Leftrightarrow; 1{,}15x + 4032 – 1{,}12x = 4095 ;\Leftrightarrow; 0{,}03x = 63 ;\Leftrightarrow; x = 2100.$$

Suy ra $y = 3600 – 2100 = 1500$.

(Có thể dùng MTCT giải hệ với $a_1 = 1$, $b_1 = 1$, $c_1 = 3600$, $a_2 = 1{,}15$, $b_2 = 1{,}12$, $c_2 = 4095$ để kiểm tra: $x = 2100$, $y = 1500$.)

Bước 3: Tính sản lượng năm nay và trả lời.

$x = 2100 > 0$ và $y = 1500 > 0$, thoả mãn điều kiện.

• Sản lượng năm nay của đơn vị thứ nhất: $1{,}15 \cdot 2100 = 2415$ (tấn).
• Sản lượng năm nay của đơn vị thứ hai: $1{,}12 \cdot 1500 = 1680$ (tấn).

Vậy năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch $2415$ tấn thóc và đơn vị thứ hai thu hoạch $1680$ tấn thóc.

Bài 1.18 trang 23

Đề bài: Hai người thợ cùng làm một công việc trong $16$ giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong $3$ giờ và người thứ hai làm trong $6$ giờ thì chỉ hoàn thành được $25\%$ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $x$ (giờ) là thời gian người thứ nhất làm xong công việc nếu làm riêng, $y$ (giờ) là thời gian người thứ hai làm xong công việc nếu làm riêng. Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$.

Khi đó:

• Mỗi giờ, người thứ nhất làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc.
• Mỗi giờ, người thứ hai làm được $\dfrac{1}{y}$ công việc.

Phương trình 1: Hai người cùng làm $16$ giờ thì xong:

$$16 \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right) = 1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16}.$$

Phương trình 2: Người 1 làm $3$ giờ được $\dfrac{3}{x}$, người 2 làm $6$ giờ được $\dfrac{6}{y}$, tổng cộng được $25\% = \dfrac{1}{4}$ công việc:

$$\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{4}.$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Đặt $u = \dfrac{1}{x}$ và $v = \dfrac{1}{y}$ ($u, v > 0$), ta có hệ bậc nhất hai ẩn $u$, $v$:

$$\begin{cases} u + v = \dfrac{1}{16} \\ 3u + 6v = \dfrac{1}{4}. \end{cases}$$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3$: $3u + 3v = \dfrac{3}{16}$.

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình mới này (vế theo vế):

$$(3u + 6v) – (3u + 3v) = \dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{16} ;\Leftrightarrow; 3v = \dfrac{4}{16} – \dfrac{3}{16} = \dfrac{1}{16} ;\Leftrightarrow; v = \dfrac{1}{48}.$$

Thế $v = \dfrac{1}{48}$ vào phương trình $u + v = \dfrac{1}{16}$:

$$u = \dfrac{1}{16} – \dfrac{1}{48} = \dfrac{3}{48} – \dfrac{1}{48} = \dfrac{2}{48} = \dfrac{1}{24}.$$

Trở lại ẩn $x$, $y$:

• $u = \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{24} \Rightarrow x = 24$.
• $v = \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{48} \Rightarrow y = 48$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$x = 24 > 0$ và $y = 48 > 0$, thoả mãn điều kiện.

Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất làm xong công việc trong $24$ giờ và người thứ hai làm xong công việc trong $48$ giờ.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du