1. Đa giác đều

HĐ1 trang 84-85

Đề bài: Dựng đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ như sau: lần lượt lấy các điểm $A, B, C, D, E$ trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ sao cho

$$\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOA} = \dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ.$$

Hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác $ABCDE$ bằng nhau (H.9.39).

Lời giải:

Các cạnh bằng nhau:

Năm cung $AB, BC, CD, DE, EA$ bị chắn bởi 5 góc ở tâm bằng nhau (cùng $72^\circ$) nên các cung này có số đo bằng nhau.

Trong cùng một đường tròn, hai dây cung bị chắn bởi hai cung bằng nhau thì bằng nhau (đã học ở Bài 27). Do đó:

$$AB = BC = CD = DE = EA.$$

Các góc bằng nhau:

Mỗi góc của ngũ giác là một góc nội tiếp. Ví dụ, $\widehat{EAB}$ là góc nội tiếp chắn cung $BCDE$ (cung không chứa $A$). Cung này gồm 3 cung $BC, CD, DE$, mỗi cung $72^\circ$, nên:

$$\text{sđ } \widehat{BCDE} = 3 \cdot 72^\circ = 216^\circ.$$

Theo định lí góc nội tiếp:

$$\widehat{EAB} = \dfrac{1}{2} \cdot 216^\circ = 108^\circ.$$

Tương tự, mỗi góc của ngũ giác $ABCDE$ đều chắn một cung gồm 3 cung $72^\circ$, nên đều bằng $108^\circ$. Vậy năm góc của ngũ giác bằng nhau. $\blacksquare$

Câu hỏi trang 85

Đề bài: Nếu một lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh) nội tiếp đường tròn bán kính $2$ cm (H.9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác đều bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

Tính độ dài cạnh:

Lục giác đều $ABCDEF$ nội tiếp $(O;\ 2\text{ cm})$ có 6 đỉnh chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau. Mỗi góc ở tâm:

$$\widehat{AOB} = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ.$$

Xét tam giác $OAB$ có $OA = OB = 2$ cm (cùng là bán kính) và $\widehat{AOB} = 60^\circ$. Đây là tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$ nên là tam giác đều, suy ra:

$$AB = OA = 2 \text{ (cm)}.$$

Tính số đo các góc:

Tổng các góc của một đa giác $n$ cạnh là $(n-2) \cdot 180^\circ$. Với lục giác ($n = 6$):

$$\text{Tổng} = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ.$$

Vì lục giác đều có 6 góc bằng nhau nên mỗi góc bằng:

$$\dfrac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Vậy mỗi cạnh của lục giác đều bằng $2$ cm và mỗi góc bằng $120^\circ$.

Luyện tập 1 trang 86

Đề bài: Cho $M, N, P, Q, K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DE$ và $EA$ của ngũ giác đều $ABCDE$ (H.9.44). Hỏi $MNPQK$ có phải là ngũ giác đều hay không?

Lời giải:

Đặt cạnh của ngũ giác đều $ABCDE$ là $a$. Theo Câu hỏi trang 85, mỗi góc của ngũ giác đều bằng $108^\circ$.

Chứng minh các cạnh của $MNPQK$ bằng nhau:

Xét tam giác $MBN$:

• $MB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$ (vì $M$ là trung điểm $AB$).
• $BN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$ (vì $N$ là trung điểm $BC$).
• $\widehat{MBN} = \widehat{ABC} = 108^\circ$.

Vậy tam giác $MBN$ cân tại $B$ với góc đỉnh $108^\circ$.

Tương tự, các tam giác $NCP, PDQ, QEK, KAM$ cũng đều cân, có hai cạnh bên bằng $\dfrac{a}{2}$ và góc đỉnh $108^\circ$. Năm tam giác này bằng nhau (c.g.c), nên các cạnh đáy bằng nhau:

$$MN = NP = PQ = QK = KM.$$

Chứng minh các góc của $MNPQK$ bằng nhau:

Mỗi tam giác cân ở trên có góc đỉnh $108^\circ$, nên hai góc đáy bằng:

$$\dfrac{180^\circ – 108^\circ}{2} = 36^\circ.$$

Xét đỉnh $N$ của $MNPQK$: góc $\widehat{MNP}$ và hai góc đáy $\widehat{BNM}, \widehat{CNP}$ tạo thành một góc bẹt (vì $B, N, C$ thẳng hàng). Do đó:

$$\widehat{MNP} = 180^\circ – \widehat{BNM} – \widehat{CNP} = 180^\circ – 36^\circ – 36^\circ = 108^\circ.$$

Tương tự, các góc tại $M, P, Q, K$ đều bằng $108^\circ$.

Kết luận: $MNPQK$ có 5 cạnh bằng nhau và 5 góc bằng nhau, lại là đa giác lồi, nên $MNPQK$ là ngũ giác đều. $\blacksquare$

Thử thách nhỏ 1 trang 87

Đề bài: Cho một bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm $O$ (H.9.45). Hỏi mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Tổng các góc của một đa giác $n$ cạnh là $(n-2) \cdot 180^\circ$. Với bát giác ($n = 8$):

$$\text{Tổng} = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ.$$

Vì bát giác đều có 8 góc bằng nhau nên mỗi góc bằng:

$$\dfrac{1080^\circ}{8} = 135^\circ.$$

Vậy mỗi góc của bát giác đều có số đo $135^\circ$.

2. Phép quay

Câu hỏi trang 88

Đề bài:

a) Phép quay ngược chiều $180^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $A’$. Hỏi điểm $A’$ có đối xứng với điểm $A$ qua $O$ hay không?

b) Nếu phép quay thuận chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $B$ thì phép quay ngược chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$ có biến điểm $B$ thành điểm $A$ hay không?

Lời giải:

a) Theo định nghĩa, phép quay ngược chiều $180^\circ$ tâm $O$ biến $A$ thành $A’$ thuộc đường tròn $(O;\ OA)$, tức là:

$$OA = OA’.$$

Đồng thời tia $OA$ quay đến tia $OA’$ một góc $180^\circ$, nghĩa là tia $OA$ và tia $OA’$ là hai tia đối nhau. Suy ra ba điểm $A, O, A’$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa $A$ và $A’$.

Kết hợp với $OA = OA’$, ta có $O$ là trung điểm $AA’$, tức là $A’$ đối xứng với $A$ qua $O$. ✓

b) Phép quay thuận chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$ biến $A$ thành $B$ nghĩa là tia $OA$ quay thuận chiều kim đồng hồ một góc $\alpha^\circ$ thì trùng với tia $OB$, đồng thời $OA = OB$.

Ngược lại, để biến $B$ thành $A$, ta cần quay tia $OB$ về tia $OA$, tức là quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $\alpha^\circ$. Đồng thời $OB = OA$.

Vậy phép quay ngược chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$ biến $B$ thành $A$. ✓

Luyện tập 2 trang 88

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.50.

a) Phép quay thuận chiều $90^\circ$ tâm $O$ biến các điểm $A, B, C, D$ thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình vuông $ABCD$ không?

b) Hãy liệt kê thêm ba phép quay thuận chiều khác, với tâm $O$ giữ nguyên hình vuông $ABCD$.

Lời giải:

a) Bốn đỉnh hình vuông chia đường tròn $(O)$ thành 4 cung bằng nhau, mỗi cung có số đo:

$$\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ.$$

Phép quay thuận chiều $90^\circ$ tâm $O$ biến mỗi đỉnh thành đỉnh kế tiếp theo chiều thuận kim đồng hồ:

$$A \to B, ;; B \to C, ;; C \to D, ;; D \to A.$$

Vì phép quay này biến các đỉnh của hình vuông thành các đỉnh của hình vuông, nên nó giữ nguyên hình vuông $ABCD$.

b) Các phép quay thuận chiều tâm $O$ giữ nguyên hình vuông $ABCD$ là các phép quay có góc quay là bội của $90^\circ$. Ba phép quay khác (ngoài $90^\circ$) là:

$$180^\circ, ;; 270^\circ, ;; 360^\circ.$$

Thử thách nhỏ 2 trang 89

Đề bài: Hãy liệt kê 6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn $(O)$.

Lời giải:

Lục giác đều có 6 đỉnh chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau, mỗi cung:

$$\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ.$$

Các phép quay thuận chiều tâm $O$ giữ nguyên lục giác đều là các phép quay có góc quay là bội của $60^\circ$. Sáu phép quay đó là:

$$60^\circ, ;; 120^\circ, ;; 180^\circ, ;; 240^\circ, ;; 300^\circ, ;; 360^\circ.$$

Bài tập (trang 89)

Bài 9.24 trang 89

Đề bài: Trong các hình phẳng sau (H.9.52), hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Lời giải:

• Hình $a$ (ngôi sao 6 cánh): không phải đa giác lồi.
• Hình $b$ (hình vuông): là đa giác đều vì có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau.
• Hình $c$ (chữ thập): không phải đa giác lồi.
• Hình $d$ (lục giác đều): là đa giác đều vì có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau.
• Hình $e$ (ngôi sao 5 cánh): không phải đa giác lồi.

Vậy hình $b$ và hình $d$ là các hình phẳng có dạng đa giác đều.

Bài 9.25 trang 89

Đề bài: Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào vẽ hai điểm $M$ và $N$ thoả mãn phép quay thuận chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến điểm $M$ thành điểm $N$?

Lời giải:

Phép quay thuận chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến $M$ thành $N$ khi và chỉ khi:

• $N$ thuộc đường tròn $(O;\ OM)$, tức là $OM = ON$.
• Tia $OM$ quay thuận chiều kim đồng hồ một góc $60^\circ$ đến tia $ON$.

Đối chiếu với các hình:

• Hình $a$: chưa rõ $OM = ON$.
• Hình $b$: có $OM = ON$ và góc $60^\circ$, nhưng tia $OM$ quay ngược chiều kim đồng hồ đến $ON$.
• Hình $c$: góc là $50^\circ$, không phải $60^\circ$.
• Hình $d$: có $OM = ON$, góc $\widehat{MON} = 60^\circ$, và tia $OM$ quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia $ON$. ✓

Vậy hình $d$ là hình cần tìm.

Bài 9.26 trang 89

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $2$ cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Tam giác đều $ABC$ có 3 đỉnh chia đường tròn $(O)$ thành 3 cung bằng nhau. Mỗi góc ở tâm:

$$\widehat{AOB} = \dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ.$$

Kẻ $OH \perp AB$ tại $H$. Vì tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OH$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác, suy ra:

$$\widehat{AOH} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ ;;\text{và};; H \text{ là trung điểm } AB.$$

Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$:

$$AH = OA \cdot \sin \widehat{AOH} = 2 \cdot \sin 60^\circ = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Do đó:

$$AB = 2 \cdot AH = 2\sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Vậy độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ là $2\sqrt{3}$ cm.

Bài 9.27 trang 89

Đề bài: Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60^\circ$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$. Chứng minh rằng $MBNPDQ$ là lục giác đều.

Lời giải:

Đặt cạnh hình thoi $ABCD$ bằng $a$. Vì hình thoi có hai góc đối bằng nhau và hai góc kề bù:

$$\widehat{A} = \widehat{C} = 60^\circ, ;; \widehat{B} = \widehat{D} = 120^\circ.$$

Chứng minh 6 cạnh bằng nhau (cùng bằng $\dfrac{a}{2}$):

• $MB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$, $BN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$.
• $PD = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{a}{2}$, $DQ = \dfrac{DA}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Tính $NP$: Xét tam giác $ABD$ có $AB = AD = a$ và $\widehat{A} = 60^\circ$ → tam giác $ABD$ đều, nên $BD = a$.

Tương tự, tam giác $BCD$ có $BC = CD = a$ và $\widehat{C} = 60^\circ$ → tam giác $BCD$ đều, $BD = a$.

Trong tam giác $BCD$ đều: $N$ trung điểm $BC$, $P$ trung điểm $CD$, nên $NP$ là đường trung bình:

$$NP = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a}{2}.$$

Tính $QM$: Tương tự, trong tam giác $ABD$ đều, $M$ trung điểm $AB$, $Q$ trung điểm $AD$, nên $QM$ là đường trung bình:

$$QM = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a}{2}.$$

Vậy:

$$MB = BN = NP = PD = DQ = QM = \dfrac{a}{2}. ;;\checkmark$$

Chứng minh 6 góc bằng nhau (cùng bằng $120^\circ$):

• $\widehat{MBN} = \widehat{ABC} = 120^\circ$ và $\widehat{PDQ} = \widehat{CDA} = 120^\circ$ (chính là các góc của hình thoi).
• Tại $M$: Tam giác $AMQ$ có $AM = AQ = \dfrac{a}{2}$ và $\widehat{A} = 60^\circ$ → tam giác $AMQ$ đều, nên $\widehat{AMQ} = 60^\circ$. Do $B, M, A$ thẳng hàng, hai góc $\widehat{QMB}$ và $\widehat{AMQ}$ kề bù:

$$\widehat{QMB} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ.$$

• Tại $N$: Tam giác $CNP$ có $CN = CP = \dfrac{a}{2}$ và $\widehat{C} = 60^\circ$ → tam giác $CNP$ đều, $\widehat{CNP} = 60^\circ$. Do $B, N, C$ thẳng hàng:

$$\widehat{BNP} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ.$$

• Tương tự: $\widehat{NPD} = 120^\circ$ và $\widehat{DQM} = 120^\circ$.

Vậy cả 6 góc đều bằng $120^\circ$. ✓

Kết luận: $MBNPDQ$ có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau, là đa giác lồi nên $MBNPDQ$ là lục giác đều. $\blacksquare$

Bài 9.28 trang 89

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến các điểm $A, B, C$ lần lượt thành các điểm $D, E, F$. Chứng minh rằng $ADBECF$ là một lục giác đều.

Lời giải:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm $D, E, F$ trên $(O)$.

Vì $A, B, C$ là ba đỉnh tam giác đều nội tiếp $(O)$ nên chúng chia đường tròn thành 3 cung bằng nhau, mỗi cung $120^\circ$.

Phép quay ngược chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến $A \to D$, nghĩa là $D$ thuộc $(O)$ và cung $AD$ (ngược chiều kim đồng hồ) có số đo $60^\circ$. Vậy $D$ là điểm chính giữa cung $AB$ (theo chiều ngược kim đồng hồ từ $A$).

Tương tự, $E$ là điểm chính giữa cung $BC$, $F$ là điểm chính giữa cung $CA$.

Bước 2: Sáu điểm chia $(O)$ thành 6 cung bằng nhau.

Sáu điểm $A, D, B, E, C, F$ (theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ) chia đường tròn thành 6 cung, mỗi cung:

$$60^\circ.$$

Bước 3: Kết luận.

Sáu điểm chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau chính là 6 đỉnh của một lục giác đều nội tiếp đường tròn $(O)$ (theo cách dựng đa giác đều ở HĐ1).

Vậy $ADBECF$ là lục giác đều. $\blacksquare$

Bài 9.29 trang 89

Đề bài: Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm $O$.

Lời giải:

Ngũ giác đều có 5 đỉnh chia đường tròn $(O)$ thành 5 cung bằng nhau, mỗi cung:

$$\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ.$$

Các phép quay thuận chiều tâm $O$ giữ nguyên ngũ giác đều là các phép quay có góc quay là bội của $72^\circ$. Năm phép quay đó là:

$$72^\circ, ;; 144^\circ, ;; 216^\circ, ;; 288^\circ, ;; 360^\circ.$$

Bài 9.30 trang 89

Đề bài: Cho vòng quay mặt trời gồm tám cabin như Hình 9.55. Hỏi để cabin $A$ di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều quay của kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?

Lời giải:

Gọi tám cabin tạo thành một bát giác đều $BACDEFGH$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ (theo Hình 9.55), trong đó $G$ là vị trí cao nhất và $A$ là cabin cần đưa đến vị trí cao nhất.

Bước 1: Tính các góc ở tâm tạo bởi hai cabin liên tiếp.

Vì $BACDEFGH$ là bát giác đều nên các cạnh bằng nhau:

$$AB = AC = CD = DE = EF = FG = GH = HB.$$

Vì bát giác này nội tiếp đường tròn $(O)$ nên các bán kính bằng nhau:

$$OA = OB = OC = OD = OE = OF = OG = OH.$$

Xét các tam giác $OAB, OAC, OCD, ODE, OEF, OFG, OGH, OHB$: mỗi tam giác có hai cạnh là bán kính và cạnh còn lại là một cạnh của bát giác. Theo trường hợp c.c.c, tám tam giác này bằng nhau:

$$\triangle OAB = \triangle OAC = \triangle OCD = \triangle ODE = \triangle OEF = \triangle OFG = \triangle OGH = \triangle OHB.$$

Suy ra tám góc ở tâm bằng nhau, mà tổng của chúng bằng $360^\circ$, nên mỗi góc:

$$\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOF} = \widehat{FOG} = \widehat{GOH} = \widehat{HOB} = \dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ.$$

Bước 2: Tính góc $\widehat{AOG}$.

Đi từ $A$ đến $G$ theo chiều thuận kim đồng hồ, ta qua các cabin $B, H$ rồi đến $G$. Vậy:

$$\widehat{AOG} = \widehat{AOB} + \widehat{BOH} + \widehat{HOG} = 45^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 135^\circ.$$

Kết luận: Để cabin $A$ di chuyển đến vị trí cao nhất (vị trí cabin $G$), vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm một góc $\mathbf{135^\circ}$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du