Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
1. Hình trụ
Câu hỏi trang 94
Đề bài: Nêu một số đồ vật có dạng hình trụ trong đời sống.
Lời giải:
Một số đồ vật có dạng hình trụ trong đời sống:
- Lon nước ngọt, lon bia, lon sữa
- Cây nến, cây bút (loại tròn)
- Ly thuỷ tinh hình trụ, cốc giấy
- Ống nước, ống cống bê tông
- Trụ điện bê tông
- Viên pin, hộp đựng bánh quy hình tròn
- Lư hương, thùng phuy đựng dầu…
Luyện tập 1 trang 94
Đề bài: Kể tên các bán kính đáy và đường sinh còn lại của hình trụ có trong Hình 10.4.
Lời giải:
Trong Hình 10.4 (Ví dụ 1 đã nêu: $O’M$ là một bán kính đáy, $EF$ là một đường sinh):
- Các bán kính đáy còn lại của hình trụ là: $ON, OF, O’E$.
- Đường sinh còn lại của hình trụ là: $MN$.
Thực hành 1 trang 95
Đề bài: Chuẩn bị một băng giấy cứng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB = 8$ cm, $BC = 15$ cm. Cuộn băng giấy lại sao cho hai cạnh $AB$ và $DC$ sát vào nhau như Hình 10.6 (dùng băng keo dán), ta được một hình trụ (không có đáy). Hãy cho biết chiều cao và chu vi đáy của hình trụ đó.
Lời giải:
Khi cuộn băng giấy hình chữ nhật $ABCD$ sao cho hai cạnh $AB$ và $DC$ trùng nhau (sát vào nhau):
- Hai cạnh $AB$ và $DC$ trở thành đường sinh của hình trụ (sát nhau tạo “vết dán”). Vậy chiều cao của hình trụ bằng độ dài $AB$:
$$h = AB = 8 \text{ (cm)}.$$
- Cạnh $BC$ (và $AD$) được “cuộn tròn” thành đường tròn đáy của hình trụ. Vậy chu vi đáy của hình trụ bằng độ dài $BC$:
$$\text{Chu vi đáy} = BC = 15 \text{ (cm)}.$$
HĐ1 trang 95
Đề bài: Người ta coi diện tích hình chữ nhật $ABCD$ chính là diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành (xem Thực hành 1). Cho hình trụ có chiều cao $h = 9$ cm và bán kính đáy $R = 5$ cm. Tính diện tích mặt xung quanh của hình trụ.
Lời giải:
Như Thực hành 1, khi trải mặt xung quanh hình trụ ra phẳng, ta được hình chữ nhật có:
- Một cạnh bằng chiều cao $h$ của hình trụ.
- Cạnh kia bằng chu vi đáy $2\pi R$ của hình trụ.
Vậy diện tích xung quanh hình trụ bằng diện tích hình chữ nhật đó:
$$S_{xq} = 2\pi R \cdot h = 2\pi \cdot 5 \cdot 9 = 90\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Vậy diện tích mặt xung quanh hình trụ là $90\pi$ cm².
HĐ2 trang 95
Đề bài: Hãy nhắc lại công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác (hoặc hình lăng trụ đứng tứ giác) có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$.
Lời giải:
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng tam giác (hoặc tứ giác) đã học ở lớp 7:
$$V = S \cdot h,$$
trong đó $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao của lăng trụ.
Luyện tập 2 trang 96
Đề bài: Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao bằng $1{,}6$ m và bán kính đáy bằng $0{,}5$ m.
a) Tính diện tích xung quanh của thùng nước.
b) Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước? (Coi chiều dày của thùng không đáng kể và làm tròn kết quả ở câu b đến hàng đơn vị của lít).
Lời giải:
Thùng nước có $R = 0{,}5$ m và $h = 1{,}6$ m.
a) Diện tích xung quanh:
$$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 0{,}5 \cdot 1{,}6 = 1{,}6\pi \text{ (m}^2\text{)} \approx 5{,}03 \text{ (m}^2\text{)}.$$
b) Thể tích thùng nước:
$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot (0{,}5)^2 \cdot 1{,}6 = \pi \cdot 0{,}25 \cdot 1{,}6 = 0{,}4\pi \text{ (m}^3\text{)}.$$
Đổi sang lít ($1 \text{ m}^3 = 1000$ lít):
$$V = 0{,}4\pi \cdot 1000 = 400\pi \text{ (lít)} \approx 1\,256{,}64 \text{ (lít)}.$$
Làm tròn đến hàng đơn vị: $V \approx 1\,257$ lít.
Vậy thùng chứa được khoảng $1\,257$ lít nước.
2. Hình nón
Câu hỏi trang 97
Đề bài: Nêu một số đồ vật có dạng hình nón trong đời sống.
Lời giải:
Một số đồ vật có dạng hình nón trong đời sống:
- Nón lá truyền thống
- Mũ phù thuỷ, mũ sinh nhật
- Vỏ kem ốc quế
- Phễu (rót dầu, nước)
- Đỉnh tháp, chóp lều của một số loại lều
- Mũi dùi, đầu đinh ốc kiểu chóp…
Luyện tập 3 trang 98
Đề bài: Kể tên các bán kính đáy và các đường sinh còn lại của hình nón trong Hình 10.10.
Lời giải:
Trong Hình 10.10 (Ví dụ 3 đã nêu: $OM$ là một bán kính đáy, $SM$ là một đường sinh):
- Các bán kính đáy còn lại của hình nón là: $ON, OP$.
- Các đường sinh còn lại của hình nón là: $SN, SP$.
Thực hành 2 trang 98
Đề bài: Cắt một nửa hình tròn bằng giấy cứng, có đường kính $AB = 20$ cm và tâm là $S$. Cuộn nửa hình tròn đó lại sao cho $SA$ và $SB$ sát vào nhau (dùng băng keo dán), ta được một hình nón đỉnh $S$ (không có đáy). Hãy cho biết độ dài đường sinh và chu vi đáy của hình nón đó.
Lời giải:
Nửa hình tròn có đường kính $AB = 20$ cm, tâm $S$, nên bán kính nửa hình tròn:
$$SA = SB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \text{ (cm)}.$$
Khi cuộn nửa hình tròn thành hình nón sao cho $SA$ và $SB$ trùng nhau:
- Hai bán kính $SA, SB$ trở thành đường sinh của hình nón. Vậy độ dài đường sinh:
$$l = SA = 10 \text{ (cm)}.$$
- Phần cong của nửa hình tròn (nửa đường tròn đường kính $20$ cm) trở thành đường tròn đáy của hình nón. Vậy chu vi đáy bằng chiều dài nửa đường tròn:
$$\text{Chu vi đáy} = \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot 10 = 10\pi \text{ (cm)}.$$
Vậy hình nón có đường sinh $10$ cm và chu vi đáy $10\pi$ cm.
HĐ3 trang 98
Đề bài: Người ta coi diện tích của hình quạt tròn $SAB$ (xem Thực hành 2) chính là diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành. Cho hình nón có đường sinh $l = 9$ cm và bán kính đáy $r = 5$ cm. Tính diện tích mặt xung quanh của hình nón.
Lời giải:
Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón:
$$S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 9 = 45\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Vậy diện tích mặt xung quanh của hình nón là $45\pi$ cm².
HĐ4 trang 99
Đề bài: Hãy nhắc lại công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều (hoặc hình chóp tứ giác đều) có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$.
Lời giải:
Công thức tính thể tích hình chóp tam giác đều (hoặc tứ giác đều) đã học ở lớp 8:
$$V = \dfrac{1}{3} S \cdot h,$$
trong đó $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao của hình chóp.
Luyện tập 4 trang 99
Đề bài: Tính diện tích xung quanh và thể tích của một hình nón có độ dài đường sinh bằng $13$ cm và chiều cao bằng $12$ cm.
Lời giải:
Bước 1: Tính bán kính đáy $r$.
Trong hình nón, đường sinh $l$, chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ thoả mãn quan hệ Pythagore (xem Ví dụ 4):
$$l^2 = r^2 + h^2.$$
Thay số:
$$13^2 = r^2 + 12^2 ;;\Rightarrow;; r^2 = 169 – 144 = 25 ;;\Rightarrow;; r = 5 \text{ (cm)}.$$
Bước 2: Tính diện tích xung quanh.
$$S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Bước 3: Tính thể tích.
$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy $S_{xq} = 65\pi$ cm² và $V = 100\pi$ cm³.
Vận dụng trang 99
Đề bài: Người ta đổ muối thu hoạch được trên cánh đồng muối thành từng đống có dạng hình nón với chiều cao khoảng $0{,}9$ m và đường kính đáy khoảng $1{,}6$ m. Hỏi mỗi đống muối có bao nhiêu decimét khối muối? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của dm³).
Lời giải:
Bước 1: Tính bán kính đáy.
Đường kính đáy $1{,}6$ m, nên bán kính:
$$r = \dfrac{1{,}6}{2} = 0{,}8 \text{ (m)}.$$
Bước 2: Tính thể tích đống muối.
$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot (0{,}8)^2 \cdot 0{,}9 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}9 = 0{,}192\pi \text{ (m}^3\text{)}.$$
Bước 3: Đổi sang dm³.
Vì $1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3$:
$$V = 0{,}192\pi \cdot 1\,000 = 192\pi \text{ (dm}^3\text{)} \approx 603{,}19 \text{ (dm}^3\text{)}.$$
Làm tròn đến hàng đơn vị: $V \approx 603$ dm³.
Vậy mỗi đống muối có khoảng $603$ dm³ muối.
Bài tập (trang 100)
Bài 10.1 trang 100
Đề bài: Thay dấu “?” bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau vào vở:
| Bán kính đáy (cm) | Chiều cao (cm) | $S_{xq}$ (cm²) | $V$ (cm³) |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | ? | ? |
| 3 | 5 | ? | ? |
| ? | 10 | ? | $50\pi$ |
| 8 | ? | $192\pi$ | ? |
Lời giải:
Áp dụng các công thức cho hình trụ: $S_{xq} = 2\pi R h$ và $V = \pi R^2 h$.
Hàng 1: $R = 4, h = 6$. $$S_{xq} = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi \text{ (cm}^2\text{)}; ;; V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 96\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Hàng 2: $R = 3, h = 5$. $$S_{xq} = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi \text{ (cm}^2\text{)}; ;; V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Hàng 3: $h = 10, V = 50\pi$. Từ $V = \pi R^2 h$: $$\pi R^2 \cdot 10 = 50\pi ;;\Rightarrow;; R^2 = 5 ;;\Rightarrow;; R = \sqrt{5} \text{ (cm)}.$$ $$S_{xq} = 2\pi \cdot \sqrt{5} \cdot 10 = 20\sqrt{5},\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Hàng 4: $R = 8, S_{xq} = 192\pi$. Từ $S_{xq} = 2\pi R h$: $$2\pi \cdot 8 \cdot h = 192\pi ;;\Rightarrow;; 16h = 192 ;;\Rightarrow;; h = 12 \text{ (cm)}.$$ $$V = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 768\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Bảng hoàn chỉnh:
| Bán kính đáy (cm) | Chiều cao (cm) | $S_{xq}$ (cm²) | $V$ (cm³) |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | $48\pi$ | $96\pi$ |
| 3 | 5 | $30\pi$ | $45\pi$ |
| $\sqrt{5}$ | 10 | $20\sqrt{5},\pi$ | $50\pi$ |
| 8 | 12 | $192\pi$ | $768\pi$ |
Bài 10.2 trang 100
Đề bài: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm. Quay hình chữ nhật quanh cạnh $AB$ một vòng, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ tạo thành.
Lời giải:
Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AB$:
- Cạnh $AB$ trở thành trục của hình trụ, nên chiều cao bằng $AB$: $$h = AB = 3 \text{ (cm)}.$$
- Cạnh $BC$ vuông góc với $AB$ tại $B$, khi quay tạo ra đường tròn đáy có bán kính bằng $BC$: $$R = BC = 4 \text{ (cm)}.$$
Diện tích xung quanh:
$$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 4 \cdot 3 = 24\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Thể tích:
$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 48\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy $S_{xq} = 24\pi$ cm² và $V = 48\pi$ cm³.
Bài 10.3 trang 100
Đề bài: Khi cho tam giác $SOA$ vuông tại $O$ quay quanh cạnh $SO$ một vòng, ta được một hình nón. Biết $OA = 8$ cm, $SA = 17$ cm (H.10.14).
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.
b) Tính thể tích của hình nón.
Lời giải:
Khi quay tam giác $SOA$ vuông tại $O$ quanh cạnh $SO$:
- $SO$ trở thành trục (chiều cao $h$ của hình nón).
- $OA$ trở thành bán kính đáy: $r = OA = 8$ cm.
- $SA$ là cạnh huyền của tam giác vuông, trở thành đường sinh: $l = SA = 17$ cm.
a) Diện tích xung quanh:
$$S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
b) Thể tích:
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $SOA$ vuông tại $O$:
$$SO^2 = SA^2 – OA^2 = 17^2 – 8^2 = 289 – 64 = 225;$$
$$SO = 15 \text{ (cm)}.$$
Vậy chiều cao $h = 15$ cm. Thể tích hình nón:
$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 15 = 320\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy $S_{xq} = 136\pi$ cm² và $V = 320\pi$ cm³.
Bài 10.4 trang 100
Đề bài: Một bóng đèn huỳnh quang có dạng hình trụ được đặt khít vào một hộp giấy cứng dạng hình hộp chữ nhật (H.10.15). Hộp giấy có chiều dài bằng $0{,}6$ m, đáy là hình vuông cạnh $4$ cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của bóng đèn (giả sử bề dày của hộp giấy không đáng kể).
Lời giải:
Bước 1: Xác định kích thước bóng đèn.
Bóng đèn hình trụ đặt khít vào hộp giấy:
- Đáy hộp là hình vuông cạnh $4$ cm, đường tròn đáy bóng đèn nội tiếp hình vuông này, nên đường kính đáy bằng cạnh hình vuông. Vậy bán kính đáy: $$R = \dfrac{4}{2} = 2 \text{ (cm)}.$$
- Chiều cao bóng đèn bằng chiều dài hộp, đổi đơn vị: $0{,}6$ m $= 60$ cm. Vậy: $$h = 60 \text{ (cm)}.$$
Bước 2: Tính diện tích xung quanh.
$$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 2 \cdot 60 = 240\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Bước 3: Tính thể tích.
$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 60 = 240\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy diện tích xung quanh bóng đèn là $240\pi$ cm² và thể tích là $240\pi$ cm³.
Bài 10.5 trang 100
Đề bài: Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ và một phần có dạng hình nón với các kích thước như Hình 10.16.
a) Tính thể tích của dụng cụ này.
b) Tính diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính đáy của dụng cụ).
Lời giải:
Theo Hình 10.16, dụng cụ gồm:
- Phần trên — hình nón: chiều cao $h_1 = 50$ cm, bán kính đáy $r = 40$ cm.
- Phần dưới — hình trụ: chiều cao $h_2 = 100$ cm, bán kính đáy $R = 40$ cm.
(Hai phần có chung đáy bán kính $40$ cm.)
a) Tính thể tích.
Thể tích hình nón:
$$V_1 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h_1 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 40^2 \cdot 50 = \dfrac{80\,000\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Thể tích hình trụ:
$$V_2 = \pi R^2 h_2 = \pi \cdot 40^2 \cdot 100 = 160\,000\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Tổng thể tích dụng cụ:
$$V = V_1 + V_2 = \dfrac{80\,000\pi}{3} + 160\,000\pi = \dfrac{80\,000\pi + 480\,000\pi}{3} = \dfrac{560\,000\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
b) Tính diện tích mặt ngoài.
Đường sinh hình nón (theo định lí Pythagore):
$$l = \sqrt{r^2 + h_1^2} = \sqrt{40^2 + 50^2} = \sqrt{1\,600 + 2\,500} = \sqrt{4\,100} = 10\sqrt{41} \text{ (cm)}.$$
Diện tích xung quanh hình nón:
$$S_1 = \pi r l = \pi \cdot 40 \cdot 10\sqrt{41} = 400\sqrt{41},\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Diện tích xung quanh hình trụ:
$$S_2 = 2\pi R h_2 = 2\pi \cdot 40 \cdot 100 = 8\,000\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Diện tích mặt ngoài dụng cụ (không tính đáy):
$$S = S_1 + S_2 = 400\sqrt{41},\pi + 8\,000\pi = 400\pi(\sqrt{41} + 20) \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Vậy thể tích là $\dfrac{560\,000\pi}{3}$ cm³ và diện tích mặt ngoài là $400\pi(\sqrt{41} + 20)$ cm².
Bài 10.6 trang 100
Đề bài: Tính thể tích của hình tạo thành khi cho hình $ABCD$ quay quanh $AD$ một vòng (H.10.17).
Lời giải:
Bước 1: Hình tạo thành khi quay.
Khi quay hình $ABCD$ quanh $AD$ một vòng, cạnh $BC$ (cắt $AD$ tại $E$) tạo ra mặt xung quanh của hai hình nón có chung đỉnh $E$:
- Hình nón thứ nhất: đỉnh $E$, đáy là đường tròn tâm $A$ bán kính $AB = 4$ cm, chiều cao $AE = 3$ cm.
- Hình nón thứ hai: đỉnh $E$, đáy là đường tròn tâm $D$ bán kính $DC = 8$ cm, chiều cao $ED = 6$ cm.
Bước 2: Tính thể tích từng hình nón.
$$V_1 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
$$V_2 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 6 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 6 = 128\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Bước 3: Tính tổng thể tích.
$$V = V_1 + V_2 = 16\pi + 128\pi = 144\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy thể tích hình tạo thành là $144\pi$ cm³.
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du