Mở đầu trang 38

Đề bài: Bạn Thanh có $100$ nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá $18$ nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá $7$ nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Lời giải:

Lập bất phương trình: Gọi $x$ (quyển) là số vở mà Thanh có thể mua ($x \in \mathbb{N}^*$).

Tổng số tiền Thanh phải trả: $7x + 18$ (nghìn đồng), không được vượt quá $100$ nghìn đồng:

$$7x + 18 \leq 100.$$

Giải bất phương trình:

$$7x + 18 \leq 100 ;\Leftrightarrow; 7x \leq 100 – 18 ;\Leftrightarrow; 7x \leq 82 ;\Leftrightarrow; x \leq \dfrac{82}{7}.$$

Vì $\dfrac{82}{7} \approx 11{,}71$ và $x$ là số tự nhiên nên giá trị lớn nhất của $x$ là $11$.

Kết luận: Bạn Thanh mua được nhiều nhất $11$ quyển vở.

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập 1 trang 39

Đề bài: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$?

a) $-3x + 7 \leq 0$;

b) $4x – \dfrac{3}{2} > 0$;

c) $x^3 > 0$.

Lời giải:

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b < 0$ (hoặc $>$, $\leq$, $\geq$) với $a \neq 0$.

• a) $-3x + 7 \leq 0$: có $a = -3 \neq 0$, $b = 7$ → là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
• b) $4x – \dfrac{3}{2} > 0$: có $a = 4 \neq 0$, $b = -\dfrac{3}{2}$ → là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
• c) $x^3 > 0$: $x^3$ là biểu thức bậc ba của $x$ → không là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Luyện tập 2 trang 39

Đề bài: Trong các số $-2$; $0$; $5$, những số nào là nghiệm của bất phương trình $2x – 10 < 0$?

Lời giải:

Ta lần lượt thay từng giá trị vào bất phương trình $2x – 10 < 0$ và kiểm tra.

• $x = -2$: $2 \cdot (-2) – 10 = -4 – 10 = -14 < 0$ → đúng, nên $-2$ là nghiệm.
• $x = 0$: $2 \cdot 0 – 10 = -10 < 0$ → đúng, nên $0$ là nghiệm.
• $x = 5$: $2 \cdot 5 – 10 = 0$, mà $0 < 0$ là khẳng định sai, nên $5$ không là nghiệm.

Vậy trong ba số đã cho, nghiệm của bất phương trình là $-2$ và $0$.

2. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

HĐ trang 39

Đề bài: Xét bất phương trình $5x + 3 < 0. \qquad (1)$

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải bất phương trình $(1)$:

a) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, cộng vào hai vế của bất phương trình $(1)$ với $-3$, ta được một bất phương trình, kí hiệu là $(2)$.

b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, nhân vào hai vế của bất phương trình $(2)$ với $\dfrac{1}{5}$ (tức là chia cả hai vế của bất phương trình $(2)$ cho hệ số của $x$ là $5$) để tìm nghiệm của bất phương trình.

Lời giải:

a) Cộng $-3$ vào hai vế của bất phương trình $(1)$:

$$5x + 3 + (-3) < 0 + (-3) ;\Leftrightarrow; 5x < -3. \qquad (2)$$

b) Nhân hai vế của bất phương trình $(2)$ với $\dfrac{1}{5}$ (số dương, giữ chiều):

$$\dfrac{1}{5} \cdot 5x < \dfrac{1}{5} \cdot (-3) ;\Leftrightarrow; x < -\dfrac{3}{5}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình $(1)$ là $x < -\dfrac{3}{5}$.

Luyện tập 3 trang 40

Đề bài: Giải các bất phương trình:

a) $6x + 5 < 0$;

b) $-2x – 7 > 0$.

Lời giải:

a) Cộng $-5$ vào hai vế:

$$6x + 5 < 0 ;\Leftrightarrow; 6x < -5.$$

Chia hai vế cho $6$ (số dương, giữ chiều):

$$x < -\dfrac{5}{6}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -\dfrac{5}{6}$.

b) Cộng $7$ vào hai vế:

$$-2x – 7 > 0 ;\Leftrightarrow; -2x > 7.$$

Chia hai vế cho $-2$ (số âm, đổi chiều):

$$x < \dfrac{7}{-2} = -\dfrac{7}{2}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -\dfrac{7}{2}$.

Luyện tập 4 trang 41

Đề bài: Giải các bất phương trình sau:

a) $5x + 7 > 8x – 5$;

b) $-4x + 3 \leq 3x – 1$.

Lời giải:

a) Chuyển các hạng tử chứa $x$ về một vế, các hằng số về vế kia:

$$5x + 7 > 8x – 5 ;\Leftrightarrow; 5x – 8x > -5 – 7 ;\Leftrightarrow; -3x > -12.$$

Chia hai vế cho $-3$ (số âm, đổi chiều):

$$x < \dfrac{-12}{-3} = 4.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 4$.

b) Tương tự:

$$-4x + 3 \leq 3x – 1 ;\Leftrightarrow; -4x – 3x \leq -1 – 3 ;\Leftrightarrow; -7x \leq -4.$$

Chia hai vế cho $-7$ (số âm, đổi chiều):

$$x \geq \dfrac{-4}{-7} = \dfrac{4}{7}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq \dfrac{4}{7}$.

Vận dụng trang 41

Đề bài: Trong một cuộc thi tuyển dụng việc làm, ban tổ chức quy định mỗi người ứng tuyển phải trả lời $25$ câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn bốn đáp án, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Người ứng tuyển chọn đáp án đúng sẽ được cộng thêm $2$ điểm, chọn đáp án sai bị trừ đi $1$ điểm. Ở vòng sơ tuyển, ban tổ chức tặng cho mỗi người dự thi $5$ điểm và theo quy định người ứng tuyển phải trả lời hết $25$ câu hỏi; người nào có số điểm từ $25$ trở lên mới được dự thi vòng tiếp theo. Hỏi người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được vào vòng tiếp theo?

Lời giải:

Phân tích: Gọi $x$ là số câu trả lời chính xác ($x \in \mathbb{N}$, $0 \leq x \leq 25$). Khi đó số câu trả lời sai là $25 – x$.

Tính tổng điểm:

• Điểm thưởng ban đầu: $5$.
• Điểm cộng từ câu đúng: $2x$.
• Điểm trừ từ câu sai: $1 \cdot (25 – x) = 25 – x$.

Tổng điểm:

$$5 + 2x – (25 – x) = 5 + 2x – 25 + x = 3x – 20.$$

Lập bất phương trình: Để được dự thi vòng tiếp theo, tổng điểm phải từ $25$ trở lên:

$$3x – 20 \geq 25.$$

Giải bất phương trình:

$$3x \geq 25 + 20 ;\Leftrightarrow; 3x \geq 45 ;\Leftrightarrow; x \geq 15.$$

Kết luận: Người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất $15$ câu hỏi thì mới được vào vòng tiếp theo.

Bài tập (trang 41)

Bài 2.16 trang 41

Đề bài: Giải các bất phương trình sau:

a) $x – 5 \geq 0$;

b) $x + 5 \leq 0$;

c) $-2x – 6 > 0$;

d) $4x – 12 < 0$.

Lời giải:

a) $x – 5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 5$.

Vậy nghiệm là $x \geq 5$.

b) $x + 5 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq -5$.

Vậy nghiệm là $x \leq -5$.

c) $-2x – 6 > 0 \Leftrightarrow -2x > 6$.

Chia hai vế cho $-2$ (số âm, đổi chiều):

$$x < \dfrac{6}{-2} = -3.$$

Vậy nghiệm là $x < -3$.

d) $4x – 12 < 0 \Leftrightarrow 4x < 12$.

Chia hai vế cho $4$ (số dương):

$$x < 3.$$

Vậy nghiệm là $x < 3$.

Bài 2.17 trang 41

Đề bài: Giải các bất phương trình sau:

a) $3x + 2 > 2x + 3$;

b) $5x + 4 < -3x – 2$.

Lời giải:

a) Chuyển $2x$ sang vế trái, $2$ sang vế phải:

$$3x + 2 > 2x + 3 ;\Leftrightarrow; 3x – 2x > 3 – 2 ;\Leftrightarrow; x > 1.$$

Vậy nghiệm là $x > 1$.

b) Chuyển $-3x$ sang vế trái, $4$ sang vế phải:

$$5x + 4 < -3x – 2 ;\Leftrightarrow; 5x + 3x < -2 – 4 ;\Leftrightarrow; 8x < -6.$$

Chia hai vế cho $8$ (số dương):

$$x < \dfrac{-6}{8} = -\dfrac{3}{4}.$$

Vậy nghiệm là $x < -\dfrac{3}{4}$.

Bài 2.18 trang 41

Đề bài: Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn $1$ tháng là $0{,}4\%$/tháng. Hỏi nếu muốn có số tiền lãi hằng tháng ít nhất là $3$ triệu đồng thì số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?

Lời giải:

Lập bất phương trình: Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền gửi tiết kiệm ($x > 0$).

Số tiền lãi mỗi tháng nhận được:

$$0{,}4\% \cdot x = 0{,}004x \ (\text{triệu đồng}).$$

Để có số tiền lãi hằng tháng ít nhất $3$ triệu đồng:

$$0{,}004x \geq 3.$$

Giải bất phương trình: Chia hai vế cho $0{,}004$ (số dương):

$$x \geq \dfrac{3}{0{,}004} = 750.$$

Kết luận: Số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là $750$ triệu đồng.

Bài 2.19 trang 41

Đề bài: Một hãng taxi có giá mở cửa là $15$ nghìn đồng và giá $12$ nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Hỏi với $200$ nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Lập bất phương trình: Gọi $x$ (km) là số kilômét hành khách có thể đi ($x > 0$).

Tổng số tiền phải trả: $15 + 12x$ (nghìn đồng), không được vượt quá $200$ nghìn đồng:

$$15 + 12x \leq 200.$$

Giải bất phương trình:

$$12x \leq 200 – 15 ;\Leftrightarrow; 12x \leq 185 ;\Leftrightarrow; x \leq \dfrac{185}{12} \approx 15{,}42.$$

Vì kết quả làm tròn đến hàng đơn vị (và để hành khách trả được tiền), ta lấy $x \leq 15$.

Kết luận: Với $200$ nghìn đồng, hành khách có thể di chuyển tối đa $15$ km.

Bài 2.20 trang 41

Đề bài: Người ta dùng một loại xe tải để chở sữa tươi cho một nhà máy. Biết mỗi thùng sữa loại $180$ ml nặng trung bình $10$ kg. Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là $5{,}25$ tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng sữa như vậy, biết bác lái xe nặng $65$ kg?

Lời giải:

Đổi đơn vị: $5{,}25$ tấn $= 5\,250$ kg.

Lập bất phương trình: Gọi $x$ là số thùng sữa xe có thể chở ($x \in \mathbb{N}^*$).

Tổng khối lượng trên xe gồm bác lái xe và $x$ thùng sữa:

$$65 + 10x \ (\text{kg}).$$

Tổng khối lượng này không được vượt quá trọng tải $5\,250$ kg:

$$65 + 10x \leq 5\,250.$$

Giải bất phương trình:

$$10x \leq 5\,250 – 65 ;\Leftrightarrow; 10x \leq 5\,185 ;\Leftrightarrow; x \leq 518{,}5.$$

Vì $x$ là số tự nhiên nên giá trị lớn nhất của $x$ là $518$.

Kết luận: Xe có thể chở tối đa $518$ thùng sữa.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du