Mở đầu trang 44

Đề bài: Trong Vật lí, quãng đường $S$ (tính bằng mét) của một vật rơi tự do được cho bởi công thức $S = 4{,}9t^2$, trong đó $t$ là thời gian rơi (tính bằng giây). Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao $122{,}5$ mét?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi mở đầu bằng cách dùng căn bậc hai: từ $S = 4{,}9t^2$ ta có thể rút $t$ theo $S$, sau đó thay $S = 122{,}5$ để tìm $t$. Chi tiết lời giải được trình bày ở phần Vận dụng (trang 48).

1. Căn bậc hai

HĐ1 trang 45

Đề bài: Tìm các số thực $x$ sao cho $x^2 = 49$.

Lời giải:

Ta cần tìm các số thực $x$ thoả mãn $x^2 = 49$.

Vì $7^2 = 49$ và $(-7)^2 = 49$ nên có hai giá trị thoả mãn:

$$x = 7 \quad \text{hoặc} \quad x = -7.$$

Luyện tập 1 trang 45

Đề bài: Tìm căn bậc hai của $121$.

Lời giải:

Vì $121 > 0$ và $\sqrt{121} = 11$ (do $11^2 = 121$), nên $121$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau là:

$$11 \quad \text{và} \quad -11.$$

Luyện tập 2 trang 45

Đề bài: Sử dụng MTCT tìm căn bậc hai của $\dfrac{7}{11}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Bấm máy tính: $\sqrt{\dfrac{7}{11}} \approx 0{,}79772\ldots$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: $\sqrt{\dfrac{7}{11}} \approx 0{,}80$.

Vậy $\dfrac{7}{11}$ có hai căn bậc hai (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là:

$$0{,}80 \quad \text{và} \quad -0{,}80.$$

HĐ2 trang 45

Đề bài: Tính và so sánh $\sqrt{a^2}$ và $|a|$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $a = 3$;

b) $a = -3$.

Lời giải:

a) $a = 3$:

• $\sqrt{a^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3$.
• $|a| = |3| = 3$.

Suy ra $\sqrt{a^2} = |a| = 3$.

b) $a = -3$:

• $\sqrt{a^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
• $|a| = |-3| = 3$.

Suy ra $\sqrt{a^2} = |a| = 3$.

Nhận xét: Trong cả hai trường hợp, $\sqrt{a^2} = |a|$. Đây là gợi ý cho tính chất tổng quát $\sqrt{a^2} = |a|$ với mọi số thực $a$.

Luyện tập 3 trang 46

Đề bài:

a) Không sử dụng MTCT, tính: $\sqrt{6^2};\ \sqrt{(-5)^2};\ \sqrt{5} – \sqrt{(\sqrt{5} – 1)^2}$.

b) So sánh $3$ với $\sqrt{10}$ bằng hai cách:

– Sử dụng MTCT;

– Sử dụng tính chất của căn bậc hai số học đã học ở lớp 7: Nếu $0 \le a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất $\sqrt{A^2} = |A|$:

• $\sqrt{6^2} = |6| = 6$.
• $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.
• $\sqrt{(\sqrt{5} – 1)^2} = |\sqrt{5} – 1|$. Vì $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$ nên $\sqrt{5} – 1 > 0$, do đó $|\sqrt{5} – 1| = \sqrt{5} – 1$. Suy ra:

$$\sqrt{5} – \sqrt{(\sqrt{5} – 1)^2} = \sqrt{5} – (\sqrt{5} – 1) = \sqrt{5} – \sqrt{5} + 1 = 1.$$

b) So sánh $3$ và $\sqrt{10}$.

Cách 1 (dùng MTCT): Bấm máy được $\sqrt{10} \approx 3{,}162$. Vì $3 < 3{,}162$ nên $3 < \sqrt{10}$.

Cách 2 (dùng tính chất): Ta viết $3 = \sqrt{9}$. Vì $9 < 10$ nên theo tính chất: $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, tức $3 < \sqrt{10}$.

2. Căn thức bậc hai

HĐ3 trang 46

Đề bài: Viết biểu thức tính độ dài cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$, biết $AB = 3$ cm và $AC = x$ cm.

Lời giải:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, hai cạnh góc vuông là $AB = 3$ cm và $AC = x$ cm. Áp dụng định lí Pythagore:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + x^2 = 9 + x^2.$$

Vì $BC > 0$ nên:

$$BC = \sqrt{9 + x^2} \ (\text{cm}).$$

HĐ4 trang 46

Đề bài: Cho biểu thức $C = \sqrt{2x – 1}$.

a) Tính giá trị của biểu thức tại $x = 5$.

b) Tại $x = 0$ có tính được giá trị của biểu thức không? Vì sao?

Lời giải:

a) Thay $x = 5$ vào $C$:

$$C = \sqrt{2 \cdot 5 – 1} = \sqrt{10 – 1} = \sqrt{9} = 3.$$

b) Thay $x = 0$ vào biểu thức dưới căn:

$$2 \cdot 0 – 1 = -1 < 0.$$

Vì căn bậc hai chỉ xác định khi biểu thức dưới dấu căn không âm, mà $-1 < 0$ nên không tính được giá trị của biểu thức $C$ tại $x = 0$.

Luyện tập 4 trang 47

Đề bài: Cho căn thức $\sqrt{5 – 2x}$.

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức tại $x = 2$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: căn thức xác định khi biểu thức dưới dấu căn không âm, tức:

$$5 – 2x \ge 0 ;\Leftrightarrow; -2x \ge -5 ;\Leftrightarrow; x \le \dfrac{5}{2}.$$

b) Tại $x = 2$ (thoả mãn $x \le \dfrac{5}{2}$), thay vào căn thức:

$$\sqrt{5 – 2 \cdot 2} = \sqrt{5 – 4} = \sqrt{1} = 1.$$

Luyện tập 5 trang 48

Đề bài:

a) Rút gọn biểu thức $x\sqrt{x^6}$ (với $x < 0$).

b) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức $x + \sqrt{4x^2 – 4x + 1}$ tại $x = -2{,}5$.

Lời giải:

a) Ta có $x^6 = (x^3)^2$, do đó áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$:

$$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|.$$

Vì $x < 0$ nên $x^3 < 0$, suy ra $|x^3| = -x^3$. Do đó:

$$x\sqrt{x^6} = x \cdot (-x^3) = -x^4.$$

b) Nhận xét: $4x^2 – 4x + 1 = (2x – 1)^2$ (hằng đẳng thức $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ với $a = 2x,\ b = 1$).

Do đó:

$$\sqrt{4x^2 – 4x + 1} = \sqrt{(2x – 1)^2} = |2x – 1|.$$

Suy ra:

$$x + \sqrt{4x^2 – 4x + 1} = x + |2x – 1|.$$

Tính giá trị tại $x = -2{,}5$:

• $2x – 1 = 2 \cdot (-2{,}5) – 1 = -5 – 1 = -6 < 0$, nên $|2x – 1| = |-6| = 6$.
• Vậy giá trị biểu thức là: $-2{,}5 + 6 = 3{,}5$.

Vận dụng trang 48

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu.

a) Viết công thức tính thời gian $t$ (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường $S$ (mét).

b) Sử dụng công thức tìm được ở câu a, hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

a) Viết công thức $t$ theo $S$.

Từ $S = 4{,}9t^2$, ta có:

$$t^2 = \dfrac{S}{4{,}9}.$$

Vì $t$ là thời gian rơi nên $t > 0$, lấy căn bậc hai số học hai vế:

$$t = \sqrt{\dfrac{S}{4{,}9}} \ (\text{giây}).$$

b) Trả lời câu hỏi mở đầu.

Thay $S = 122{,}5$ vào công thức:

$$t = \sqrt{\dfrac{122{,}5}{4{,}9}} = \sqrt{25} = 5 \ (\text{giây}).$$

Vậy sau $5$ giây thì vật sẽ chạm đất.

Bài tập (trang 48)

Bài 3.1 trang 48

Đề bài: Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $24{,}5$;

b) $\dfrac{9}{10}$.

Lời giải:

a) Dùng MTCT: $\sqrt{24{,}5} \approx 4{,}9497\ldots$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: $\sqrt{24{,}5} \approx 4{,}95$.

Vậy $24{,}5$ có hai căn bậc hai (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là: $4{,}95$ và $-4{,}95$.

b) Dùng MTCT: $\sqrt{\dfrac{9}{10}} \approx 0{,}9486\ldots$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: $\sqrt{\dfrac{9}{10}} \approx 0{,}95$.

Vậy $\dfrac{9}{10}$ có hai căn bậc hai (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là: $0{,}95$ và $-0{,}95$.

Bài 3.2 trang 48

Đề bài: Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng $2$ m². Em hãy ước lượng (với độ chính xác $0{,}005$) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Lời giải:

Gọi $d$ (m) là đường kính của ô đất hình tròn ($d > 0$). Bán kính ô đất là $\dfrac{d}{2}$.

Diện tích hình tròn:

$$S = \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi d^2}{4}.$$

Theo đề bài $S = 2$ m², nên:

$$\dfrac{\pi d^2}{4} = 2 ;\Leftrightarrow; d^2 = \dfrac{8}{\pi}.$$

Vì $d > 0$ nên:

$$d = \sqrt{\dfrac{8}{\pi}} \approx 1{,}5958\ldots \ (\text{m}).$$

Với độ chính xác $0{,}005$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai), ta được:

$$d \approx 1{,}60 \ (\text{m}).$$

Vậy đường kính các ô đất khoảng $1{,}60$ m.

Bài 3.3 trang 48

Đề bài: Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{x + 10}$ và tính giá trị của căn thức tại $x = -1$.

Lời giải:

Điều kiện xác định: $x + 10 \ge 0 ;\Leftrightarrow; x \ge -10$.

Tính giá trị tại $x = -1$ (thoả mãn $x \ge -10$):

$$\sqrt{-1 + 10} = \sqrt{9} = 3.$$

Bài 3.4 trang 48

Đề bài: Tính:

$$\sqrt{5{,}1^2},;\qquad \sqrt{(-4{,}9)^2},;\qquad -\sqrt{(-0{,}001)^2}.$$

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$:

• $\sqrt{5{,}1^2} = |5{,}1| = 5{,}1$.
• $\sqrt{(-4{,}9)^2} = |-4{,}9| = 4{,}9$.
• $-\sqrt{(-0{,}001)^2} = -|-0{,}001| = -0{,}001$.

Bài 3.5 trang 48

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(2 – \sqrt{5})^2}$;

b) $3\sqrt{x^2} – x + 1$ (với $x < 0$);

c) $\sqrt{x^2 – 4x + 4}$ (với $x < 2$).

Lời giải:

a) Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$:

$$\sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} = |2 – \sqrt{5}|.$$

Để bỏ dấu trị tuyệt đối, xét dấu của $2 – \sqrt{5}$: vì $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ nên $2 – \sqrt{5} < 0$, do đó:

$$|2 – \sqrt{5}| = -(2 – \sqrt{5}) = \sqrt{5} – 2.$$

Vậy $\sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} = \sqrt{5} – 2$.

b) Áp dụng $\sqrt{x^2} = |x|$:

$$3\sqrt{x^2} – x + 1 = 3|x| – x + 1.$$

Vì $x < 0$ nên $|x| = -x$. Do đó:

$$3\sqrt{x^2} – x + 1 = 3 \cdot (-x) – x + 1 = -3x – x + 1 = -4x + 1.$$

Vậy $3\sqrt{x^2} – x + 1 = -4x + 1$ với $x < 0$.

c) Nhận xét: $x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2$. Do đó:

$$\sqrt{x^2 – 4x + 4} = \sqrt{(x – 2)^2} = |x – 2|.$$

Vì $x < 2$ nên $x – 2 < 0$, suy ra $|x – 2| = -(x – 2) = 2 – x$.

Vậy $\sqrt{x^2 – 4x + 4} = 2 – x$ với $x < 2$.

Bài 3.6 trang 48

Đề bài: Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức $A$ có giá trị là số nguyên:

$$A = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} – \sqrt{(1 – 2\sqrt{2})^2}.$$

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{X^2} = |X|$:

$$A = |1 + 2\sqrt{2}| – |1 – 2\sqrt{2}|.$$

Xét dấu từng biểu thức:

• $1 + 2\sqrt{2}$: vì $2\sqrt{2} > 0$ nên $1 + 2\sqrt{2} > 0$, do đó $|1 + 2\sqrt{2}| = 1 + 2\sqrt{2}$.
• $1 – 2\sqrt{2}$: ta có $2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$. Vì $\sqrt{8} > \sqrt{1} = 1$ nên $2\sqrt{2} > 1$, suy ra $1 – 2\sqrt{2} < 0$. Do đó:

$$|1 – 2\sqrt{2}| = -(1 – 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} – 1.$$

Tính $A$:

$$A = (1 + 2\sqrt{2}) – (2\sqrt{2} – 1) = 1 + 2\sqrt{2} – 2\sqrt{2} + 1 = 2.$$

Vậy $A = 2$ là một số nguyên (điều phải chứng minh).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du