Mở đầu trang 54

Đề bài: Không sử dụng MTCT, có thể so sánh được hai số $a = 3\sqrt{2}$ và $b = 2\sqrt{3}$ hay không?

Lời giải:

Có thể. Ta đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh:

• $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
• $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Vì $12 < 18$ nên $\sqrt{12} < \sqrt{18}$, suy ra $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

HĐ1 trang 54

Đề bài: Tính và so sánh $\sqrt{(-3)^2 \cdot 25}$ với $|-3| \cdot \sqrt{25}$.

Lời giải:

• $\sqrt{(-3)^2 \cdot 25} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15$.
• $|-3| \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$.

Vậy $\sqrt{(-3)^2 \cdot 25} = |-3| \cdot \sqrt{25} = 15$.

Nhận xét: Đây là một trường hợp của công thức tổng quát $\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}$ (với $b \ge 0$).

Luyện tập 1 trang 55

Đề bài: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{12}$;

b) $3\sqrt{27}$;

c) $5\sqrt{48}$.

Lời giải:

a) Phân tích $12 = 2^2 \cdot 3$, ta có:

$$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}.$$

b) Phân tích $27 = 3^2 \cdot 3$, ta có:

$$3\sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}.$$

c) Phân tích $48 = 4^2 \cdot 3$, ta có:

$$5\sqrt{48} = 5 \cdot \sqrt{4^2 \cdot 3} = 5 \cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}.$$

Luyện tập 2 trang 55

Đề bài: Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\dfrac{3}{5}}$.

Lời giải:

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với $5$ để mẫu trở thành số chính phương $5^2 = 25$:

$$\sqrt{\dfrac{3}{5}} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5}} = \sqrt{\dfrac{15}{5^2}} = \dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{5^2}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}.$$

Vậy $\sqrt{\dfrac{3}{5}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}$.

Tranh luận trang 55

Đề bài: Bạn Vuông viết: $\sqrt{(-2)^2 \cdot 5} = -2\sqrt{5}$. Em có đồng ý với cách làm của Vuông không? Vì sao?

Lời giải:

Không đồng ý. Cách làm của bạn Vuông sai.

Lý do: Công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn là $\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}$ (chứ không phải $a\sqrt{b}$). Áp dụng đúng cho biểu thức đã cho:

$$\sqrt{(-2)^2 \cdot 5} = |-2| \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}.$$

Ngoài ra, có thể thấy ngay $\sqrt{(-2)^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20} > 0$, không thể bằng $-2\sqrt{5} < 0$. Vậy kết quả đúng phải là $2\sqrt{5}$.

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

HĐ2 trang 55

Đề bài: Tính và so sánh:

a) $5 \cdot \sqrt{4}$ với $\sqrt{5^2 \cdot 4}$;

b) $-5 \cdot \sqrt{4}$ với $-\sqrt{(-5)^2 \cdot 4}$.

Lời giải:

a)

• $5 \cdot \sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$.
• $\sqrt{5^2 \cdot 4} = \sqrt{25 \cdot 4} = \sqrt{100} = 10$.

Vậy $5 \cdot \sqrt{4} = \sqrt{5^2 \cdot 4} = 10$.

b)

• $-5 \cdot \sqrt{4} = -5 \cdot 2 = -10$.
• $-\sqrt{(-5)^2 \cdot 4} = -\sqrt{25 \cdot 4} = -\sqrt{100} = -10$.

Vậy $-5 \cdot \sqrt{4} = -\sqrt{(-5)^2 \cdot 4} = -10$.

Nhận xét: Đây là các trường hợp cụ thể của công thức tổng quát: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ (khi $a \ge 0$) và $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$ (khi $a < 0$), trong đó $b \ge 0$.

Luyện tập 3 trang 56

Đề bài: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3\sqrt{5}$;

b) $-2\sqrt{7}$.

Lời giải:

a) Vì $3 > 0$, áp dụng $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$:

$$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}.$$

b) Vì $-2 < 0$, áp dụng $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$:

$$-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{28}.$$

3. Trục căn thức ở mẫu

HĐ3 trang 56

Đề bài: Nhân cả tử và mẫu của biểu thức $\dfrac{3a}{2\sqrt{2}}$ với $\sqrt{2}$ và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Lời giải:

Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{2}$:

$$\dfrac{3a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3a \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{3a\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.$$

Biểu thức mới không còn căn thức ở mẫu.

HĐ4 trang 56

Đề bài: Cho hai biểu thức $\dfrac{-2}{\sqrt{3} + 1}$ và $\dfrac{1}{\sqrt{3} – \sqrt{2}}$. Hãy:

a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu.

Lời giải:

Biểu thức $\dfrac{-2}{\sqrt{3} + 1}$:

a) Biểu thức liên hợp của mẫu $\sqrt{3} + 1$ là $\sqrt{3} – 1$.

b) Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3} – 1$:

$$\dfrac{-2}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{-2(\sqrt{3} – 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)}.$$

c) Áp dụng hằng đẳng thức $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$ cho mẫu:

$$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) = (\sqrt{3})^2 – 1^2 = 3 – 1 = 2.$$

Vậy: $\dfrac{-2}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{-2(\sqrt{3} – 1)}{2} = -(\sqrt{3} – 1) = 1 – \sqrt{3}$.

Biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{3} – \sqrt{2}}$:

a) Biểu thức liên hợp của mẫu $\sqrt{3} – \sqrt{2}$ là $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

b) Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3} + \sqrt{2}$:

$$\dfrac{1}{\sqrt{3} – \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} – \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}.$$

c) Mẫu: $(\sqrt{3})^2 – (\sqrt{2})^2 = 3 – 2 = 1$. Vậy:

$$\dfrac{1}{\sqrt{3} – \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} + \sqrt{2}.$$

Luyện tập 4 trang 57

Đề bài: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) $\dfrac{-5\sqrt{x^2 + 1}}{2\sqrt{3}}$;

b) $\dfrac{a^2 – 2a}{\sqrt{a} + \sqrt{2}}$ (với $a \ge 0,\ a \ne 2$).

Lời giải:

a) Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$:

$$\dfrac{-5\sqrt{x^2 + 1}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{-5\sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{-5\sqrt{3(x^2 + 1)}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-5\sqrt{3x^2 + 3}}{6}.$$

b) Biểu thức liên hợp của mẫu $\sqrt{a} + \sqrt{2}$ là $\sqrt{a} – \sqrt{2}$. Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{a} – \sqrt{2}$:

$$\dfrac{a^2 – 2a}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \dfrac{(a^2 – 2a)(\sqrt{a} – \sqrt{2})}{(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} – \sqrt{2})}.$$

Mẫu: $(\sqrt{a})^2 – (\sqrt{2})^2 = a – 2$. Phân tích tử số $a^2 – 2a = a(a – 2)$. Do đó:

$$\dfrac{a(a – 2)(\sqrt{a} – \sqrt{2})}{a – 2} = a(\sqrt{a} – \sqrt{2}) = a\sqrt{a} – a\sqrt{2}.$$

(Phép rút gọn $\dfrac{a-2}{a-2} = 1$ hợp lệ vì $a \ne 2$.)

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Luyện tập 5 trang 58

Đề bài: Rút gọn biểu thức sau:

$$\left(\dfrac{\sqrt{22} – \sqrt{11}}{1 – \sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{21} – \sqrt{7}}{1 – \sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{7} – \sqrt{11}\right).$$

Lời giải:

Bước 1: Rút gọn từng phân số trong ngoặc.

Phân số thứ nhất: tử số có nhân tử chung $\sqrt{11}$:

$$\sqrt{22} – \sqrt{11} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{2} – \sqrt{11} = \sqrt{11}(\sqrt{2} – 1).$$

Mẫu số: $1 – \sqrt{2} = -(\sqrt{2} – 1)$. Vậy:

$$\dfrac{\sqrt{22} – \sqrt{11}}{1 – \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{11}(\sqrt{2} – 1)}{-(\sqrt{2} – 1)} = -\sqrt{11}.$$

Phân số thứ hai: tương tự, $\sqrt{21} – \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{3} – 1)$ và $1 – \sqrt{3} = -(\sqrt{3} – 1)$. Vậy:

$$\dfrac{\sqrt{21} – \sqrt{7}}{1 – \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{7}(\sqrt{3} – 1)}{-(\sqrt{3} – 1)} = -\sqrt{7}.$$

Bước 2: Cộng hai kết quả trong ngoặc.

$$-\sqrt{11} + (-\sqrt{7}) = -(\sqrt{11} + \sqrt{7}).$$

Bước 3: Nhân với $(\sqrt{7} – \sqrt{11})$.

$$-(\sqrt{11} + \sqrt{7})(\sqrt{7} – \sqrt{11}) = (\sqrt{11} + \sqrt{7})(\sqrt{11} – \sqrt{7}).$$

(Đổi dấu cả hai thừa số: $-A \cdot B = A \cdot (-B)$.)

Áp dụng hằng đẳng thức $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$:

$$(\sqrt{11})^2 – (\sqrt{7})^2 = 11 – 7 = 4.$$

Vậy giá trị biểu thức bằng $4$.

Vận dụng trang 58–59

Đề bài: Trong thuyết tương đối, khối lượng $m$ (kg) của một vật khi chuyển động với vận tốc $v$ (m/s) được cho bởi công thức:

$$m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}},$$

trong đó $m_0$ (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, $c$ (m/s) là vận tốc ánh sáng trong chân không.

a) Viết lại công thức tính khối lượng $m$ dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng $m$ theo $m_0$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với vận tốc $v = \dfrac{1}{10}c$.

Lời giải:

a) Viết lại công thức.

Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}$:

$$m = \dfrac{m_0 \cdot \sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}{\left(\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}\right)^2} = \dfrac{m_0 \sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}.$$

b) Tính $m$ khi $v = \dfrac{1}{10}c$.

Tính $\dfrac{v^2}{c^2}$:

$$\dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{(c/10)^2}{c^2} = \dfrac{c^2/100}{c^2} = \dfrac{1}{100}.$$

Do đó: $1 – \dfrac{v^2}{c^2} = 1 – \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100}$.

Thay vào công thức gốc:

$$m = \dfrac{m_0}{\sqrt{\dfrac{99}{100}}} = \dfrac{m_0}{\dfrac{\sqrt{99}}{10}} = \dfrac{10, m_0}{\sqrt{99}}.$$

Dùng MTCT: $\sqrt{99} \approx 9{,}9499$, nên:

$$m \approx \dfrac{10, m_0}{9{,}9499} \approx 1{,}005, m_0.$$

Vậy khối lượng vật khi chuyển động gấp khoảng $1{,}005$ lần khối lượng lúc đứng yên.

Bài tập (trang 59)

Bài 3.17 trang 59

Đề bài: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{52}$;

b) $\sqrt{27a}$ ($a \ge 0$);

c) $\sqrt{50\sqrt{2} + 100}$;

d) $\sqrt{9\sqrt{5} – 18}$.

Lời giải:

a) $52 = 2^2 \cdot 13$, do đó:

$$\sqrt{52} = \sqrt{2^2 \cdot 13} = 2\sqrt{13}.$$

b) $27a = 3^2 \cdot 3a$, do đó (với $a \ge 0$):

$$\sqrt{27a} = \sqrt{3^2 \cdot 3a} = 3\sqrt{3a}.$$

c) Phân tích biểu thức dưới căn thành tích, trong đó có một thừa số chính phương:

$$50\sqrt{2} + 100 = 25 \cdot (2\sqrt{2} + 4).$$

Do đó:

$$\sqrt{50\sqrt{2} + 100} = \sqrt{25 \cdot (2\sqrt{2} + 4)} = 5\sqrt{2\sqrt{2} + 4}.$$

d) Tương tự, phân tích $9\sqrt{5} – 18 = 9(\sqrt{5} – 2)$:

$$\sqrt{9\sqrt{5} – 18} = \sqrt{9 \cdot (\sqrt{5} – 2)} = 3\sqrt{\sqrt{5} – 2}.$$

(Lưu ý: $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ nên $\sqrt{5} – 2 > 0$, biểu thức xác định.)

Bài 3.18 trang 59

Đề bài: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $4\sqrt{3}$;

b) $-2\sqrt{7}$;

c) $4\sqrt{\dfrac{15}{2}}$;

d) $-5\sqrt{\dfrac{16}{5}}$.

Lời giải:

a) $4 > 0$ nên: $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{48}$.

b) $-2 < 0$ nên: $-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{28}$.

c) $4 > 0$, áp dụng quy tắc:

$$4\sqrt{\dfrac{15}{2}} = \sqrt{4^2 \cdot \dfrac{15}{2}} = \sqrt{\dfrac{16 \cdot 15}{2}} = \sqrt{8 \cdot 15} = \sqrt{120}.$$

d) $-5 < 0$, áp dụng quy tắc:

$$-5\sqrt{\dfrac{16}{5}} = -\sqrt{5^2 \cdot \dfrac{16}{5}} = -\sqrt{\dfrac{25 \cdot 16}{5}} = -\sqrt{5 \cdot 16} = -\sqrt{80}.$$

Bài 3.19 trang 59

Đề bài: Khử mẫu trong dấu căn:

a) $2a \cdot \sqrt{\dfrac{3}{5}}$;

b) $-3x \cdot \sqrt{\dfrac{5}{x}}$ ($x > 0$);

c) $-\sqrt{\dfrac{3a}{b}}$ ($a \ge 0,\ b > 0$).

Lời giải:

a) Nhân tử và mẫu của biểu thức lấy căn với $5$:

$$\sqrt{\dfrac{3}{5}} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 5}{5^2}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}.$$

Suy ra: $2a \cdot \sqrt{\dfrac{3}{5}} = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{15}}{5} = \dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$.

b) Nhân tử và mẫu của biểu thức lấy căn với $x$ (do $x > 0$):

$$\sqrt{\dfrac{5}{x}} = \sqrt{\dfrac{5x}{x^2}} = \dfrac{\sqrt{5x}}{x}.$$

Suy ra: $-3x \cdot \sqrt{\dfrac{5}{x}} = -3x \cdot \dfrac{\sqrt{5x}}{x} = -3\sqrt{5x}$.

c) Nhân tử và mẫu của biểu thức lấy căn với $b$ (do $b > 0$):

$$\sqrt{\dfrac{3a}{b}} = \sqrt{\dfrac{3ab}{b^2}} = \dfrac{\sqrt{3ab}}{b}.$$

Suy ra: $-\sqrt{\dfrac{3a}{b}} = -\dfrac{\sqrt{3ab}}{b}$.

Bài 3.20 trang 59

Đề bài: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{4 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$;

b) $\dfrac{1}{\sqrt{5} – 2}$;

c) $\dfrac{3 + \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}}$;

d) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.

Lời giải:

a) Nhân tử và mẫu với $\sqrt{5}$:

$$\dfrac{4 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{(4 + 3\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{5} + 3 \cdot 5}{5} = \dfrac{4\sqrt{5} + 15}{5}.$$

b) Biểu thức liên hợp của $\sqrt{5} – 2$ là $\sqrt{5} + 2$. Nhân tử và mẫu với $\sqrt{5} + 2$:

$$\dfrac{1}{\sqrt{5} – 2} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} – 2)(\sqrt{5} + 2)} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5})^2 – 2^2} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{5 – 4} = \sqrt{5} + 2.$$

c) Biểu thức liên hợp của $1 – \sqrt{3}$ là $1 + \sqrt{3}$. Nhân tử và mẫu với $1 + \sqrt{3}$:

$$\dfrac{3 + \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} = \dfrac{(3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 – \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}.$$

• Mẫu: $1^2 – (\sqrt{3})^2 = 1 – 3 = -2$.
• Tử: $(3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 = 6 + 4\sqrt{3}$.

Vậy: $\dfrac{6 + 4\sqrt{3}}{-2} = -(3 + 2\sqrt{3}) = -3 – 2\sqrt{3}$.

d) Biểu thức liên hợp của $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ là $\sqrt{3} – \sqrt{2}$. Nhân tử và mẫu với $\sqrt{3} – \sqrt{2}$:

$$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3} – \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} – \sqrt{2})} = \dfrac{\sqrt{6} – 2}{3 – 2} = \sqrt{6} – 2.$$

Bài 3.21 trang 59

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt{\dfrac{3}{2}}$;

b) $\dfrac{5\sqrt{48} – 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$;

c) $\dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}} + \dfrac{4\sqrt{2} – 4}{2 – \sqrt{2}}$.

Lời giải:

a) Khử mẫu trong mỗi căn thức:

• $\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 3}{3^2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$, nên $2\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.
• $\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 2}{2^2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$, nên $4\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$.

Trừ:

$$2\sqrt{\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3} – 2\sqrt{6} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3} – \dfrac{6\sqrt{6}}{3} = \dfrac{-4\sqrt{6}}{3} = -\dfrac{4\sqrt{6}}{3}.$$

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ở tử số:

• $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$, nên $5\sqrt{48} = 20\sqrt{3}$.
• $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$, nên $3\sqrt{27} = 9\sqrt{3}$.
• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, nên $2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$.

Tử số:

$$5\sqrt{48} – 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12} = 20\sqrt{3} – 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 15\sqrt{3}.$$

Chia cho mẫu:

$$\dfrac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15.$$

c) Tính từng phân số.

Phân số thứ nhất: nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp $3 – 2\sqrt{2}$:

$$\dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \dfrac{3 – 2\sqrt{2}}{(3 + 2\sqrt{2})(3 – 2\sqrt{2})} = \dfrac{3 – 2\sqrt{2}}{9 – 8} = 3 – 2\sqrt{2}.$$

Phân số thứ hai: để ý $4\sqrt{2} – 4 = 4(\sqrt{2} – 1)$ và $2 – \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} – 1)$. Do đó:

$$\dfrac{4\sqrt{2} – 4}{2 – \sqrt{2}} = \dfrac{4(\sqrt{2} – 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2} – 1)} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.$$

Cộng hai phần:

$$\dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}} + \dfrac{4\sqrt{2} – 4}{2 – \sqrt{2}} = (3 – 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3.$$

Bài 3.22 trang 59

Đề bài: Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} – \dfrac{1}{3 – \sqrt{x}}\right)$ ($x \ge 0,\ x \ne 9$).

Lời giải:

Bước 1: Quy đồng và trừ hai phân số trong ngoặc.

Mẫu chung là $(\sqrt{x} + 3)(3 – \sqrt{x})$. Áp dụng hằng đẳng thức $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$ (với $a = 3,\ b = \sqrt{x}$):

$$(\sqrt{x} + 3)(3 – \sqrt{x}) = (3 + \sqrt{x})(3 – \sqrt{x}) = 3^2 – (\sqrt{x})^2 = 9 – x.$$

Quy đồng từng phân số:

• $\dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{3 – \sqrt{x}}{9 – x}$.
• $\dfrac{1}{3 – \sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x} + 3}{9 – x}$.

Trừ:

$$\dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} – \dfrac{1}{3 – \sqrt{x}} = \dfrac{(3 – \sqrt{x}) – (\sqrt{x} + 3)}{9 – x} = \dfrac{3 – \sqrt{x} – \sqrt{x} – 3}{9 – x} = \dfrac{-2\sqrt{x}}{9 – x}.$$

Bước 2: Nhân với $\sqrt{x}$.

$$A = \sqrt{x} \cdot \dfrac{-2\sqrt{x}}{9 – x} = \dfrac{-2(\sqrt{x})^2}{9 – x} = \dfrac{-2x}{9 – x} = \dfrac{2x}{x – 9}.$$

Vậy $A = \dfrac{2x}{x – 9}$ với $x \ge 0,\ x \ne 9$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du