A. Trắc nghiệm

Bài 1.19 trang 24

Đề bài: Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} 5x + 7y = -1 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases}$?

A. $(-1;\ 1)$.

B. $(-3;\ 2)$.

C. $(2;\ -3)$.

D. $(5;\ 5)$.

Lời giải:

Ta lần lượt thay từng cặp số vào hệ. Cặp số là nghiệm khi thoả mãn cả hai phương trình.

• B. $(-3;\ 2)$:
  • $5 \cdot (-3) + 7 \cdot 2 = -15 + 14 = -1$ ✓
  • $3 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 = -9 + 4 = -5$ ✓

Cả hai phương trình đều thoả mãn.

Đáp án: B.

Bài 1.20 trang 24

Đề bài: Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $A(1;\ 2)$, $B(5;\ 6)$, $C(2;\ 3)$, $D(-1;\ -1)$. Đường thẳng $4x – 3y = -1$ đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho?

A. $A$ và $B$.

B. $B$ và $C$.

C. $C$ và $D$.

D. $D$ và $A$.

Lời giải:

Một điểm $(x_0;\ y_0)$ thuộc đường thẳng $4x – 3y = -1$ khi thay vào ta được khẳng định đúng.

• $A(1;\ 2)$: $4 \cdot 1 – 3 \cdot 2 = 4 – 6 = -2 \neq -1$ → không thuộc.
• $B(5;\ 6)$: $4 \cdot 5 – 3 \cdot 6 = 20 – 18 = 2 \neq -1$ → không thuộc.
• $C(2;\ 3)$: $4 \cdot 2 – 3 \cdot 3 = 8 – 9 = -1$ ✓ → thuộc.
• $D(-1;\ -1)$: $4 \cdot (-1) – 3 \cdot (-1) = -4 + 3 = -1$ ✓ → thuộc.

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm $C$ và $D$.

Đáp án: C.

Bài 1.21 trang 24

Đề bài: Hệ phương trình $\begin{cases} 1{,}5x – 0{,}6y = 0{,}3 \\ -2x + y = -2 \end{cases}$

A. có nghiệm là $(0;\ -0{,}5)$.

B. có nghiệm là $(1;\ 0)$.

C. có nghiệm là $(-3;\ -8)$.

D. vô nghiệm.

Lời giải:

Từ phương trình thứ hai: $y = 2x – 2$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$$1{,}5x – 0{,}6(2x – 2) = 0{,}3 ;\Leftrightarrow; 1{,}5x – 1{,}2x + 1{,}2 = 0{,}3 ;\Leftrightarrow; 0{,}3x = -0{,}9 ;\Leftrightarrow; x = -3.$$

Suy ra $y = 2 \cdot (-3) – 2 = -8$. Vậy hệ có nghiệm $(-3;\ -8)$.

Đáp án: C.

Bài 1.22 trang 24

Đề bài: Hệ phương trình $\begin{cases} 0{,}6x + 0{,}3y = 1{,}8 \\ 2x + y = -6 \end{cases}$

A. có một nghiệm.

B. vô nghiệm.

C. có vô số nghiệm.

D. có hai nghiệm.

Lời giải:

Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho $0{,}3$: $2x + y = 6$.

So với phương trình thứ hai $2x + y = -6$, hai phương trình có cùng vế trái nhưng vế phải khác nhau ($6 \neq -6$). Do đó hệ vô nghiệm.

Đáp án: B.

B. Tự luận

Bài 1.23 trang 24

Đề bài: Giải các hệ phương trình:

a) $\begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ \dfrac{2}{5}x + y = 1 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 0{,}2x + 0{,}1y = 0{,}3 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} \dfrac{3}{2}x – y = \dfrac{1}{2} \\ 6x – 4y = 2 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $5$:

$$\begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ 2x + 5y = 5. \end{cases}$$

Hai phương trình có cùng vế trái nhưng vế phải khác nhau ($10 \neq 5$). Vậy hệ vô nghiệm.

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $10$:

$$\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 3x + y = 5. \end{cases}$$

Trừ từng vế (phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất):

$$x = 2.$$

Thế $x = 2$ vào $2x + y = 3$: $4 + y = 3 \Rightarrow y = -1$.

Vậy hệ có nghiệm $(2;\ -1)$.

c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $4$:

$$\begin{cases} 6x – 4y = 2 \\ 6x – 4y = 2. \end{cases}$$

Hai phương trình giống nhau. Vậy hệ có vô số nghiệm. Từ $\dfrac{3}{2}x – y = \dfrac{1}{2}$, suy ra $y = \dfrac{3}{2}x – \dfrac{1}{2}$. Nghiệm tổng quát:

$$\left(x;\ \dfrac{3}{2}x – \dfrac{1}{2}\right) \quad \text{với } x \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$

Bài 1.24 trang 24

Đề bài: Giải các hệ phương trình:

a) $\begin{cases} 0{,}5x + 2y = -2{,}5 \\ 0{,}7x – 3y = 8{,}1 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 5x – 3y = -2 \\ 14x + 8y = 19 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} 2(x – 2) + 3(1 + y) = -2 \\ 3(x – 2) – 2(1 + y) = -3 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Để khử ẩn $y$, nhân phương trình thứ nhất với $3$ và phương trình thứ hai với $2$:

$$\begin{cases} 1{,}5x + 6y = -7{,}5 \\ 1{,}4x – 6y = 16{,}2. \end{cases}$$

Cộng từng vế:

$$2{,}9x = 8{,}7 ;\Leftrightarrow; x = 3.$$

Thế $x = 3$ vào phương trình thứ nhất ban đầu $0{,}5x + 2y = -2{,}5$:

$$1{,}5 + 2y = -2{,}5 ;\Leftrightarrow; 2y = -4 ;\Leftrightarrow; y = -2.$$

Vậy hệ có nghiệm $(3;\ -2)$.

b) Để khử ẩn $y$, nhân phương trình thứ nhất với $8$ và phương trình thứ hai với $3$:

$$\begin{cases} 40x – 24y = -16 \\ 42x + 24y = 57. \end{cases}$$

Cộng từng vế:

$$82x = 41 ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{1}{2}.$$

Thế $x = \dfrac{1}{2}$ vào phương trình thứ nhất ban đầu $5x – 3y = -2$:

$$\dfrac{5}{2} – 3y = -2 ;\Leftrightarrow; -3y = -2 – \dfrac{5}{2} = -\dfrac{9}{2} ;\Leftrightarrow; y = \dfrac{3}{2}.$$

Vậy hệ có nghiệm $\left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{3}{2}\right)$.

c) Cách đặt ẩn phụ: Đặt $u = x – 2$ và $v = 1 + y$, hệ trở thành:

$$\begin{cases} 2u + 3v = -2 \\ 3u – 2v = -3. \end{cases}$$

Nhân phương trình thứ nhất với $2$ và phương trình thứ hai với $3$:

$$\begin{cases} 4u + 6v = -4 \\ 9u – 6v = -9. \end{cases}$$

Cộng từng vế:

$$13u = -13 ;\Leftrightarrow; u = -1.$$

Thế $u = -1$ vào $2u + 3v = -2$: $-2 + 3v = -2 \Rightarrow v = 0$.

Trở lại ẩn $x$, $y$:

• $u = x – 2 = -1 \Rightarrow x = 1$.
• $v = 1 + y = 0 \Rightarrow y = -1$.

Vậy hệ có nghiệm $(1;\ -1)$.

Bài 1.25 trang 25

Đề bài: Tìm số tự nhiên $n$ có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số $3$ vào giữa hai chữ số của số $n$ thì được một số lớn hơn số $2n$ là $585$ đơn vị, và nếu viết hai chữ số của số $n$ theo thứ tự ngược lại thì được một số nhỏ hơn số $n$ là $18$ đơn vị.

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $a$ là chữ số hàng chục và $b$ là chữ số hàng đơn vị của $n$. Điều kiện: $a, b \in \mathbb{N}$, $1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$.

Khi đó: $n = 10a + b$.

Phương trình 1: Viết thêm chữ số $3$ vào giữa $a$ và $b$, ta được số có ba chữ số $\overline{a3b} = 100a + 30 + b$. Số này lớn hơn $2n$ là $585$:

$$(100a + 30 + b) – 2(10a + b) = 585.$$

Khai triển: $100a + 30 + b – 20a – 2b = 585 \Leftrightarrow 80a – b = 555$.

Phương trình 2: Số ngược $\overline{ba} = 10b + a$, nhỏ hơn $n$ là $18$:

$$(10a + b) – (10b + a) = 18 ;\Leftrightarrow; 9a – 9b = 18 ;\Leftrightarrow; a – b = 2.$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

$$\begin{cases} 80a – b = 555 \\ a – b = 2. \end{cases}$$

Trừ từng vế (phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai):

$$79a = 553 ;\Leftrightarrow; a = 7.$$

Suy ra $b = a – 2 = 5$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$a = 7$ thoả $1 \le a \le 9$; $b = 5$ thoả $0 \le b \le 9$. Vậy $n = 75$.

Kiểm tra: Viết $3$ vào giữa: $735$; $2n = 150$; $735 – 150 = 585$ ✓. Số ngược: $57$; $75 – 57 = 18$ ✓.

Bài 1.26 trang 25

Đề bài: Trên cánh đồng có diện tích $160$ ha của một đơn vị sản xuất, người ta dành $60$ ha để cấy thí điểm giống lúa mới, còn lại vẫn cấy giống lúa cũ. Khi thu hoạch, đầu tiên người ta gặt $8$ ha giống lúa cũ và $7$ ha giống lúa mới để đối chứng. Kết quả là $7$ ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn $8$ ha giống lúa cũ là $2$ tấn thóc. Biết rằng tổng số thóc (cả hai giống) thu hoạch cả vụ trên $160$ ha là $860$ tấn. Hỏi năng suất của mỗi giống lúa trên $1$ ha là bao nhiêu tấn thóc?

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $x$ (tấn/ha) là năng suất của giống lúa cũ và $y$ (tấn/ha) là năng suất của giống lúa mới. Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$.

Diện tích trồng giống cũ: $160 – 60 = 100$ ha.

Phương trình 1: $7$ ha giống mới thu được $7y$ tấn, $8$ ha giống cũ thu được $8x$ tấn. $7$ ha giống mới hơn $8$ ha giống cũ $2$ tấn:

$$7y – 8x = 2.$$

Phương trình 2: Tổng thu hoạch trên $160$ ha là $860$ tấn:

$$100x + 60y = 860 ;\Leftrightarrow; 5x + 3y = 43 \quad (\text{chia hai vế cho } 20).$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

$$\begin{cases} -8x + 7y = 2 \\ 5x + 3y = 43. \end{cases}$$

Để khử ẩn $y$, nhân phương trình thứ nhất với $3$ và phương trình thứ hai với $7$:

$$\begin{cases} -24x + 21y = 6 \\ 35x + 21y = 301. \end{cases}$$

Trừ từng vế (phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất):

$$59x = 295 ;\Leftrightarrow; x = 5.$$

Thế $x = 5$ vào $5x + 3y = 43$: $25 + 3y = 43 \Rightarrow 3y = 18 \Rightarrow y = 6$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$x = 5 > 0$ và $y = 6 > 0$, thoả mãn điều kiện.

Vậy năng suất giống lúa cũ là $5$ tấn/ha và năng suất giống lúa mới là $6$ tấn/ha.

Bài 1.27 trang 25

Đề bài: Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính $20$ cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau $4$ giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau $20$ giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc (cm/s) của mỗi vật.

Lời giải:

Bước 1: Tính chu vi và lập hệ phương trình.

Đường tròn có đường kính $d = 20$ cm nên chu vi là:

$$C = \pi d = 20\pi \ (\text{cm}).$$

Gọi $x$ (cm/s) là vận tốc vật chuyển động nhanh hơn và $y$ (cm/s) là vận tốc vật chuyển động chậm hơn. Điều kiện: $x > y > 0$.

Trường hợp ngược chiều: Hai vật đi ngược chiều, sau $4$ giây gặp nhau nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được bằng đúng chu vi:

$$4(x + y) = 20\pi ;\Leftrightarrow; x + y = 5\pi.$$

Trường hợp cùng chiều: Hai vật đi cùng chiều, sau $20$ giây gặp nhau nghĩa là vật nhanh đã đi hơn vật chậm đúng một vòng (chu vi):

$$20(x – y) = 20\pi ;\Leftrightarrow; x – y = \pi.$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

$$\begin{cases} x + y = 5\pi \\ x – y = \pi. \end{cases}$$

Cộng từng vế:

$$2x = 6\pi ;\Leftrightarrow; x = 3\pi.$$

Thế vào $x + y = 5\pi$: $y = 5\pi – 3\pi = 2\pi$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$x = 3\pi > y = 2\pi > 0$, thoả mãn điều kiện.

Vậy vận tốc của hai vật lần lượt là $3\pi$ cm/s ($\approx 9{,}42$ cm/s) và $2\pi$ cm/s ($\approx 6{,}28$ cm/s).

Bài 1.28 trang 25

Đề bài: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng là $21{,}7$ triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức $10\%$ đối với loại hàng thứ nhất và $8\%$ đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là $9\%$ đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng $21{,}8$ triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $x$ (triệu đồng) là giá loại hàng thứ nhất khi không kể VAT và $y$ (triệu đồng) là giá loại hàng thứ hai khi không kể VAT. Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$.

Phương trình 1: Tính theo VAT thực tế ($10\%$ cho loại 1 và $8\%$ cho loại 2):

• Loại 1 phải trả: $x + 10\% \cdot x = 1{,}1x$.
• Loại 2 phải trả: $y + 8\% \cdot y = 1{,}08y$.

Tổng cộng $21{,}7$ triệu đồng:

$$1{,}1x + 1{,}08y = 21{,}7.$$

Phương trình 2: Nếu VAT đều là $9\%$ cho cả hai loại:

$$1{,}09x + 1{,}09y = 21{,}8.$$

Chia hai vế cho $1{,}09$: $x + y = 20$.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

$$\begin{cases} 1{,}1x + 1{,}08y = 21{,}7 \\ x + y = 20. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ hai: $y = 20 – x$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$$1{,}1x + 1{,}08(20 – x) = 21{,}7 ;\Leftrightarrow; 1{,}1x + 21{,}6 – 1{,}08x = 21{,}7 ;\Leftrightarrow; 0{,}02x = 0{,}1 ;\Leftrightarrow; x = 5.$$

Suy ra $y = 20 – 5 = 15$.

Bước 3: Kiểm tra và trả lời.

$x = 5 > 0$ và $y = 15 > 0$, thoả mãn điều kiện.

Vậy nếu không kể thuế VAT, người đó phải trả $5$ triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và $15$ triệu đồng cho loại hàng thứ hai.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du