A. Trắc nghiệm

Bài 2.21 trang 42

Đề bài: Nghiệm của bất phương trình $-2x + 1 < 0$ là:

A. $x < \dfrac{1}{2}$.

B. $x > \dfrac{1}{2}$.

C. $x \leq \dfrac{1}{2}$.

D. $x \geq \dfrac{1}{2}$.

Lời giải:

$$-2x + 1 < 0 ;\Leftrightarrow; -2x < -1.$$

Chia hai vế cho $-2$ (số âm, đổi chiều):

$$x > \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}.$$

Đáp án đúng: B.

Bài 2.22 trang 42

Đề bài: Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{x}{2x + 1} + \dfrac{3}{x – 5} = \dfrac{x}{(2x + 1)(x – 5)}$ là:

A. $x \neq -\dfrac{1}{2}$.

B. $x \neq -\dfrac{1}{2}$ và $x \neq -5$.

C. $x \neq 5$.

D. $x \neq -\dfrac{1}{2}$ và $x \neq 5$.

Lời giải:

Các mẫu thức xuất hiện trong phương trình: $2x + 1$, $x – 5$ và $(2x + 1)(x – 5)$. Để các mẫu đều khác $0$:

• $2x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -\dfrac{1}{2}$.
• $x – 5 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 5$.

Đáp án đúng: D.

Bài 2.23 trang 42

Đề bài: Phương trình $x – 1 = m + 4$ có nghiệm lớn hơn $1$ với:

A. $m \geq -4$.

B. $m \leq 4$.

C. $m > -4$.

D. $m < -4$.

Lời giải:

Từ phương trình: $x = m + 4 + 1 = m + 5$.

Để $x > 1$:

$$m + 5 > 1 ;\Leftrightarrow; m > -4.$$

Đáp án đúng: C.

Bài 2.24 trang 42

Đề bài: Nghiệm của bất phương trình $1 – 2x \geq 2 – x$ là:

A. $x > \dfrac{1}{2}$.

B. $x < \dfrac{1}{2}$.

C. $x \leq -1$.

D. $x \geq -1$.

Lời giải:

$$1 – 2x \geq 2 – x ;\Leftrightarrow; -2x + x \geq 2 – 1 ;\Leftrightarrow; -x \geq 1.$$

Nhân hai vế với $-1$ (số âm, đổi chiều):

$$x \leq -1.$$

Đáp án đúng: C.

Bài 2.25 trang 42

Đề bài: Cho $a > b$. Khi đó ta có:

A. $2a > 3b$.

B. $2a > 2b + 1$.

C. $5a + 1 > 5b + 1$.

D. $-3a < -3b – 3$.

Lời giải:

Xét từng đáp án từ tính chất của bất đẳng thức.

• A. Không đúng. Ví dụ: $a = 1$, $b = 0{,}9$ thì $a > b$ nhưng $2a = 2 < 2{,}7 = 3b$.
• B. Không đúng. Ví dụ: $a = 1$, $b = 0{,}9$ thì $2a = 2 < 2{,}8 = 2b + 1$.
• C. Đúng. Từ $a > b$, nhân hai vế với $5$ (dương): $5a > 5b$. Cộng $1$ vào hai vế: $5a + 1 > 5b + 1$.
• D. Không đúng. Ví dụ: $a = 2$, $b = 1$ thì $-3a = -6$ và $-3b – 3 = -6$, không có $-3a < -3b – 3$.

Đáp án đúng: C.

B. Tự luận

Bài 2.26 trang 42

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $(3x – 1)^2 – (x + 2)^2 = 0$;

b) $x(x + 1) = 2(x^2 – 1)$.

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ với $A = 3x – 1$ và $B = x + 2$:

$$(3x – 1 – x – 2)(3x – 1 + x + 2) = 0 ;\Leftrightarrow; (2x – 3)(4x + 1) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $2x – 3 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$.
• $4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{4}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = \dfrac{3}{2}$ và $x = -\dfrac{1}{4}$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$:

$$x(x + 1) = 2(x – 1)(x + 1).$$

Chuyển tất cả về vế trái:

$$x(x + 1) – 2(x – 1)(x + 1) = 0.$$

Đặt $(x + 1)$ làm nhân tử chung:

$$(x + 1)\big[x – 2(x – 1)\big] = 0 ;\Leftrightarrow; (x + 1)(x – 2x + 2) = 0 ;\Leftrightarrow; (x + 1)(-x + 2) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
• $-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = -1$ và $x = 2$.

Bài 2.27 trang 42

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{x}{x – 5} – \dfrac{2}{x + 5} = \dfrac{x^2}{x^2 – 25}$;

b) $\dfrac{1}{x + 1} – \dfrac{x}{x^2 – x + 1} = \dfrac{3}{x^3 + 1}$.

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức: $x^2 – 25 = (x – 5)(x + 5)$.

ĐKXĐ: $x – 5 \neq 0$ và $x + 5 \neq 0$, tức $x \neq 5$ và $x \neq -5$.

Quy đồng mẫu chung $(x – 5)(x + 5)$ và khử mẫu:

$$x(x + 5) – 2(x – 5) = x^2.$$

Khai triển:

$$x^2 + 5x – 2x + 10 = x^2 ;\Leftrightarrow; 3x + 10 = 0 ;\Leftrightarrow; x = -\dfrac{10}{3}.$$

Đối chiếu ĐKXĐ: $x = -\dfrac{10}{3}$ khác $5$ và $-5$, thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x = -\dfrac{10}{3}$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)$.

ĐKXĐ:

• $x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$.
• $x^2 – x + 1 = \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x$, nên luôn khác $0$.

Vậy ĐKXĐ là $x \neq -1$.

Quy đồng mẫu chung $(x + 1)(x^2 – x + 1)$ và khử mẫu:

$$(x^2 – x + 1) – x(x + 1) = 3.$$

Khai triển:

$$x^2 – x + 1 – x^2 – x = 3 ;\Leftrightarrow; -2x + 1 = 3 ;\Leftrightarrow; -2x = 2 ;\Leftrightarrow; x = -1.$$

Đối chiếu ĐKXĐ ($x \neq -1$): $x = -1$ không thoả mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2.28 trang 42

Đề bài: Cho $a < b$, hãy so sánh:

a) $a + b + 5$ với $2b + 5$;

b) $-2a – 3$ với $-(a + b) – 3$.

Lời giải:

a) Từ $a < b$, cộng $b$ vào hai vế (cùng chiều):

$$a + b < b + b ;\Leftrightarrow; a + b < 2b.$$

Cộng tiếp $5$ vào hai vế (cùng chiều):

$$a + b + 5 < 2b + 5.$$

b) Từ $a < b$, nhân hai vế với $-1$ (số âm, đổi chiều):

$$-a > -b.$$

Cộng $-a$ vào hai vế (cùng chiều):

$$-a + (-a) > -a + (-b) ;\Leftrightarrow; -2a > -a – b = -(a + b).$$

Cộng $-3$ vào hai vế (cùng chiều):

$$-2a – 3 > -(a + b) – 3.$$

Bài 2.29 trang 42

Đề bài: Giải các bất phương trình:

a) $2x + 3(x + 1) > 5x – (2x – 4)$;

b) $(x + 1)(2x – 1) < 2x^2 – 4x + 1$.

Lời giải:

a) Khai triển và bỏ ngoặc:

$$2x + 3x + 3 > 5x – 2x + 4 ;\Leftrightarrow; 5x + 3 > 3x + 4.$$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ về vế trái, hằng số về vế phải:

$$5x – 3x > 4 – 3 ;\Leftrightarrow; 2x > 1 ;\Leftrightarrow; x > \dfrac{1}{2}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > \dfrac{1}{2}$.

b) Khai triển vế trái:

$$(x + 1)(2x – 1) = 2x^2 – x + 2x – 1 = 2x^2 + x – 1.$$

Bất phương trình trở thành:

$$2x^2 + x – 1 < 2x^2 – 4x + 1.$$

Trừ $2x^2$ ở hai vế:

$$x – 1 < -4x + 1 ;\Leftrightarrow; x + 4x < 1 + 1 ;\Leftrightarrow; 5x < 2 ;\Leftrightarrow; x < \dfrac{2}{5}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < \dfrac{2}{5}$.

Bài 2.30 trang 42

Đề bài: Một hãng viễn thông nước ngoài có hai gói cước:

a) Hãy viết một phương trình xác định thời gian gọi (phút) mà phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau và giải phương trình đó.

b) Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là $180$ phút trong $1$ tháng thì nên dùng gói cước nào? Nếu khách hàng gọi $500$ phút trong $1$ tháng thì nên dùng gói cước nào?

Lời giải:

Cách tính cước cho mỗi gói. Gọi $x$ (phút) là thời gian gọi trong $1$ tháng ($x \geq 0$).

Gói A: Có $45$ phút miễn phí, ngoài ra mỗi phút thêm tính $0{,}4$ USD.

• Nếu $x \leq 45$: phí $= 32$ USD.
• Nếu $x > 45$: phí $= 32 + 0{,}4(x – 45)$ USD.

Gói B: Phí $= 44 + 0{,}25x$ USD.

a) Tìm $x$ để hai gói có phí bằng nhau.

Khi $x \leq 45$: phí A = $32 < 44 \leq 44 + 0{,}25x$ = phí B, hai gói không bằng nhau trong khoảng này.

Khi $x > 45$, lập phương trình:

$$32 + 0{,}4(x – 45) = 44 + 0{,}25x.$$

Khai triển vế trái: $32 + 0{,}4x – 18 = 14 + 0{,}4x$. Phương trình trở thành:

$$14 + 0{,}4x = 44 + 0{,}25x.$$

Chuyển vế:

$$0{,}4x – 0{,}25x = 44 – 14 ;\Leftrightarrow; 0{,}15x = 30 ;\Leftrightarrow; x = 200.$$

Vì $200 > 45$, thoả điều kiện. Vậy khi gọi đúng $200$ phút, phí của hai gói bằng nhau ($94$ USD).

b) Nên dùng gói nào?

Trường hợp gọi $180$ phút (lớn hơn $45$, nhỏ hơn $200$):

• Phí A $= 32 + 0{,}4 \cdot (180 – 45) = 32 + 54 = 86$ (USD).
• Phí B $= 44 + 0{,}25 \cdot 180 = 44 + 45 = 89$ (USD).

Vì $86 < 89$, nên dùng gói A.

Trường hợp gọi $500$ phút (lớn hơn $200$):

• Phí A $= 32 + 0{,}4 \cdot (500 – 45) = 32 + 182 = 214$ (USD).
• Phí B $= 44 + 0{,}25 \cdot 500 = 44 + 125 = 169$ (USD).

Vì $169 < 214$, nên dùng gói B.

Nhận xét chung: Nếu thời gian gọi dưới $200$ phút, dùng gói A rẻ hơn; nếu trên $200$ phút, dùng gói B rẻ hơn.

Bài 2.31 trang 43

Đề bài: Thanh tham dự một kì kiểm tra năng lực tiếng Anh gồm $4$ bài kiểm tra nghe, nói, đọc và viết. Mỗi bài kiểm tra có điểm là số nguyên từ $0$ đến $10$. Điểm trung bình của ba bài kiểm tra nghe, nói, đọc của Thanh là $6{,}7$. Hỏi bài kiểm tra viết của Thanh cần được bao nhiêu điểm để điểm trung bình cả $4$ bài kiểm tra được từ $7{,}0$ trở lên? Biết điểm trung bình được tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ nhất.

Lời giải:

Lập bất phương trình: Gọi $x$ là điểm bài kiểm tra viết của Thanh ($x \in \mathbb{Z}$, $0 \leq x \leq 10$).

Tổng điểm $3$ bài nghe, nói, đọc: $3 \cdot 6{,}7 = 20{,}1$.

Tổng điểm $4$ bài: $20{,}1 + x$.

Điểm trung bình $4$ bài: $\dfrac{20{,}1 + x}{4}$.

Yêu cầu điểm trung bình $\geq 7{,}0$:

$$\dfrac{20{,}1 + x}{4} \geq 7.$$

Giải bất phương trình: Nhân hai vế với $4$ (số dương):

$$20{,}1 + x \geq 28 ;\Leftrightarrow; x \geq 7{,}9.$$

Vì $x$ là số nguyên nên $x \geq 8$.

Kết luận: Bài kiểm tra viết của Thanh cần được ít nhất $8$ điểm.

Bài 2.32 trang 43

Đề bài: Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường, thầy thể dục đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném $15$ quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng $2$ điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ $1$ điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ $15$ điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

Lời giải:

Lập bất phương trình: Gọi $x$ là số quả bóng ném vào rổ ($x \in \mathbb{N}$, $0 \leq x \leq 15$). Khi đó số quả ném ra ngoài là $15 – x$.

Tổng điểm của học sinh:

$$2x – 1 \cdot (15 – x) = 2x – 15 + x = 3x – 15.$$

Để được chọn vào đội tuyển, tổng điểm phải từ $15$ trở lên:

$$3x – 15 \geq 15.$$

Giải bất phương trình:

$$3x \geq 15 + 15 ;\Leftrightarrow; 3x \geq 30 ;\Leftrightarrow; x \geq 10.$$

Kết luận: Học sinh phải ném ít nhất $10$ quả vào rổ thì mới được chọn vào đội tuyển.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du