A. Trắc nghiệm

Bài 8.12 trang 66

Đề bài: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xác suất để “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng $10$” là

A. $\dfrac{7}{36}$.

B. $\dfrac{2}{9}$.

C. $\dfrac{1}{6}$.

D. $\dfrac{5}{36}$.

Lời giải:

Không gian mẫu gồm $36$ cặp $(a, b)$ với $a, b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Vì hai xúc xắc cân đối, đồng chất nên các kết quả là đồng khả năng, $n(\Omega) = 36$.

Gọi $H$ là biến cố “Tổng số chấm $\ge 10$”. Liệt kê các cặp có tổng $\ge 10$:

• Tổng $= 10$: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ — $3$ cặp.
• Tổng $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ — $2$ cặp.
• Tổng $= 12$: $(6, 6)$ — $1$ cặp.

Tổng cộng: $n(H) = 3 + 2 + 1 = 6$.

$$P(H) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.$$

Đáp án: C.

Bài 8.13 trang 66

Đề bài: Có hai túi I và II. Túi I chứa $4$ tấm thẻ, đánh số $1; 2; 3; 4$. Túi II chứa $5$ tấm thẻ, đánh số $1; 2; 3; 4; 5$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi túi I và II. Xác suất để cả hai tấm thẻ rút ra đều ghi số chẵn là

A. $\dfrac{1}{5}$.

B. $\dfrac{3}{20}$.

C. $\dfrac{1}{4}$.

D. $\dfrac{4}{21}$.

Lời giải:

Không gian mẫu là tập các cặp $(a, b)$ với $a$ là số trên thẻ rút từ túi I ($a \in {1, 2, 3, 4}$), $b$ là số trên thẻ rút từ túi II ($b \in {1, 2, 3, 4, 5}$).

$n(\Omega) = 4 \times 5 = 20$. Vì rút ngẫu nhiên nên các kết quả là đồng khả năng.

Gọi $C$ là biến cố “Cả hai thẻ đều ghi số chẵn”:

• Số chẵn ở túi I: ${2, 4}$ — $2$ giá trị.
• Số chẵn ở túi II: ${2, 4}$ — $2$ giá trị.

Số kết quả thuận lợi: $n(C) = 2 \times 2 = 4$.

$$P(C) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}.$$

Đáp án: A.

Bài 8.14 trang 66

Đề bài: Một túi đựng $4$ viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số $1; 2; 3; 4$. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi. Xác suất để tích hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn $3$ là

A. $\dfrac{5}{7}$.

B. $\dfrac{2}{3}$.

C. $\dfrac{3}{4}$.

D. $\dfrac{5}{6}$.

Lời giải:

Không gian mẫu. Lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ $4$ viên — mỗi kết quả là một cặp ${a, b}$ với $a \ne b$ (không phân biệt thứ tự lấy). Liệt kê tất cả các cặp:

$${1, 2};\ {1, 3};\ {1, 4};\ {2, 3};\ {2, 4};\ {3, 4}.$$

$n(\Omega) = 6$, các kết quả đồng khả năng.

Gọi $T$ là biến cố “Tích hai số lớn hơn $3$”. Tính tích cho từng cặp:

• ${1, 2}$: $1 \cdot 2 = 2$ — không.
• ${1, 3}$: $1 \cdot 3 = 3$ — không (không lớn hơn $3$, mà bằng).
• ${1, 4}$: $1 \cdot 4 = 4$ ✓
• ${2, 3}$: $2 \cdot 3 = 6$ ✓
• ${2, 4}$: $2 \cdot 4 = 8$ ✓
• ${3, 4}$: $3 \cdot 4 = 12$ ✓

Có $n(T) = 4$ kết quả thuận lợi.

$$P(T) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$$

Đáp án: B.

B. Tự luận

Bài 8.15 trang 66

Đề bài: Có hai túi I và II. Túi I chứa $3$ tấm thẻ, đánh số $2; 3; 4$. Túi II chứa $2$ tấm thẻ, đánh số $5; 6$. Từ mỗi túi I và II, rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:

• $A$: “Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau $2$ đơn vị”;
• $B$: “Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau lớn hơn $2$ đơn vị”;
• $C$: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”;
• $D$: “Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số nguyên tố”.

Lời giải:

Mô tả không gian mẫu. Kết quả là cặp $(a, b)$ với $a$ là số trên thẻ rút từ túi I ($a \in {2, 3, 4}$), $b$ là số trên thẻ rút từ túi II ($b \in {5, 6}$).

Lập bảng:

Không gian mẫu:

$$\Omega = {(2, 5); (2, 6); (3, 5); (3, 6); (4, 5); (4, 6)}.$$

$n(\Omega) = 3 \times 2 = 6$. Vì rút thẻ ngẫu nhiên nên các kết quả là đồng khả năng.

a) Biến cố $A$: “Hai số chênh nhau $2$ đơn vị” — tức $|a – b| = 2$.

Tính $|a – b|$ cho từng cặp:

• $(2, 5)$: $|2 – 5| = 3$ — không.
• $(2, 6)$: $4$ — không.
• $\mathbf{(3, 5)}$: $2$ ✓
• $(3, 6)$: $3$ — không.
• $(4, 5)$: $1$ — không.
• $\mathbf{(4, 6)}$: $2$ ✓

Có $n(A) = 2$ kết quả thuận lợi.

$$P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$$

b) Biến cố $B$: “Hai số chênh nhau lớn hơn $2$ đơn vị” — tức $|a – b| > 2$.

• $\mathbf{(2, 5)}$: $3 > 2$ ✓
• $\mathbf{(2, 6)}$: $4 > 2$ ✓
• $(3, 5)$: $2$ — không.
• $\mathbf{(3, 6)}$: $3 > 2$ ✓
• $(4, 5)$: $1$ — không.
• $(4, 6)$: $2$ — không.

Có $n(B) = 3$ kết quả thuận lợi.

$$P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.$$

c) Biến cố $C$: “Tích hai số là số chẵn”.

Quan sát: tích $a \cdot b$ là số chẵn khi $a$ hoặc $b$ chẵn (chỉ cần một trong hai chẵn). Tính tích:

• $\mathbf{(2, 5)}$: $10$ ✓
• $\mathbf{(2, 6)}$: $12$ ✓
• $(3, 5)$: $15$ — lẻ, không.
• $\mathbf{(3, 6)}$: $18$ ✓
• $\mathbf{(4, 5)}$: $20$ ✓
• $\mathbf{(4, 6)}$: $24$ ✓

Có $n(C) = 5$ kết quả thuận lợi.

$$P(C) = \dfrac{5}{6}.$$

d) Biến cố $D$: “Tổng hai số là số nguyên tố”.

Tính tổng $a + b$:

• $\mathbf{(2, 5)}$: $7$ — nguyên tố ✓
• $(2, 6)$: $8 = 2^3$ — không.
• $(3, 5)$: $8$ — không.
• $(3, 6)$: $9 = 3^2$ — không.
• $(4, 5)$: $9$ — không.
• $(4, 6)$: $10 = 2 \cdot 5$ — không.

Có $n(D) = 1$ kết quả thuận lợi.

$$P(D) = \dfrac{1}{6}.$$

Bài 8.16 trang 66

Đề bài: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố sau:

• $E$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $11$”;
• $F$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $8$ hoặc $9$”;
• $G$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn $6$”.

Lời giải:

Không gian mẫu. Kết quả là cặp $(a, b)$ với $a, b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$. $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. Hai xúc xắc cân đối, đồng chất nên các kết quả là đồng khả năng.

a) Biến cố $E$: “Tổng bằng $11$”.

Liệt kê: $(5, 6); (6, 5)$ — có $n(E) = 2$.

$$P(E) = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}.$$

b) Biến cố $F$: “Tổng bằng $8$ hoặc $9$”.

• Tổng $= 8$: $(2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2)$ — $5$ cặp.
• Tổng $= 9$: $(3, 6); (4, 5); (5, 4); (6, 3)$ — $4$ cặp.

Tổng: $n(F) = 5 + 4 = 9$.

$$P(F) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}.$$

c) Biến cố $G$: “Tổng nhỏ hơn $6$” — tức tổng $\in {2, 3, 4, 5}$.

• Tổng $= 2$: $(1, 1)$ — $1$ cặp.
• Tổng $= 3$: $(1, 2); (2, 1)$ — $2$ cặp.
• Tổng $= 4$: $(1, 3); (2, 2); (3, 1)$ — $3$ cặp.
• Tổng $= 5$: $(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)$ — $4$ cặp.

Tổng: $n(G) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

$$P(G) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}.$$

Bài 8.17 trang 66

Đề bài: Hai bạn Minh và Huy chơi một trò chơi như sau: Minh chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp ${5; 6; 7; 8; 9; 10}$; Huy chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp ${4; 5; 7; 8; 9; 11}$. Bạn nào chọn được số lớn hơn sẽ là người thắng cuộc. Nếu hai số chọn được bằng nhau thì kết quả là hoà. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $A$: “Bạn Minh thắng”;

b) $B$: “Bạn Huy thắng”.

Lời giải:

Không gian mẫu. Kết quả là cặp $(m, h)$ với $m$ là số Minh chọn ($m \in {5; 6; 7; 8; 9; 10}$), $h$ là số Huy chọn ($h \in {4; 5; 7; 8; 9; 11}$).

$n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. Vì hai bạn chọn ngẫu nhiên nên các kết quả là đồng khả năng.

a) Biến cố $A$: “Minh thắng” — tức $m > h$.

Với mỗi giá trị của $m$, đếm số giá trị $h$ thoả $h < m$ (lưu ý $h$ chỉ lấy từ tập ${4; 5; 7; 8; 9; 11}$):

• $m = 5$: $h < 5 \Rightarrow h \in {4}$ — $1$ giá trị.
• $m = 6$: $h < 6 \Rightarrow h \in {4; 5}$ — $2$ giá trị.
• $m = 7$: $h < 7 \Rightarrow h \in {4; 5}$ — $2$ giá trị.
• $m = 8$: $h < 8 \Rightarrow h \in {4; 5; 7}$ — $3$ giá trị.
• $m = 9$: $h < 9 \Rightarrow h \in {4; 5; 7; 8}$ — $4$ giá trị.
• $m = 10$: $h < 10 \Rightarrow h \in {4; 5; 7; 8; 9}$ — $5$ giá trị.

Tổng số kết quả thuận lợi: $n(A) = 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 = 17$.

$$P(A) = \dfrac{17}{36}.$$

b) Biến cố $B$: “Huy thắng” — tức $h > m$.

Làm tương tự, với mỗi $m$, đếm số $h$ thoả $h > m$:

• $m = 5$: $h > 5 \Rightarrow h \in {7; 8; 9; 11}$ — $4$ giá trị.
• $m = 6$: $h > 6 \Rightarrow h \in {7; 8; 9; 11}$ — $4$ giá trị.
• $m = 7$: $h > 7 \Rightarrow h \in {8; 9; 11}$ — $3$ giá trị.
• $m = 8$: $h > 8 \Rightarrow h \in {9; 11}$ — $2$ giá trị.
• $m = 9$: $h > 9 \Rightarrow h \in {11}$ — $1$ giá trị.
• $m = 10$: $h > 10 \Rightarrow h \in {11}$ — $1$ giá trị.

Tổng số kết quả thuận lợi: $n(B) = 4 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 15$.

$$P(B) = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}.$$

Nhận xét nhỏ: Số trận hoà ($m = h$) xảy ra khi $m \in {5; 7; 8; 9}$ — có $4$ kết quả. Kiểm tra: $17 + 15 + 4 = 36$ ✓ (khớp với $n(\Omega)$).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du