Bài 10.11 trang 106
Đề bài: Cho một hình trụ có đường kính của đáy bằng với chiều cao và có thể tích bằng $2\pi$ cm³.
a) Tính chiều cao của hình trụ.
b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ trên.
Lời giải:
a) Tính chiều cao.
Gọi $d$ là đường kính đáy, $h$ là chiều cao của hình trụ. Theo đề bài $d = h$, nên bán kính đáy:
$$R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{h}{2}.$$
Thể tích hình trụ:
$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot \left(\dfrac{h}{2}\right)^2 \cdot h = \dfrac{\pi h^3}{4}.$$
Theo đề bài $V = 2\pi$, ta có:
$$\dfrac{\pi h^3}{4} = 2\pi ;;\Rightarrow;; h^3 = 8 ;;\Rightarrow;; h = 2 \text{ (cm)}.$$
Vậy chiều cao hình trụ là $2$ cm.
b) Tính diện tích toàn phần.
Bán kính đáy: $R = \dfrac{h}{2} = 1$ cm.
Diện tích xung quanh:
$$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 = 4\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Diện tích hai đáy (2 hình tròn bán kính $R$):
$$S_{2\text{đáy}} = 2 \cdot \pi R^2 = 2\pi \cdot 1^2 = 2\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Diện tích toàn phần:
$$S_{tp} = S_{xq} + S_{2\text{đáy}} = 4\pi + 2\pi = 6\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là $6\pi$ cm².
Bài 10.12 trang 107
Đề bài: Một vòng bi bằng thép (phần thép giữa hai hình trụ) có hình dạng và kích thước như Hình 10.30. Tính thể tích của vòng bi đó.
Lời giải:
Thể tích vòng bi = thể tích hình trụ ngoài − thể tích hình trụ trong.
Thể tích hình trụ ngoài ($R_1 = 7$ cm, $h = 10$ cm):
$$V_1 = \pi R_1^2 h = \pi \cdot 7^2 \cdot 10 = 490\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Thể tích hình trụ trong ($R_2 = 5$ cm, $h = 10$ cm):
$$V_2 = \pi R_2^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Thể tích vòng bi:
$$V = V_1 – V_2 = 490\pi – 250\pi = 240\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy thể tích vòng bi là $240\pi$ cm³.
Bài 10.13 trang 107
Đề bài: Chiếc mũ của chú hề với các kích thước như Hình 10.31. Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm chiếc mũ (coi mép khâu không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng phần mười của cm²).
Lời giải:
Bước 1: Tính bán kính đáy hình nón.
Đường kính ngoài vành mũ là $35$ cm → bán kính ngoài $R = \dfrac{35}{2} = 17{,}5$ cm.
Vành mũ rộng $10$ cm, nên bán kính đáy hình nón (= bán kính trong vành mũ):
$$r = R – 10 = 17{,}5 – 10 = 7{,}5 \text{ (cm)}.$$
Bước 2: Diện tích xung quanh hình nón (với $r = 7{,}5$ cm, đường sinh $l = 30$ cm):
$$S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 7{,}5 \cdot 30 = 225\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Bước 3: Diện tích vành mũ (= diện tích hình tròn ngoài − diện tích hình tròn trong):
$$S_1 = \pi R^2 – \pi r^2 = \pi \cdot 17{,}5^2 – \pi \cdot 7{,}5^2 = \pi (306{,}25 – 56{,}25) = 250\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Bước 4: Tổng diện tích vải cần dùng:
$$S = S_{xq} + S_1 = 225\pi + 250\pi = 475\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Tính giá trị xấp xỉ (lấy $\pi \approx 3{,}14$):
$$S \approx 475 \cdot 3{,}14 \approx 1\,491{,}5 \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Lấy $\pi$ chính xác hơn: $S \approx 1\,492{,}3$ cm².
Vậy tổng diện tích vải cần để làm chiếc mũ khoảng $1\,492{,}3$ cm².
Bài 10.14 trang 107
Đề bài: Người ta nhấn chìm hoàn toàn $5$ viên bi có dạng hình cầu vào một chiếc cốc hình trụ đựng đầy nước, mỗi viên bi có đường kính $2$ cm. Tính lượng nước tràn ra khỏi cốc.
Lời giải:
Khi nhấn chìm các viên bi vào cốc nước đã đầy, lượng nước tràn ra đúng bằng tổng thể tích các viên bi.
Bước 1: Bán kính mỗi viên bi.
Đường kính $2$ cm → $R = \dfrac{2}{2} = 1$ cm.
Bước 2: Thể tích một viên bi.
$$V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \dfrac{4\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Bước 3: Tổng thể tích 5 viên bi (= lượng nước tràn ra).
$$V = 5 \cdot V_1 = 5 \cdot \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{20\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy lượng nước tràn ra khỏi cốc là $\dfrac{20\pi}{3}$ cm³.
Bài 10.15 trang 107
Đề bài: Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu có đường kính bằng $1{,}8$ m và một hình trụ có chiều cao bằng $3{,}6$ m (H.10.32). Tính thể tích của bồn chứa xăng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của m³).
Lời giải:
Theo Hình 10.32: hình trụ ở giữa, mỗi đầu được “chụp” một nửa hình cầu. Đường kính nửa hình cầu = đường kính đáy hình trụ = $1{,}8$ m → bán kính:
$$R = \dfrac{1{,}8}{2} = 0{,}9 \text{ (m)}.$$
Bước 1: Thể tích hai nửa hình cầu (= 1 hình cầu nguyên).
$$V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot (0{,}9)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 0{,}729 = 0{,}972\pi \text{ (m}^3\text{)}.$$
Bước 2: Thể tích hình trụ ($R = 0{,}9$ m, $h = 3{,}6$ m):
$$V_2 = \pi R^2 h = \pi \cdot (0{,}9)^2 \cdot 3{,}6 = \pi \cdot 0{,}81 \cdot 3{,}6 = 2{,}916\pi \text{ (m}^3\text{)}.$$
Bước 3: Tổng thể tích bồn xăng:
$$V = V_1 + V_2 = 0{,}972\pi + 2{,}916\pi = 3{,}888\pi \text{ (m}^3\text{)}.$$
Tính giá trị xấp xỉ:
$$V \approx 3{,}888 \cdot 3{,}14159 \approx 12{,}21 \text{ (m}^3\text{)}.$$
Vậy thể tích bồn chứa xăng khoảng $12{,}21$ m³.
Bài 10.16 trang 107
Đề bài: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $50$ cm $\times 240$ cm, người ta làm mặt xung quanh của các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng $50$ cm, theo hai cách sau (H.10.33):
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng nước hình trụ.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm hình chữ nhật bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu $V_1$ là thể tích thùng theo Cách 1 và $V_2$ là tổng thể tích hai thùng theo Cách 2. Tính tỉ số $\dfrac{V_1}{V_2}$.
Lời giải:
Cả hai cách đều có cùng chiều cao thùng $h = 50$ cm. Khi gò tấm tôn thành mặt xung quanh hình trụ, cạnh còn lại của tấm tôn chính là chu vi đáy của thùng.
Cách 1: Cả tấm tôn $50 \times 240$ gò thành 1 thùng.
Chu vi đáy: $2\pi R_1 = 240$ → $R_1 = \dfrac{120}{\pi}$ cm.
$$V_1 = \pi R_1^2 \cdot h = \pi \cdot \left(\dfrac{120}{\pi}\right)^2 \cdot 50 = \pi \cdot \dfrac{14\,400}{\pi^2} \cdot 50 = \dfrac{720\,000}{\pi} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Cách 2: Cắt thành 2 tấm $50 \times 120$, gò mỗi tấm thành 1 thùng.
Chu vi đáy mỗi thùng: $2\pi R_2 = 120$ → $R_2 = \dfrac{60}{\pi}$ cm.
Thể tích mỗi thùng:
$$V_{\text{mỗi thùng}} = \pi R_2^2 \cdot h = \pi \cdot \left(\dfrac{60}{\pi}\right)^2 \cdot 50 = \pi \cdot \dfrac{3\,600}{\pi^2} \cdot 50 = \dfrac{180\,000}{\pi} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Tổng thể tích 2 thùng:
$$V_2 = 2 \cdot \dfrac{180\,000}{\pi} = \dfrac{360\,000}{\pi} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Tính tỉ số:
$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{720\,000/\pi}{360\,000/\pi} = \dfrac{720\,000}{360\,000} = 2.$$
Vậy $\dfrac{V_1}{V_2} = 2$.
💡 Nhận xét: Cùng dùng một lượng tôn như nhau, nhưng gò thành 1 thùng lớn (Cách 1) sẽ chứa được gấp đôi so với gò thành 2 thùng nhỏ (Cách 2). Đây là một ứng dụng thú vị trong thực tế!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du