Bài tập

Bài 6.16 trang 19

Đề bài: Biết rằng parabol $y = ax^2$ ($a \neq 0$) đi qua điểm $A\left(2;\ 4\sqrt{3}\right)$.

a) Tìm hệ số $a$ và vẽ đồ thị của hàm số $y = ax^2$ với $a$ vừa tìm được.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x = -1$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y = 5\sqrt{3}$.

Lời giải:

a) Tìm hệ số $a$.

Vì parabol đi qua $A\left(2;\ 4\sqrt{3}\right)$, thay $x = 2$ và $y = 4\sqrt{3}$ vào $y = ax^2$:

$$4\sqrt{3} = a \cdot 2^2 = 4a ;\Leftrightarrow; a = \sqrt{3}.$$

Vậy hàm số là $y = \sqrt{3},x^2$.

Vẽ đồ thị: Lập bảng giá trị:

Biểu diễn các điểm $\left(0;\ 0\right)$, $\left(\pm 1;\ \sqrt{3}\right)$, $\left(\pm 2;\ 4\sqrt{3}\right)$ trên mặt phẳng toạ độ rồi nối lại bằng đường cong trơn.

Vì $a = \sqrt{3} > 0$, đồ thị nằm phía trên trục hoành, đỉnh là gốc $O$, đối xứng qua trục $Oy$.

b) Tung độ tại $x = -1$.

Thay $x = -1$ vào $y = \sqrt{3},x^2$:

$$y = \sqrt{3} \cdot (-1)^2 = \sqrt{3}.$$

Vậy tung độ của điểm có hoành độ $x = -1$ là $y = \sqrt{3}$.

c) Các điểm có tung độ $y = 5\sqrt{3}$.

Đặt $y = 5\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3},x^2 = 5\sqrt{3} ;\Leftrightarrow; x^2 = 5 ;\Leftrightarrow; x = \sqrt{5} \text{ hoặc } x = -\sqrt{5}.$$

Vậy có hai điểm thuộc parabol có tung độ $5\sqrt{3}$ là $\left(\sqrt{5};\ 5\sqrt{3}\right)$ và $\left(-\sqrt{5};\ 5\sqrt{3}\right)$. Hai điểm này đối xứng với nhau qua trục $Oy$.

Bài 6.17 trang 20

Đề bài: Công thức $E = \dfrac{1}{2}mv^2$ (J) được dùng để tính động năng của một vật có khối lượng $m$ (kg) khi chuyển động với vận tốc $v$ (m/s).

a) Giả sử một quả bóng có khối lượng $2$ kg đang bay với vận tốc $6$ m/s. Tính động năng của quả bóng đó.

b) Giả sử động năng của quả bóng đang bay có khối lượng $1{,}5$ kg là $48$ J, hãy tính vận tốc bay của quả bóng đó.

Lời giải:

a) Thay $m = 2$ kg và $v = 6$ m/s vào công thức:

$$E = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 36 = 36 \ (\text{J}).$$

Vậy động năng của quả bóng là $36$ J.

b) Thay $m = 1{,}5$ kg và $E = 48$ J vào công thức, tìm $v$:

$$48 = \dfrac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot v^2 ;\Leftrightarrow; 48 = 0{,}75 v^2 ;\Leftrightarrow; v^2 = 64.$$

Suy ra $v = 8$ hoặc $v = -8$. Vì vận tốc $v > 0$, chọn $v = 8$ (m/s).

Vậy vận tốc bay của quả bóng là $8$ m/s.

Bài 6.18 trang 20

Đề bài: Cho hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh $a$ (cm) và chiều cao $10$ cm.

a) Tính diện tích đáy $S$ của hình chóp theo $a$.

b) Từ kết quả ở câu a, tính thể tích $V$ của hình chóp theo $a$ và tính giá trị của $V$ khi $a = 4$ cm.

c) Nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp thay đổi thế nào?

Lời giải:

a) Tam giác đều cạnh $a$ có diện tích:

$$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \ (\text{cm}^2).$$

b) Thể tích hình chóp:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot 10 = \dfrac{10 a^2 \sqrt{3}}{12} = \dfrac{5 a^2 \sqrt{3}}{6} \ (\text{cm}^3).$$

Khi $a = 4$ cm:

$$V = \dfrac{5 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{3}}{6} = \dfrac{80\sqrt{3}}{6} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3} \ (\text{cm}^3) \approx 23{,}09 \ (\text{cm}^3).$$

c) Khi cạnh đáy giảm đi hai lần, cạnh mới là $\dfrac{a}{2}$. Thể tích mới:

$$V’ = \dfrac{5 \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \sqrt{3}}{6} = \dfrac{5 \cdot \dfrac{a^2}{4} \cdot \sqrt{3}}{6} = \dfrac{5 a^2 \sqrt{3}}{24} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5 a^2 \sqrt{3}}{6} = \dfrac{V}{4}.$$

Vậy thể tích hình chóp giảm đi $4$ lần.

Bài 6.19 trang 20

Đề bài: Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn, giải các phương trình sau:

a) $x^2 – 2\sqrt{5},x + 1 = 0$;

b) $3x^2 – 9x + 3 = 0$;

c) $11x^2 – 13x + 5 = 0$;

d) $2x^2 + 2\sqrt{6},x + 3 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 1,\ b = -2\sqrt{5}$ nên $b’ = -\sqrt{5}$; $c = 1$. Dùng công thức nghiệm thu gọn:

$$\Delta’ = (-\sqrt{5})^2 – 1 \cdot 1 = 5 – 1 = 4 > 0.$$

$\sqrt{\Delta’} = 2$. Hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{1} = \sqrt{5} + 2, \quad x_2 = \sqrt{5} – 2.$$

b) Chia cả hai vế cho $3$: $x^2 – 3x + 1 = 0$. Có $a = 1,\ b = -3,\ c = 1$.

$$\Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 – 4 = 5 > 0.$$

Hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \dfrac{3 – \sqrt{5}}{2}.$$

c) $a = 11,\ b = -13,\ c = 5$.

$$\Delta = (-13)^2 – 4 \cdot 11 \cdot 5 = 169 – 220 = -51 < 0.$$

Phương trình vô nghiệm.

d) $a = 2,\ b = 2\sqrt{6}$ nên $b’ = \sqrt{6}$; $c = 3$. Dùng công thức nghiệm thu gọn:

$$\Delta’ = (\sqrt{6})^2 – 2 \cdot 3 = 6 – 6 = 0.$$

Phương trình có nghiệm kép:

$$x_1 = x_2 = -\dfrac{b’}{a} = -\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$$

Bài 6.20 trang 20

Đề bài: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm gần đúng của các phương trình sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $\sqrt{2},x^2 – \sqrt{5},x – 1 = 0$;

b) $x^2 – \left(\sqrt{3} – 1\right)x – \sqrt{7} = 0$.

Lời giải:

Sử dụng MTCT (chế độ giải phương trình bậc hai: MODE → 5 → 3), nhập lần lượt các hệ số $a$, $b$, $c$.

a) Nhập $a = \sqrt{2},\ b = -\sqrt{5},\ c = -1$.

Kiểm tra biệt thức: $\Delta = (-\sqrt{5})^2 – 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (-1) = 5 + 4\sqrt{2} > 0$ → có hai nghiệm phân biệt.

MTCT cho hai nghiệm xấp xỉ:

$$x_1 \approx 1{,}94, \quad x_2 \approx -0{,}36.$$

b) Nhập $a = 1,\ b = -(\sqrt{3} – 1) = 1 – \sqrt{3},\ c = -\sqrt{7}$.

Kiểm tra biệt thức: $\Delta = (\sqrt{3} – 1)^2 + 4\sqrt{7} > 0$ → có hai nghiệm phân biệt.

MTCT cho hai nghiệm xấp xỉ:

$$x_1 \approx 2{,}03, \quad x_2 \approx -1{,}30.$$

Bài 6.21 trang 20

Đề bài: Từ một tấm tôn hình vuông, người ta cắt bỏ bốn hình vuông có độ dài cạnh $8$ cm ở bốn góc, sau đó gập thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và có thể tích bằng $200$ cm³. Tính độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu.

Lời giải:

Bước 1: Đặt ẩn. Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu, điều kiện $x > 16$ (để sau khi cắt bốn hình vuông cạnh $8$ cm ở bốn góc thì phần còn lại đủ để gập thành thùng).

Bước 2: Lập phương trình. Sau khi cắt bốn hình vuông ở bốn góc và gập lên, ta được hình hộp chữ nhật có:

• Đáy là hình vuông cạnh $x – 16$ (cm) (mỗi chiều của tấm tôn bị mất đi $8 + 8 = 16$ cm ở hai đầu).
• Chiều cao bằng $8$ cm (chính là độ dài cạnh hình vuông đã cắt).

Thể tích:

$$V = (x – 16)^2 \cdot 8 = 200 ;\Leftrightarrow; (x – 16)^2 = 25.$$

Bước 3: Giải phương trình.

$$x – 16 = 5 \text{ hoặc } x – 16 = -5.$$

Suy ra $x = 21$ hoặc $x = 11$.

Đối chiếu điều kiện $x > 16$:

• $x = 21$: nhận.
• $x = 11$: loại (vì $11 < 16$, không thể cắt bốn hình vuông cạnh $8$ cm ở bốn góc).

Kết luận: Độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu là $21$ cm.

Kiểm tra: đáy thùng $= (21 – 16)^2 = 25$ cm², thể tích $= 25 \cdot 8 = 200$ cm³ ✓.

Bài 6.22 trang 20

Đề bài: Giả sử doanh thu (nghìn đồng) của một cửa hàng bán phở trong một ngày có thể mô hình hoá bằng công thức $R(x) = x(220 – 4x)$ với $30 \leq x \leq 50$, trong đó $x$ (nghìn đồng) là giá tiền của một bát phở. Nếu muốn doanh thu trong ngày của cửa hàng đạt $3$ triệu đồng thì giá bán của mỗi bát phở phải là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình. $3$ triệu đồng $= 3000$ nghìn đồng. Ta cần tìm $x$ sao cho $R(x) = 3000$:

$$x(220 – 4x) = 3000 ;\Leftrightarrow; 220x – 4x^2 = 3000 ;\Leftrightarrow; 4x^2 – 220x + 3000 = 0.$$

Chia cả hai vế cho $4$:

$$x^2 – 55x + 750 = 0.$$

Bước 2: Giải phương trình bậc hai.

Có $a = 1,\ b = -55,\ c = 750$.

$$\Delta = (-55)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 750 = 3025 – 3000 = 25 > 0.$$

$\sqrt{\Delta} = 5$. Hai nghiệm:

$$x_1 = \dfrac{55 + 5}{2} = 30, \quad x_2 = \dfrac{55 – 5}{2} = 25.$$

Bước 3: Đối chiếu điều kiện $30 \leq x \leq 50$.

• $x_1 = 30$: thoả mãn → nhận.
• $x_2 = 25$: không thoả mãn (vì $25 < 30$) → loại.

Kết luận: Để doanh thu trong ngày đạt $3$ triệu đồng, giá bán của mỗi bát phở phải là $30$ nghìn đồng.

Kiểm tra: $R(30) = 30 \cdot (220 – 120) = 30 \cdot 100 = 3000$ (nghìn đồng) $= 3$ triệu đồng ✓.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du