Bài tập (trang 80)

Bài 4.14 trang 80

Đề bài: Một cuốn sách khổ $17 \times 24$ cm, tức là chiều rộng $17$ cm, chiều dài $24$ cm. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường chéo và cạnh $17$ cm. Tính $\sin \alpha, \cos \alpha$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) và tính số đo $\alpha$ (làm tròn đến độ).

Lời giải:

Xét hình chữ nhật $ABCD$ với $AB = 17$ cm, $BC = 24$ cm. Đường chéo $AC$ tạo cùng cạnh $AB$ tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Tính đường chéo $AC$. Theo định lí Pythagore:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 17^2 + 24^2 = 289 + 576 = 865.$$

Suy ra $AC = \sqrt{865} \approx 29{,}41$.

Tính $\sin \alpha, \cos \alpha$. Đối với góc $\alpha = \widehat{BAC}$, cạnh đối là $BC = 24$, cạnh kề là $AB = 17$, cạnh huyền là $AC$:

$$\sin \alpha = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{24}{\sqrt{865}} \approx 0{,}82;$$

$$\cos \alpha = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{17}{\sqrt{865}} \approx 0{,}58.$$

Tính $\alpha$. Dùng $\tan \alpha = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{24}{17} \approx 1{,}4118$, MTCT cho:

$$\alpha \approx 54{,}69^\circ \approx 55^\circ.$$

Bài 4.15 trang 80

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có chân đường cao $AH$ nằm giữa $B$ và $C$. Biết $HB = 3$ cm, $HC = 6$ cm, $\widehat{HAC} = 60^\circ$. Hãy tính độ dài các cạnh (làm tròn đến cm), số đo các góc của tam giác $ABC$ (làm tròn đến độ).

Lời giải:

Vì $AH$ là đường cao nên $AH \perp BC$, hai tam giác $AHB, AHC$ đều vuông tại $H$.

Bước 1: Tính $AH$ và $AC$ trong $\triangle AHC$.

Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$, xét góc $\widehat{HAC} = 60^\circ$, cạnh đối là $HC = 6$, cạnh kề là $AH$:

$$\tan \widehat{HAC} = \dfrac{HC}{AH} \Rightarrow AH = \dfrac{HC}{\tan 60^\circ} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \text{ (cm)}.$$

Tính $AC$ từ $\sin \widehat{HAC} = \dfrac{HC}{AC}$:

$$AC = \dfrac{HC}{\sin 60^\circ} = \dfrac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 \approx 7 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tính $AB$ và $BC$.

Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pythagore:

$$AB = \sqrt{HB^2 + AH^2} = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 12} = \sqrt{21} \approx 4{,}58 \approx 5 \text{ (cm)}.$$

Cạnh $BC = HB + HC = 3 + 6 = 9$ (cm).

Bước 3: Tính các góc của tam giác $ABC$.

Góc $C$: trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$, $\widehat{C} = 90^\circ – \widehat{HAC} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ$.

Góc $B$: trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, xét góc $B$:

$$\tan B = \dfrac{AH}{HB} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}1547 \Rightarrow \widehat{B} \approx 49^\circ.$$

Góc $A$: $\widehat{A} = 180^\circ – \widehat{B} – \widehat{C} \approx 180^\circ – 49^\circ – 30^\circ = 101^\circ$.

Kết luận:

• Các cạnh: $AB \approx 5$ cm, $AC \approx 7$ cm, $BC = 9$ cm.
• Các góc: $\widehat{A} \approx 101^\circ$, $\widehat{B} \approx 49^\circ$, $\widehat{C} = 30^\circ$.

Bài 4.16 trang 80

Đề bài: Tìm chiều rộng $d$ của dòng sông trong Hình 4.27 (làm tròn đến m). (Trên hình: đoạn dọc theo bờ sông dài $50$ m, hai góc $40^\circ$ ở hai bờ là so le trong.)

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta xét tam giác vuông tạo bởi đường chéo, bờ sông và chiều rộng dòng sông. Góc nhọn kề với chiều rộng là $40^\circ$ (so le trong với góc $40^\circ$ ở bờ bên kia). Đoạn bờ sông đối diện với góc $40^\circ$ dài $50$ m.

Theo định nghĩa tang:

$$\tan 40^\circ = \dfrac{d}{50} \Rightarrow d = 50 \cdot \tan 40^\circ.$$

Dùng MTCT: $\tan 40^\circ \approx 0{,}8391$, do đó:

$$d \approx 50 \cdot 0{,}8391 \approx 41{,}95 \approx 42 \text{ (m)}.$$

Vậy chiều rộng dòng sông khoảng $42$ m.

Bài 4.17 trang 80

Đề bài: Tính các số liệu còn thiếu (dấu “?”) ở Hình 4.28, với góc làm tròn đến độ, với độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

Lời giải:

Hình a) — Tam giác vuông biết một cạnh góc vuông $3$ và góc $40^\circ$, cần tính cạnh đối của góc đó.

Đối với góc $40^\circ$: cạnh kề $= 3$, cạnh đối $=\ ?$. Theo định nghĩa tang:

$$? = 3 \cdot \tan 40^\circ \approx 3 \cdot 0{,}8391 \approx 2{,}5.$$

Hình b) — Tam giác vuông biết cạnh huyền $10$, cạnh đối của góc “?” là $7$.

Theo định nghĩa sin:

$$\sin ? = \dfrac{7}{10} = 0{,}7.$$

Dùng MTCT: $? \approx 44{,}43^\circ \approx 44^\circ$.

Hình c) — Tam giác vuông biết hai cạnh góc vuông: cạnh kề $5$, cạnh đối $7$.

Theo định nghĩa tang:

$$\tan ? = \dfrac{7}{5} = 1{,}4.$$

Dùng MTCT: $? \approx 54{,}46^\circ \approx 54^\circ$.

Hình d) — Hai tam giác vuông cùng có góc $35^\circ$, cạnh huyền lần lượt là $3$ (tam giác nhỏ) và $3 + 2 = 5$ (tam giác lớn). Cần tính cạnh đối của góc $35^\circ$ trong cả hai tam giác.

Xét tam giác nhỏ (cạnh huyền $3$): cạnh đối của góc $35^\circ$ là đoạn ngắn:

$$? = 3 \cdot \sin 35^\circ \approx 3 \cdot 0{,}5736 \approx 1{,}7.$$

Xét tam giác lớn (cạnh huyền $5$): cạnh đối của góc $35^\circ$ là đoạn dài:

$$? = 5 \cdot \sin 35^\circ \approx 5 \cdot 0{,}5736 \approx 2{,}9.$$

Bài 4.18 trang 80

Đề bài: Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai địa điểm $A, B$ ở hai bên hồ nước. Biết rằng các khoảng cách từ một điểm $C$ đến $A$ và đến $B$ là $CA = 90$ m, $CB = 150$ m và $\widehat{ACB} = 120^\circ$ (H.4.29). Hãy tính $AB$ giúp bạn.

Lời giải:

Bước 1: Dựng đường phụ. Kẻ $AH$ vuông góc với đường thẳng $BC$ tại $H$. Vì $\widehat{ACB} = 120^\circ$ là góc tù nên $H$ nằm trên tia đối của tia $CB$ (ngoài đoạn $BC$). Khi đó:

$$\widehat{ACH} = 180^\circ – \widehat{ACB} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ.$$

Bước 2: Tính $AH$ và $CH$ trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$.

Đối với góc $\widehat{ACH} = 60^\circ$, cạnh huyền là $AC = 90$:

$$AH = AC \cdot \sin 60^\circ = 90 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3} \approx 77{,}94 \text{ (m)};$$

$$CH = AC \cdot \cos 60^\circ = 90 \cdot \dfrac{1}{2} = 45 \text{ (m)}.$$

Bước 3: Tính $AB$ trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$.

Vì $H$ nằm trên tia đối của tia $CB$ nên $BH = BC + CH = 150 + 45 = 195$ (m).

Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2 = (45\sqrt{3})^2 + 195^2 = 6075 + 38025 = 44100.$$

Suy ra $AB = \sqrt{44100} = 210$ (m).

Vậy khoảng cách $AB = 210$ m.

Bài 4.19 trang 80

Đề bài: Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang $ABCD$ (H.4.30). Chiều rộng của mặt trên $AB$ của đập là $3$ m. Độ dốc của sườn $AD$, tức là $\tan D = 1{,}25$. Độ dốc của sườn $BC$, tức là $\tan C = 1{,}5$. Chiều cao của đập là $3{,}5$ m. Hãy tính chiều rộng $CD$ của chân đập, chiều dài của các sườn $AD$ và $BC$ (làm tròn đến dm).

Lời giải:

Bước 1: Dựng đường phụ. Kẻ đường cao $AH$ từ $A$ xuống $CD$ tại $H$, đường cao $BK$ từ $B$ xuống $CD$ tại $K$. Khi đó $AH = BK = 3{,}5$ m (chiều cao đập) và $HK = AB = 3$ m (vì tứ giác $ABKH$ là hình chữ nhật).

Bước 2: Tính $DH$ và $KC$.

Trong $\triangle ADH$ vuông tại $H$, có $\tan D = \dfrac{AH}{DH} = 1{,}25$:

$$DH = \dfrac{AH}{\tan D} = \dfrac{3{,}5}{1{,}25} = 2{,}8 \text{ (m)}.$$

Trong $\triangle BCK$ vuông tại $K$, có $\tan C = \dfrac{BK}{KC} = 1{,}5$:

$$KC = \dfrac{BK}{\tan C} = \dfrac{3{,}5}{1{,}5} \approx 2{,}3333 \text{ (m)}.$$

Bước 3: Tính $CD$.

$$CD = DH + HK + KC = 2{,}8 + 3 + 2{,}3333 \approx 8{,}1 \text{ (m)}.$$

Bước 4: Tính $AD$ và $BC$ (áp dụng định lí Pythagore).

$$AD = \sqrt{AH^2 + DH^2} = \sqrt{3{,}5^2 + 2{,}8^2} = \sqrt{12{,}25 + 7{,}84} = \sqrt{20{,}09} \approx 4{,}5 \text{ (m)}.$$

$$BC = \sqrt{BK^2 + KC^2} = \sqrt{3{,}5^2 + 2{,}3333^2} \approx \sqrt{17{,}69} \approx 4{,}2 \text{ (m)}.$$

Kết luận: $CD \approx 8{,}1$ m; $AD \approx 4{,}5$ m; $BC \approx 4{,}2$ m.

Bài 4.20 trang 80

Đề bài: Trong một buổi tập trận, một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc $21^\circ$ để lặn xuống (H.4.31).

a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được $200$ m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển? (Làm tròn đến m.)

b) Giả sử tốc độ của tàu là $9$ km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu $200$ m (tức là cách mặt nước biển $200$ m)?

Lời giải:

Gọi $A$ là vị trí tàu bắt đầu lặn, $H$ là vị trí tàu sau khi đi được một đoạn dưới nước, $B$ là chân đường vuông góc hạ từ $H$ xuống mặt biển. Khi đó $\triangle ABH$ vuông tại $B$, với:

• $AH$ là quãng đường tàu đi (cạnh huyền).
• $BH$ là độ sâu của tàu so với mặt biển (cạnh đối của góc $A$).
• $\widehat{HAB} = 21^\circ$.

a) Tàu đi được $200$ m, tính độ sâu $BH$.

Áp dụng tỉ số sin trong $\triangle ABH$ vuông tại $B$:

$$\sin 21^\circ = \dfrac{BH}{AH} \Rightarrow BH = AH \cdot \sin 21^\circ = 200 \cdot \sin 21^\circ.$$

Dùng MTCT: $\sin 21^\circ \approx 0{,}3584$, do đó:

$$BH \approx 200 \cdot 0{,}3584 \approx 71{,}67 \approx 72 \text{ (m)}.$$

Vậy khi đi được $200$ m, tàu ở độ sâu khoảng $72$ m so với mặt nước biển.

b) Tính thời gian để tàu ở độ sâu $200$ m.

Khi $BH = 200$ m, ta cần tìm quãng đường $AH$ tàu đã đi:

$$AH = \dfrac{BH}{\sin 21^\circ} = \dfrac{200}{\sin 21^\circ} \approx \dfrac{200}{0{,}3584} \approx 558{,}09 \text{ (m)}.$$

Tốc độ tàu $= 9$ km/h $= 9000$ m/h. Thời gian tàu cần đi:

$$t = \dfrac{AH}{\text{tốc độ}} = \dfrac{558{,}09}{9000} \approx 0{,}062 \text{ (giờ)}.$$

Đổi sang phút: $0{,}062 \cdot 60 \approx 3{,}72$ phút $\approx 3$ phút $43$ giây.

Vậy sau khoảng $3$ phút $43$ giây (kể từ lúc bắt đầu lặn) thì tàu ở độ sâu $200$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du