Hai tam giác bằng nhau

Hai đoạn thẳng bằng nhau khi chúng có cùng độ dài, hai góc bằng nhau khi chúng có cùng số đo. Vậy hai tam giác khi nào được gọi là bằng nhau?

Hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau, nghĩa là:

$$AB = A’B’,\quad AC = A’C’,\quad BC = B’C’$$

$$\widehat{A} = \widehat{A’},\quad \widehat{B} = \widehat{B’},\quad \widehat{C} = \widehat{C’}$$

Khi đó ta viết: $\triangle ABC = \triangle A’B’C’$

Lưu ý quan trọng: Khi viết kí hiệu hai tam giác bằng nhau, các đỉnh tương ứng phải được viết theo đúng thứ tự. Ví dụ: $\triangle ABC = \triangle DEF$ nghĩa là $A$ tương ứng $D$, $B$ tương ứng $E$, $C$ tương ứng $F$.

Từ đó suy ra:

• Cạnh tương ứng: $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$.
• Góc tương ứng: $\widehat{A} = \widehat{D}$, $\widehat{B} = \widehat{E}$, $\widehat{C} = \widehat{F}$.

Ví dụ 1. Biết hai tam giác trong Hình 4.11 bằng nhau. Chỉ ra các cặp cạnh, góc tương ứng và viết kí hiệu.

Giải.

Các cặp cạnh tương ứng: $FE = KH$, $ED = HG$, $DF = GK$.

Các cặp góc tương ứng: $\widehat{F} = \widehat{K}$, $\widehat{E} = \widehat{H}$, $\widehat{D} = \widehat{G}$.

Kí hiệu: $\triangle DEF = \triangle GHK$.

Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

Để kiểm tra hai tam giác bằng nhau, ta có nhất thiết phải kiểm tra đủ cả ba cạnh tương ứng và ba góc tương ứng bằng nhau hay không? Câu trả lời là không — chỉ cần kiểm tra ba cạnh là đủ.

Định lí (trường hợp bằng nhau c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ 2. Cho Hình 4.16, biết $AC = BD$, $AD = BC$. Chứng minh $\triangle ACB = \triangle BDA$.

Giải.

Xét hai tam giác $ACB$ và $BDA$ có:

• $AC = BD$ (giả thiết).
• $BC = AD$ (giả thiết).
• $AB$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle ACB = \triangle BDA$ (c.c.c).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Viết kí hiệu hai tam giác bằng nhau, xác định cạnh và góc tương ứng

Phương pháp:

• Từ kí hiệu $\triangle ABC = \triangle MNP$, suy ra các cặp đỉnh tương ứng: $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow P$.
• Suy ra cạnh tương ứng: $AB = MN$, $BC = NP$, $AC = MP$.
• Suy ra góc tương ứng: $\widehat{A} = \widehat{M}$, $\widehat{B} = \widehat{N}$, $\widehat{C} = \widehat{P}$.

Bài mẫu 1. Khi viết $\triangle ABC = \triangle MNP$, góc nào tương ứng với $\widehat{PNM}$ và cạnh nào tương ứng với $NP$? Viết các cặp cạnh và góc bằng nhau.

Giải.

$\widehat{PNM}$ tương ứng với $\widehat{CBA}$ (vì $N \leftrightarrow B$).

Cạnh $NP$ tương ứng với $BC$ (vì $N \leftrightarrow B$, $P \leftrightarrow C$).

Các cặp bằng nhau:

$$\widehat{ABC} = \widehat{MNP};\quad \widehat{BAC} = \widehat{NMP};\quad \widehat{ACB} = \widehat{MPN}$$

$$AB = MN;\quad BC = NP;\quad AC = MP$$

Bài mẫu 2. Cho $\triangle ABC = \triangle DEF$. Biết $AB = 2$ cm, $AC = 3$ cm, $PN = 4$ cm. Tính chu vi $\triangle MNP$.

Giải.

Vì $\triangle ABC = \triangle MNP$:

$MN = AB = 2$ cm; $MP = AC = 3$ cm (cạnh tương ứng).

Chu vi $\triangle MNP$: $MN + MP + NP = 2 + 3 + 4 = 9$ (cm).

Bài mẫu 3. Cho $\triangle ABC = \triangle MNP$. Biết $\widehat{A} = 40°$, $\widehat{B} = 70°$. Tính $\widehat{P}$.

Giải.

Vì $\triangle ABC = \triangle MNP$: $\widehat{M} = \widehat{A} = 40°$, $\widehat{N} = \widehat{B} = 70°$.

Trong $\triangle MNP$: $\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180°$

$$\widehat{P} = 180° – 40° – 70° = 70°$$

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.c.c

Phương pháp:

Để chứng minh $\triangle ABC = \triangle DEF$ theo c.c.c, cần chỉ ra:

1. Cạnh thứ nhất: $AB = DE$.
2. Cạnh thứ hai: $BC = EF$.
3. Cạnh thứ ba: $AC = DF$.

Lưu ý: Thường có một cạnh chung (hai tam giác dùng chung một cạnh), cần nhận ra để giảm bớt việc chứng minh.

Bài mẫu 1. Cho Hình 4.14 giáo án, chứng minh $\triangle ABC = \triangle ADC$ biết $AB = AD$, $BC = DC$.

Giải.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$ có:

• $AB = AD$ (giả thiết).
• $BC = DC$ (giả thiết).
• $AC$ chung.

Vậy $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c.c.c).

Bài mẫu 2. Cho Hình 4.15 giáo án, biết $AB = DC$, $AC = BD$. Chứng minh $\triangle ABC = \triangle DCB$ và $\triangle ADB = \triangle DAC$.

Giải.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DCB$ có:

• $AB = DC$ (giả thiết).
• $AC = BD$ (giả thiết).
• $BC$ chung.

Vậy $\triangle ABC = \triangle DCB$ (c.c.c).

Xét $\triangle ADB$ và $\triangle DAC$ có:

• $AB = DC$ (giả thiết).
• $BD = AC$ (giả thiết).
• $AD$ chung.

Vậy $\triangle ADB = \triangle DAC$ (c.c.c).

Dạng 3: Suy ra góc bằng nhau từ hai tam giác bằng nhau

Phương pháp:

1. Chứng minh hai tam giác bằng nhau (thường theo c.c.c).
2. Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Bài mẫu. Cho hình vẽ, biết $AB = CD$, $AD = BC$. Chứng minh $\widehat{ABC} = \widehat{CDA}$.

Giải.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CDA$ có:

• $AB = CD$ (giả thiết).
• $BC = AD$ (giả thiết).
• $AC$ chung.

Vậy $\triangle ABC = \triangle CDA$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ABC} = \widehat{CDA}$ (hai góc tương ứng).

Dạng 4: Tính số đo góc, cạnh từ hai tam giác bằng nhau

Phương pháp:

Khi $\triangle ABC = \triangle DEF$, dùng các cặp cạnh/góc tương ứng bằng nhau kết hợp:

• Tổng ba góc trong tam giác $= 180°$.
• Chu vi = tổng ba cạnh.

Bài mẫu 1. Cho $\triangle ABC = \triangle MNP$. Biết $AB = 5$ cm, $MP = 7$ cm và chu vi $\triangle ABC = 22$ cm. Tính $NP$.

Giải.

Vì $\triangle ABC = \triangle MNP$: $AC = MP = 7$ cm; $BC = NP$.

Chu vi $\triangle ABC$: $AB + AC + BC = 22$

$$5 + 7 + BC = 22 \Rightarrow BC = 10 \text{ cm}$$

Vậy $NP = BC = 10$ cm.

Bài mẫu 2. Cho $\triangle ABC = \triangle DEF$. Biết $\widehat{A} + \widehat{B} = 140°$, $\widehat{E} = 45°$. Tính $\widehat{A}$, $\widehat{C}$, $\widehat{D}$, $\widehat{F}$.

Giải.

Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$: $\widehat{A} = \widehat{D}$, $\widehat{B} = \widehat{E} = 45°$, $\widehat{C} = \widehat{F}$.

$$\widehat{A} = 140° – \widehat{B} = 140° – 45° = 95°$$

$$\widehat{C} = 180° – (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180° – 140° = 40°$$

Vậy $\widehat{A} = \widehat{D} = 95°$, $\widehat{F} = \widehat{C} = 40°$.

Dạng 5: Bài toán vận dụng (vẽ tia phân giác bằng compa)

Phương pháp:

Dùng trường hợp c.c.c để giải thích vì sao cách vẽ bằng compa cho kết quả đúng.

Bài mẫu. Giải thích vì sao tia $OM$ là phân giác của góc $\widehat{xOy}$ khi vẽ bằng compa (vẽ đường tròn tâm $O$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $A$, $B$; vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $AO$ và tâm $B$ bán kính $BO$, cắt nhau tại $M$).

Giải.

Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OBM$ có:

• $OA = OB$ (bán kính đường tròn tâm $O$).
• $AM = BO$ (bán kính đường tròn tâm $A$ bằng $AO = BO$… thực chất $AM$ và $BM$ đều bằng bán kính tương ứng).
• $BM = AO$ (bán kính đường tròn tâm $B$ bằng $BO = AO$).
• $OM$ chung.

Vì $OA = OB$, $MA = MB$ (do cách vẽ đối xứng) và $OM$ chung, nên $\triangle OAM = \triangle OBM$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (góc tương ứng).

Mà tia $OM$ nằm giữa $Ox$ và $Oy$ nên $OM$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Tìm cạnh chung: Khi hai tam giác chung một cạnh (ví dụ $AC$), đó là một trong ba cặp cạnh bằng nhau — chỉ cần chứng minh thêm hai cặp.
• Đọc kí hiệu đúng thứ tự: $\triangle ABC = \triangle DEF$ → đỉnh đầu tiên tương ứng đỉnh đầu tiên ($A \leftrightarrow D$), thứ hai với thứ hai ($B \leftrightarrow E$), thứ ba với thứ ba ($C \leftrightarrow F$).
• Trình bày chứng minh c.c.c: Luôn viết “Xét $\triangle …$ và $\triangle …$ có:”, liệt kê ba cặp cạnh bằng nhau, mỗi cặp ghi rõ lí do, cuối cùng kết luận “Vậy $\triangle … = \triangle …$ (c.c.c)”.
• Từ bằng nhau suy ra góc: Sau khi chứng minh hai tam giác bằng nhau, ngay lập tức có thể suy ra các góc tương ứng bằng nhau mà không cần chứng minh thêm.

Tổng kết

1. Hai tam giác bằng nhau khi các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.
2. Kí hiệu: $\triangle ABC = \triangle A’B’C’$ — các đỉnh tương ứng viết theo đúng thứ tự.
3. Trường hợp c.c.c: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau.
4. Cạnh chung là yếu tố thường gặp khi chứng minh c.c.c.
5. Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra các góc tương ứng bằng nhau, cạnh tương ứng bằng nhau.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du