Thứ tự thực hiện các phép tính

Thứ tự thực hiện các phép tính đã học với số tự nhiên vẫn được áp dụng đúng với các số hữu tỉ. Cụ thể:

Biểu thức chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia: thực hiện các phép tính từ trái sang phải.

Biểu thức không có dấu ngoặc: thực hiện theo thứ tự:

$$\text{Lũy thừa} \longrightarrow \text{Nhân và chia} \longrightarrow \text{Cộng và trừ}$$

Biểu thức có dấu ngoặc: thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau, theo thứ tự:

$$( ; ) \longrightarrow [ ;] \longrightarrow \lbrace ;\rbrace$$

Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức: $2{,}4 – 2^2 + 6{,}3 : 3$

Giải.

$$= 2{,}4 – 4 + 2{,}1 \quad \text{(tính lũy thừa và phép chia trước)}$$

$$= -1{,}6 + 2{,}1 = 0{,}5$$

Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức: $8{,}4 + 2{,}5 \cdot 4 + (7{,}2 – 3) : 3$

Giải.

$$= 8{,}4 + 10 + 4{,}2 : 3 \quad \text{(tính trong ngoặc trước, rồi phép nhân)}$$

$$= 8{,}4 + 10 + 1{,}4 = 19{,}8$$

Quy tắc chuyển vế

Đẳng thức

Một đẳng thức là một biểu thức có dạng $A = B$, trong đó $A$ gọi là vế trái, $B$ gọi là vế phải.

Chẳng hạn: $3{,}2 + x = 8$ là một đẳng thức, trong đó $3{,}2 + x$ là vế trái, $8$ là vế phải.

Khi biến đổi đẳng thức, ta thường sử dụng các tính chất:

• Nếu $a = b$ thì $b = a$.
• Nếu $a = b$ thì $a + c = b + c$.

Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “$+$” đổi thành dấu “$-$” và dấu “$-$” đổi thành dấu “$+$”.

$$\text{Nếu } a + b = c \text{ thì } a = c – b$$

$$\text{Nếu } a – b = c \text{ thì } a = c + b$$

Ví dụ 3. Tìm $x$, biết: a) $x + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{5}{9}$; $\quad$ b) $x – \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{10}$

Giải.

a) Áp dụng quy tắc chuyển vế:

$$x = -\frac{5}{9} – \frac{2}{3} = -\frac{5}{9} – \frac{6}{9} = -\frac{11}{9}$$

Vậy $x = -\dfrac{11}{9}$.

b) Áp dụng quy tắc chuyển vế:

$$x = \frac{7}{10} + \frac{2}{5} = \frac{7}{10} + \frac{4}{10} = \frac{11}{10}$$

Vậy $x = \dfrac{11}{10}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức theo đúng thứ tự phép tính

Phương pháp:

1. Xác định biểu thức có ngoặc hay không.
2. Nếu có ngoặc → tính trong ngoặc trước (từ ngoặc trong ra ngoặc ngoài).
3. Nếu không có ngoặc → tính lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ.
4. Các phép tính cùng bậc → tính từ trái sang phải.

Bài mẫu 1. Tính: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{7}{4} – \dfrac{5}{6} : (-0{,}5)$

Giải.

Bước 1: Tính phép chia trước:

$$\frac{5}{6} : (-0{,}5) = \frac{5}{6} : \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{6} \cdot (-2) = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$$

Bước 2: Thực hiện cộng, trừ:

$$\frac{1}{3} + \frac{7}{4} – \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{7}{4} + \frac{5}{3}$$

$$= \frac{1}{3} + \frac{5}{3} + \frac{7}{4} = \frac{6}{3} + \frac{7}{4} = 2 + \frac{7}{4} = \frac{15}{4}$$

Bài mẫu 2. Tính: $3\dfrac{1}{4} + 0{,}4 – \dfrac{1}{4}$

Giải.

$$= \frac{13}{4} + \frac{2}{5} – \frac{1}{4}$$

$$= \frac{13}{4} – \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \quad \text{(đổi chỗ để nhóm)}$$

$$= \frac{12}{4} + \frac{2}{5} = 3 + \frac{2}{5} = \frac{17}{5}$$

Dạng 2: Bỏ dấu ngoặc rồi tính

Phương pháp:

1. Bỏ ngoặc có dấu “$+$” đằng trước → giữ nguyên dấu các số hạng.
2. Bỏ ngoặc có dấu “$-$” đằng trước → đổi dấu tất cả các số hạng bên trong.
3. Nhóm các số hạng hợp lí rồi tính.

Bài mẫu 1. Tính: $\dfrac{17}{11} – \left(\dfrac{6}{5} – \dfrac{16}{11}\right) + \dfrac{26}{5}$

Giải.

Bước 1: Bỏ ngoặc (có dấu “$-$” đằng trước):

$$= \frac{17}{11} – \frac{6}{5} + \frac{16}{11} + \frac{26}{5}$$

Bước 2: Nhóm hợp lí:

$$= \left(\frac{17}{11} + \frac{16}{11}\right) + \left(-\frac{6}{5} + \frac{26}{5}\right)$$

$$= \frac{33}{11} + \frac{20}{5} = 3 + 4 = 7$$

Bài mẫu 2. Tính: $\dfrac{39}{5} + \left(\dfrac{9}{4} – \dfrac{9}{5}\right) – \left(\dfrac{5}{4} + \dfrac{6}{7}\right)$

Giải.

Bước 1: Bỏ ngoặc:

$$= \frac{39}{5} + \frac{9}{4} – \frac{9}{5} – \frac{5}{4} – \frac{6}{7}$$

Bước 2: Nhóm hợp lí:

$$= \left(\frac{39}{5} – \frac{9}{5}\right) + \left(\frac{9}{4} – \frac{5}{4}\right) – \frac{6}{7}$$

$$= \frac{30}{5} + \frac{4}{4} – \frac{6}{7} = 6 + 1 – \frac{6}{7} = 7 – \frac{6}{7} = \frac{49}{7} – \frac{6}{7} = \frac{43}{7}$$

Dạng 3: Tính một cách hợp lí

Phương pháp:

1. Quan sát biểu thức để nhận ra các cặp số đối nhau (tổng bằng 0), các cặp có tổng “đẹp” (bằng 1, bằng số nguyên).
2. Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để đổi chỗ và nhóm.
3. Áp dụng tính chất phân phối khi có thừa số chung.

Bài mẫu 1. Tính hợp lí: $-1{,}2 + (-0{,}8) + 0{,}25 + 5{,}75 – 2021$

Giải.

Bước 1: Nhóm các số có tổng đẹp:

$$= (-1{,}2 + (-0{,}8)) + (0{,}25 + 5{,}75) – 2021$$

Bước 2: Tính từng nhóm:

$$= (-2) + 6 – 2021 = 4 – 2021 = -2017$$

Bài mẫu 2. Tính hợp lí: $-0{,}1 + \dfrac{16}{9} + 11{,}1 + \dfrac{-20}{9}$

Giải.

Bước 1: Nhóm:

$$= (-0{,}1 + 11{,}1) + \left(\frac{16}{9} + \frac{-20}{9}\right)$$

Bước 2: Tính:

$$= 11 + \frac{-4}{9} = \frac{99}{9} – \frac{4}{9} = \frac{95}{9}$$

Bài mẫu 3. Tính hợp lí: $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{25} \cdot \dfrac{3}{4}$

Giải.

Hai tích có thừa số chung $\dfrac{3}{4}$, áp dụng tính chất phân phối:

$$= \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{16}{25} + \frac{9}{25}\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{25}{25} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$$

Dạng 4: Tìm $x$ (áp dụng quy tắc chuyển vế)

Phương pháp:

1. Xác định $x$ đang nằm trong phép tính nào (cộng, trừ, nhân, chia).
2. Áp dụng quy tắc chuyển vế: chuyển số hạng sang vế kia thì đổi dấu.
3. Nếu biểu thức phức tạp: tính giá trị các phần không chứa $x$ trước, rồi mới giải.

Bài mẫu 1. Tìm $x$, biết: $x + 0{,}25 = \dfrac{1}{2}$

Giải.

$$x = \frac{1}{2} – 0{,}25 = 0{,}5 – 0{,}25 = 0{,}25$$

Vậy $x = 0{,}25$.

Bài mẫu 2. Tìm $x$, biết: $x – \left(-\dfrac{5}{7}\right) = \dfrac{9}{14}$

Giải.

$$x + \frac{5}{7} = \frac{9}{14}$$

$$x = \frac{9}{14} – \frac{5}{7} = \frac{9}{14} – \frac{10}{14} = -\frac{1}{14}$$

Vậy $x = -\dfrac{1}{14}$.

Bài mẫu 3. Tìm $x$, biết: $x – \left(\dfrac{5}{4} – \dfrac{7}{5}\right) = \dfrac{9}{20}$

Giải.

Bước 1: Tính giá trị trong ngoặc:

$$\frac{5}{4} – \frac{7}{5} = \frac{25}{20} – \frac{28}{20} = -\frac{3}{20}$$

Bước 2: Phương trình trở thành:

$$x – \left(-\frac{3}{20}\right) = \frac{9}{20} \Rightarrow x + \frac{3}{20} = \frac{9}{20}$$

Bước 3: Chuyển vế:

$$x = \frac{9}{20} – \frac{3}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

Vậy $x = \dfrac{3}{10}$.

Bài mẫu 4. Tìm $x$, biết: $9 – x = \dfrac{8}{7} – \left(-\dfrac{7}{8}\right)$

Giải.

Bước 1: Tính vế phải:

$$\frac{8}{7} – \left(-\frac{7}{8}\right) = \frac{8}{7} + \frac{7}{8} = \frac{64}{56} + \frac{49}{56} = \frac{113}{56}$$

Bước 2: Chuyển vế:

$$x = 9 – \frac{113}{56} = \frac{504}{56} – \frac{113}{56} = \frac{391}{56}$$

Vậy $x = \dfrac{391}{56}$.

Dạng 5: Bài toán thực tế

Phương pháp:

1. Đọc đề, xác định đại lượng cần tìm (đặt $x$ nếu cần).
2. Lập đẳng thức dựa trên dữ kiện bài toán.
3. Áp dụng quy tắc chuyển vế hoặc thứ tự phép tính để giải.

Bài mẫu 1. Mỗi cái bánh chưng nặng khoảng 0,8 kg gồm 0,5 kg gạo; 0,125 kg đậu xanh; 0,04 kg lá dong, còn lại là thịt. Tính khối lượng thịt.

Giải.

Gọi khối lượng thịt là $x$ (kg). Ta có đẳng thức:

$$0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}04 + x = 0{,}8$$

$$0{,}665 + x = 0{,}8$$

Chuyển vế:

$$x = 0{,}8 – 0{,}665 = 0{,}135 \text{ (kg)}$$

Vậy khối lượng thịt trong mỗi cái bánh khoảng 0,135 kg.

Bài mẫu 2. Để làm một cái bánh, cần $2\dfrac{3}{4}$ cốc bột. Lan đã có $1\dfrac{1}{2}$ cốc bột. Hỏi Lan cần thêm bao nhiêu cốc bột?

Giải.

Gọi số cốc bột cần thêm là $x$. Ta có:

$$1\frac{1}{2} + x = 2\frac{3}{4}$$

Chuyển vế:

$$x = 2\frac{3}{4} – 1\frac{1}{2} = \frac{11}{4} – \frac{3}{2} = \frac{11}{4} – \frac{6}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$

Vậy Lan cần thêm $1\dfrac{1}{4}$ cốc bột.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Nhớ thứ tự bằng câu “Lũy – Nhân – Cộng”: Lũy thừa trước, rồi nhân chia, cuối cùng cộng trừ. Có ngoặc thì tính trong ngoặc trước.
• Chuyển vế = đổi dấu: Đây là quy tắc cốt lõi. Cứ số hạng nào “nhảy” qua dấu bằng thì phải đổi dấu. Cộng thành trừ, trừ thành cộng.
• Tìm $x$ phức tạp – đơn giản hóa trước: Nếu biểu thức có ngoặc hoặc phép tính phức tạp, hãy tính hết các phần không chứa $x$ trước, đưa về dạng đơn giản nhất rồi mới giải.
• Tính hợp lí – tìm cặp đẹp: Trước khi tính, quét mắt qua tất cả các số hạng để tìm cặp đối nhau (tổng bằng 0), cặp cho tổng tròn, hoặc thừa số chung.

Tổng kết

1. Thứ tự thực hiện phép tính: Ngoặc → Lũy thừa → Nhân, chia → Cộng, trừ. Các phép tính cùng bậc thì tính từ trái sang phải.
2. Đẳng thức $A = B$: $A$ là vế trái, $B$ là vế phải. Tính chất: nếu $a = b$ thì $b = a$ và $a + c = b + c$.
3. Quy tắc chuyển vế: Chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia thì đổi dấu. Nếu $a + b = c$ thì $a = c – b$. Nếu $a – b = c$ thì $a = c + b$.
4. Khi giải bài tìm $x$, luôn tính các phần không chứa $x$ trước, đưa về dạng đơn giản rồi áp dụng quy tắc chuyển vế.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du