Tam giác cân và tính chất

Tam giác cân là gì?

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trong tam giác cân $ABC$ với $AB = AC$:

• $A$ gọi là đỉnh, $\widehat{A}$ gọi là góc ở đỉnh.
• $AB$ và $AC$ gọi là hai cạnh bên.
• $BC$ gọi là cạnh đáy.
• $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ gọi là hai góc ở đáy.

Ví dụ 1. Tam giác $MNP$ có $MN = MP = 5$ cm, $NP = 6$ cm. Khi đó tam giác $MNP$ cân tại $M$, hai cạnh bên là $MN$ và $MP$, cạnh đáy là $NP$, góc ở đỉnh là $\widehat{M}$, hai góc ở đáy là $\widehat{N}$ và $\widehat{P}$.

Tính chất của tam giác cân

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Giải thích tính chất (chiều thuận): Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$, $D$ là trung điểm của $BC$.

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có:

• $AB = AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$);
• $AD$ chung;
• $BD = CD$ ($D$ là trung điểm của $BC$).

Vậy $\triangle ABD = \triangle ACD$ (c.c.c), suy ra $\widehat{B} = \widehat{C}$ (hai góc tương ứng).

Tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Tam giác đều có ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng $60°$.

Ví dụ 2. Tam giác $DEF$ có $DE = EF = 4$ cm và $\widehat{E} = 60°$.

Vì $DE = EF$ nên $\triangle DEF$ cân tại $E$, suy ra $\widehat{D} = \widehat{F}$.

Ta có: $\widehat{D} + \widehat{E} + \widehat{F} = 180°$, mà $\widehat{D} = \widehat{F}$ nên:

$$2\widehat{D} = 180° – 60° = 120° \Rightarrow \widehat{D} = \widehat{F} = 60°$$

Vì $\widehat{D} = \widehat{F} = 60°$ nên $\triangle DEF$ cũng cân tại $D$, suy ra $DF = DE = 4$ cm.

Vậy $DE = EF = DF = 4$ cm và $\widehat{D} = \widehat{E} = \widehat{F} = 60°$. Đây là tam giác đều.

Nhận xét quan trọng:

• Tam giác có ba góc bằng nhau → tam giác đều.
• Tam giác cân có một góc bằng $60°$ → tam giác đều.

Đường trung trực của một đoạn thẳng

Định nghĩa

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Để một đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng, cần thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: vuông góc với đoạn thẳng và đi qua trung điểm. Thiếu một trong hai điều kiện thì không phải đường trung trực.

Đường trung trực của một đoạn thẳng cũng chính là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

Tính chất của đường trung trực

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ngược lại, nếu một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì điểm đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Nói cách khác: Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ là tập hợp tất cả các điểm cách đều $A$ và $B$.

Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ không thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $MA = MB$. Chứng minh $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Giải.

Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Xét $\triangle OMA$ và $\triangle OMB$ có:

• $OA = OB$ (do $O$ là trung điểm của $AB$);
• $MA = MB$ (theo giả thiết);
• $OM$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle OMA = \triangle OMB$ (c.c.c), suy ra $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AOM} + \widehat{BOM} = 180°$ nên $\widehat{AOM} = \widehat{BOM} = 90°$.

Vậy $MO \perp AB$, tức $MO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Do đó $M$ thuộc đường trung trực của $AB$.

Cách vẽ đường trung trực bằng thước và compa

1. Vẽ đoạn thẳng $AB$.
2. Lấy $A$ làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính lớn hơn $\dfrac{AB}{2}$. Sau đó lấy $B$ làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính sao cho hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm $M$ và $N$.
3. Vẽ đường thẳng $MN$. Đó chính là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Giao điểm của $MN$ và $AB$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết tam giác cân và xác định các yếu tố

Phương pháp:

• Nếu tam giác có hai cạnh bằng nhau → tam giác cân (tại đỉnh là giao điểm hai cạnh bằng nhau).
• Nếu tam giác có hai góc bằng nhau → tam giác cân (tại đỉnh đối diện cạnh nối hai góc bằng nhau).
• Nếu chưa biết trực tiếp, tính góc còn lại bằng tổng ba góc ($180°$) rồi kiểm tra.

Bài mẫu 1. Tam giác $KGH$ có $\widehat{K} = 40°$, $\widehat{G} = 70°$. Hỏi tam giác $KGH$ có phải tam giác cân không?

Giải.

Tính góc còn lại:

$$\widehat{H} = 180° – \widehat{K} – \widehat{G} = 180° – 40° – 70° = 70°$$

Ta thấy $\widehat{G} = \widehat{H} = 70°$, nên $\triangle KGH$ cân tại đỉnh $K$.

Bài mẫu 2. Tam giác $EDA$ có $\widehat{E} = 68°$, $\widehat{A} = 44°$. Hỏi có cần thêm điều kiện gì để tam giác $EDA$ cân không?

Giải.

$$\widehat{D} = 180° – 68° – 44° = 68°$$

Ta có $\widehat{D} = \widehat{E} = 68°$, nên $\triangle EDA$ cân tại $A$. Không cần thêm điều kiện gì.

Dạng 2: Tính số đo góc và cạnh trong tam giác cân

Phương pháp:

1. Xác định tam giác cân tại đỉnh nào → hai góc ở đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau.
2. Áp dụng tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$ để tính góc chưa biết.
3. Hai trường hợp thường gặp:
   • Biết góc ở đỉnh $\widehat{A}$ → mỗi góc đáy $= \dfrac{180° – \widehat{A}}{2}$.
   • Biết góc ở đáy $\widehat{B}$ → $\widehat{C} = \widehat{B}$ và $\widehat{A} = 180° – 2\widehat{B}$.

Bài mẫu 1. Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{B} = 65°$. Tính $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$.

Giải.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{C} = \widehat{B} = 65°$.

$$\widehat{A} = 180° – \widehat{B} – \widehat{C} = 180° – 65° – 65° = 50°$$

Bài mẫu 2. Tam giác $MNP$ cân tại $M$ có $\widehat{P} = 50°$. Tính $\widehat{M}$.

Giải.

Tam giác $MNP$ cân tại $M$ nên $\widehat{N} = \widehat{P} = 50°$.

$$\widehat{M} = 180° – \widehat{N} – \widehat{P} = 180° – 50° – 50° = 80°$$

Bài mẫu 3. Tam giác $MNP$ cân tại $M$ có $MN = MP$, $\widehat{P} = 75°$. Tính $\widehat{M}$ và $\widehat{N}$.

Giải.

Cân tại $M$ nên $\widehat{N} = \widehat{P}$.

$$\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180°$$

$$\widehat{M} + 2\widehat{N} = 180° – \widehat{P} \Rightarrow 2\widehat{N} = 180° – 75° \cdot 2$$

Vì $\widehat{N} = \widehat{P} = 75°$:

$$\widehat{M} = 180° – 75° – 75° = 30°$$

Vậy $\widehat{M} = 30°$, $\widehat{N} = 75°$.

Dạng 3: Chứng minh tam giác cân

Phương pháp:

Để chứng minh một tam giác cân, ta cần chỉ ra một trong hai điều:

• Tam giác có hai cạnh bằng nhau, hoặc
• Tam giác có hai góc bằng nhau.

Thường cần chứng minh hai tam giác bằng nhau trước, rồi suy ra các cạnh hoặc góc tương ứng bằng nhau.

Bài mẫu 1. Tam giác $ABC$ có hai đường cao $BE$ và $CF$ bằng nhau. Chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Giải.

$\triangle ABE$ vuông tại $E$ nên: $\widehat{A} + \widehat{ABE} = 90° \Rightarrow \widehat{ABE} = 90° – \widehat{A}$.

$\triangle ACF$ vuông tại $F$ nên: $\widehat{A} + \widehat{ACF} = 90° \Rightarrow \widehat{ACF} = 90° – \widehat{A}$.

Suy ra $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$.

Xét $\triangle AEB$ (vuông tại $E$) và $\triangle AFC$ (vuông tại $F$) có:

• $BE = CF$ (theo giả thiết);
• $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle AEB = \triangle AFC$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $AB = AC$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy $\triangle ABC$ cân tại đỉnh $A$.

Bài mẫu 2. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $BD = CE$. Chứng minh tam giác $ADE$ cân tại $A$.

Giải.

$\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC} + \widehat{ABD} = 180°$ (kề bù) và $\widehat{ACB} + \widehat{ACE} = 180°$ (kề bù).

Suy ra $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$.

Xét $\triangle ADB$ và $\triangle AEC$ có:

• $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$);
• $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (chứng minh trên);
• $BD = CE$ (theo giả thiết).

Vậy $\triangle ADB = \triangle AEC$ (c.g.c).

Suy ra $AD = AE$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy $\triangle ADE$ cân tại $A$.

Dạng 4: Áp dụng tính chất đường trung trực

Phương pháp:

• Nếu $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ → $MA = MB$.
• Nếu $MA = MB$ → $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$.
• Kết hợp với tính chất tam giác cân: $MA = MB$ → $\triangle MAB$ cân tại $M$.

Bài mẫu 1. Cho $M$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, biết $AM = 3$ cm, $\widehat{MAB} = 60°$. Tính $BM$ và $\widehat{MBA}$.

Giải.

$M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $MA = MB = 3$ cm.

Do $MA = MB$ nên $\triangle MAB$ cân tại $M$, suy ra $\widehat{MAB} = \widehat{MBA} = 60°$.

Vậy $BM = 3$ cm và $\widehat{MBA} = 60°$.

(Nhận xét: $\widehat{M} = 180° – 60° – 60° = 60°$ nên $\triangle MAB$ là tam giác đều.)

Bài mẫu 2. Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$, $AH$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ ($H \in BC$). Chứng minh $AH \perp BC$ và $AH$ là đường trung trực của $BC$.

Giải.

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ACH$ có:

• $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$);
• $\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$ ($AH$ là phân giác của $\widehat{BAC}$);
• $AH$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle ABH = \triangle ACH$ (c.g.c).

Suy ra:

• $HB = HC$ (hai cạnh tương ứng) $\quad \ldots (1)$
• $\widehat{AHB} = \widehat{AHC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AHB} + \widehat{AHC} = 180°$ (kề bù) nên $\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90°$.

Vậy $AH \perp BC$ $\quad \ldots (2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$: $AH$ đi qua trung điểm $H$ của $BC$ và vuông góc với $BC$, nên $AH$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

Dạng 5: Bài toán tổng hợp (tam giác cân kết hợp đường trung trực)

Phương pháp:

1. Sử dụng tính chất tam giác cân (hai góc đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau).
2. Chứng minh tam giác bằng nhau để suy ra các yếu tố cần tìm.
3. Áp dụng tính chất đường trung trực khi cần.

Bài mẫu. $\triangle ABC$ cân tại $B$, $D$ là trung điểm của $AC$. Biết $\widehat{AEC} = 110°$. Tính $\widehat{ABE} + \widehat{BAE}$.

Giải.

Xét $\triangle BAD$ và $\triangle BCD$ có:

• $BA = BC$ ($\triangle ABC$ cân tại $B$);
• $AD = CD$ ($D$ là trung điểm $AC$);
• $BD$ chung.

Vậy $\triangle BAD = \triangle BCD$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{BDA} = \widehat{BDC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BDA} + \widehat{BDC} = 180°$ nên $\widehat{BDA} = \widehat{BDC} = 90°$.

Xét $\triangle ADE$ (vuông tại $D$) và $\triangle CDE$ (vuông tại $D$) có:

• $AD = CD$;
• $DE$ chung.

Vậy $\triangle ADE = \triangle CDE$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{AED} = \widehat{CED}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AEC} = 110°$ nên $\widehat{AED} = \widehat{CED} = \dfrac{110°}{2} = 55°$.

Vì $\widehat{AED}$ là góc ngoài tại đỉnh $E$ của $\triangle ABE$ nên:

$$\widehat{ABE} + \widehat{BAE} = \widehat{AED} = 55°$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Tính góc nhanh trong tam giác cân: Biết góc đỉnh $\widehat{A}$ → mỗi góc đáy $= \dfrac{180° – \widehat{A}}{2}$. Biết góc đáy $\widehat{B}$ → góc đỉnh $= 180° – 2\widehat{B}$.
• Nhận biết tam giác đều nhanh: Tam giác cân mà có thêm một góc $60°$ (dù là góc ở đỉnh hay góc ở đáy) → luôn là tam giác đều.
• Đường trung trực ↔ cách đều: Bất kì khi nào đề cho $MA = MB$, hãy nghĩ ngay đến đường trung trực. Ngược lại, nếu $M$ nằm trên trung trực của $AB$ thì khai thác ngay $MA = MB$.
• Tam giác cân → đường từ đỉnh đến trung điểm đáy có nhiều vai trò: Trong tam giác cân, đường nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của cạnh đáy.

Tổng kết

1. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, hai góc bằng nhau thì tam giác cân.
2. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (ba góc bằng $60°$). Tam giác cân có một góc $60°$ là tam giác đều.
3. Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm.
4. Tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút. Ngược lại, điểm cách đều hai mút thì nằm trên đường trung trực.
5. Đường trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du