Tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau

Ở bài trước, ta đã biết tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số. Vậy khi có một tỉ lệ thức, liệu ta có thể tạo ra thêm các tỉ số mới bằng nhau với chúng không?

Xét tỉ lệ thức $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$. Ta thử tính:

$$\dfrac{3 + 9}{5 + 15} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5} \qquad \text{và} \qquad \dfrac{3 – 9}{5 – 15} = \dfrac{-6}{-10} = \dfrac{3}{5}$$

Hai tỉ số mới tạo ra đều bằng các tỉ số trong tỉ lệ thức ban đầu. Đây không phải trùng hợp mà là một tính chất quan trọng.

Tính chất: Từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ ta suy ra:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a – c}{b – d}$$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa, tức các mẫu đều khác $0$.)

Ví dụ: Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{9}$ và $x + y = 39$.

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$$\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{9} = \dfrac{x + y}{4 + 9} = \dfrac{39}{13} = 3$$

Từ đây tính được $x = 3 \cdot 4 = 12$ và $y = 3 \cdot 9 = 27$.

Mở rộng tính chất cho dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất trên không chỉ đúng với hai tỉ số mà còn mở rộng được cho dãy nhiều tỉ số bằng nhau.

Từ dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}$, ta suy ra:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{a + c + e}{b + d + f} = \dfrac{a – c + e}{b – d + f}$$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.)

Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}$, ta còn nói các số $a,, c,, e$ tỉ lệ với các số $b,, d,, f$. Khi đó ta viết $a : c : e = b : d : f$.

Ví dụ: Ba đội tình nguyện quyên góp được tổng cộng 300 triệu đồng để xây trường vùng cao. Số tiền quyên góp của ba đội tỉ lệ với $2;, 3;, 5$. Tính số tiền mỗi đội quyên góp được.

Giải:

Gọi số tiền quyên góp của ba đội lần lượt là $x,, y,, z$ (triệu đồng).

Ta có $x + y + z = 300$ và $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x + y + z}{2 + 3 + 5} = \dfrac{300}{10} = 30$$

Suy ra: $x = 30 \cdot 2 = 60;\quad y = 30 \cdot 3 = 90;\quad z = 30 \cdot 5 = 150$.

Vậy ba đội quyên góp được lần lượt $60;, 90;, 150$ triệu đồng.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm hai số khi biết tỉ số và tổng (hoặc hiệu)

Phương pháp giải:

Từ $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$ và điều kiện $x + y$ (hoặc $x – y$), áp dụng tính chất:

$$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{x + y}{a + b} \quad \text{hoặc} \quad \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{x – y}{a – b}$$

Tính giá trị chung của dãy, rồi nhân ngược lại tìm $x,, y$.

Lưu ý: Nếu đề cho dạng $ma = nb$ (ví dụ $2a = 5b$), cần chuyển về dạng tỉ số trước: chia cả hai vế cho $mn$ để được $\dfrac{a}{n} = \dfrac{b}{m}$.

Bài mẫu 1: Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11}$ và $x + y = 40$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11} = \dfrac{x + y}{9 + 11} = \dfrac{40}{20} = 2$$

Từ đó:

$$x = 2 \cdot 9 = 18 \qquad y = 2 \cdot 11 = 22$$

Vậy $x = 18;; y = 22$.

Bài mẫu 2: Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\dfrac{x}{17} = \dfrac{y}{21}$ và $x – y = 8$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{17} = \dfrac{y}{21} = \dfrac{x – y}{17 – 21} = \dfrac{8}{-4} = -2$$

Từ đó:

$$x = (-2) \cdot 17 = -34 \qquad y = (-2) \cdot 21 = -42$$

Vậy $x = -34;; y = -42$.

Bài mẫu 3: Tìm hai số $a,, b$ biết rằng $2a = 5b$ và $3a + 4b = 46$.

Lời giải:

Vì $2a = 5b$ nên ta chia cả hai vế cho $2 \cdot 5 = 10$:

$$\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{2}$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{3a + 4b}{3 \cdot 5 + 4 \cdot 2} = \dfrac{46}{15 + 8} = \dfrac{46}{23} = 2$$

Từ đó:

$$a = 2 \cdot 5 = 10 \qquad b = 2 \cdot 2 = 4$$

Vậy $a = 10;; b = 4$.

Dạng 2: Tìm ba số (hoặc nhiều hơn) khi biết tỉ lệ và điều kiện

Phương pháp giải:

Từ $a : b : c = m : n : p$, ta viết thành $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}$.

Kết hợp với điều kiện tổng, hiệu hoặc tổ hợp (ví dụ $a + b – c$), áp dụng tính chất:

$$\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p} = \dfrac{a + b + c}{m + n + p} = \dfrac{a + b – c}{m + n – p} = \ldots$$

Mẫu số ở vế phải phải được tính theo cùng phép toán với tử số.

Bài mẫu 1: Ba lớp 7A, 7B và 7C được giao trồng 120 cây phủ xanh đồi trọc. Tính số cây mỗi lớp trồng được, biết số cây của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với $7;, 8;, 9$.

Lời giải:

Gọi số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $a,, b,, c$ (cây), với $a,, b,, c > 0$.

Ta có $a + b + c = 120$ và $\dfrac{a}{7} = \dfrac{b}{8} = \dfrac{c}{9}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{a}{7} = \dfrac{b}{8} = \dfrac{c}{9} = \dfrac{a + b + c}{7 + 8 + 9} = \dfrac{120}{24} = 5$$

Suy ra:

$$a = 5 \cdot 7 = 35 \qquad b = 5 \cdot 8 = 40 \qquad c = 5 \cdot 9 = 45$$

Vậy lớp 7A trồng 35 cây, lớp 7B trồng 40 cây, lớp 7C trồng 45 cây.

Bài mẫu 2: Một công ty có ba chi nhánh A, B, C. Kết quả kinh doanh tháng vừa qua: chi nhánh A và B có lãi, chi nhánh C bị lỗ. Biết số tiền lãi, lỗ của ba chi nhánh tỉ lệ với $3;, 4;, 2$ và trong tháng đó công ty lãi tổng cộng 500 triệu đồng. Tìm số tiền lãi, lỗ của mỗi chi nhánh.

Lời giải:

Gọi số tiền chi nhánh A, B lãi lần lượt là $A,, B$ (triệu đồng) và số tiền chi nhánh C lỗ là $C$ (triệu đồng), với $A,, B,, C > 0$.

Vì A, B lãi còn C lỗ, tổng lãi của công ty là:

$$A + B – C = 500 \text{ (triệu đồng)}$$

Số tiền lãi, lỗ tỉ lệ với $3;, 4;, 2$ nên: $\dfrac{A}{3} = \dfrac{B}{4} = \dfrac{C}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{A}{3} = \dfrac{B}{4} = \dfrac{C}{2} = \dfrac{A + B – C}{3 + 4 – 2} = \dfrac{500}{5} = 100$$

Suy ra:

$$A = 100 \cdot 3 = 300 \qquad B = 100 \cdot 4 = 400 \qquad C = 100 \cdot 2 = 200$$

Vậy chi nhánh A lãi 300 triệu đồng, chi nhánh B lãi 400 triệu đồng và chi nhánh C lỗ 200 triệu đồng.

Dạng 3: Bài toán thực tế liên quan dãy tỉ số bằng nhau

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng và mối quan hệ tỉ lệ giữa chúng. Nếu đề cho tỉ số dưới dạng số thập phân hoặc phân số, chuyển về dạng $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$.

Bước 2: Xác định điều kiện ràng buộc (tổng, hiệu, tích…).

Bước 3: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Bài mẫu 1: Tỉ số giữa số sản phẩm làm được của hai công nhân là $0{,}95$. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người này làm nhiều hơn người kia 10 sản phẩm.

Lời giải:

Gọi số sản phẩm của hai công nhân lần lượt là $a$ và $b$ (sản phẩm), với $a,, b > 0$.

Ta có $\dfrac{a}{b} = 0{,}95 = \dfrac{19}{20}$, suy ra $\dfrac{a}{19} = \dfrac{b}{20}$.

Vì $19 < 20$ nên $a < b$, tức người thứ hai làm nhiều hơn:

$$b – a = 10$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{a}{19} = \dfrac{b}{20} = \dfrac{b – a}{20 – 19} = \dfrac{10}{1} = 10$$

Suy ra:

$$a = 10 \cdot 19 = 190 \qquad b = 10 \cdot 20 = 200$$

Vậy hai công nhân làm được lần lượt 190 và 200 sản phẩm.

Bài mẫu 2: Một hình chữ nhật có chu vi $28\text{ cm}$, độ dài hai cạnh tỉ lệ với $3;, 4$. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: $28 : 2 = 14\text{ (cm)}$.

Gọi chiều rộng và chiều dài lần lượt là $a$ và $b$ (cm), với $0 < a < b$.

Ta có $a + b = 14$ và hai cạnh tỉ lệ với $3;, 4$, nên $\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{a + b}{3 + 4} = \dfrac{14}{7} = 2$$

Suy ra:

$$a = 2 \cdot 3 = 6\text{ (cm)} \qquad b = 2 \cdot 4 = 8\text{ (cm)}$$

Diện tích hình chữ nhật: $S = 6 \times 8 = 48\text{ (cm}^2\text{)}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Xác định đúng “tổ hợp tương ứng”: Khi biết $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$ và điều kiện $px + qy + rz = S$, thì giá trị chung bằng $\dfrac{S}{pa + qb + rc}$. Hệ số ở tử bao nhiêu thì mẫu cũng bấy nhiêu.

Mẹo 2 – Chuyển nhanh đẳng thức tích sang tỉ số: Gặp $ma = nb$, chia cả hai vế cho $mn$: kết quả là $\dfrac{a}{n} = \dfrac{b}{m}$ (hệ số đổi chéo).

Mẹo 3 – Nhẩm nhanh giá trị chung: Giá trị chung $k$ chính là kết quả phép chia cuối cùng. Sau khi tìm được $k$, chỉ cần nhân $k$ với từng mẫu số tương ứng là ra đáp án.

Tổng kết

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là công cụ mạnh để giải các bài toán chia theo tỉ lệ:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a – c}{b – d}$$

Mở rộng cho dãy nhiều tỉ số:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{a + c + e}{b + d + f} = \dfrac{a – c + e}{b – d + f} = \ldots$$

Các bước giải bài toán:

1. Chuyển điều kiện về dạng dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$.
2. Xác định tổ hợp phù hợp với điều kiện đề bài (tổng, hiệu, hoặc tổ hợp có hệ số).
3. Tính giá trị chung của dãy, rồi nhân ngược lại tìm từng ẩn.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du