Số hữu tỉ là gì?

Trong toán học, khi ta viết các phân số như $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{-5}{2}$, hay $\dfrac{7}{1}$, tất cả đều đang biểu diễn một loại số gọi là số hữu tỉ.

Một cách tổng quát:

Số hữu tỉ là số có thể biểu diễn được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$, trong đó $a, b$ là các số nguyên và $b \neq 0$.

Tập hợp tất cả các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$.

Điều quan trọng cần nhớ: các phân số bằng nhau chỉ là các cách viết khác nhau của cùng một số hữu tỉ. Chẳng hạn:

$$1{,}5 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \ldots$$

Tất cả đều biểu diễn cùng một số hữu tỉ.

Vì mọi số nguyên, số thập phân và hỗn số đều có thể viết dưới dạng phân số, nên chúng đều thuộc tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$.

Ví dụ 1. Các số $-5;; 0{,}8;; -2{,}4;; 2\dfrac{1}{3}$ có phải là số hữu tỉ không? Vì sao?

Giải. Tất cả đều là số hữu tỉ vì chúng viết được dưới dạng phân số:

$$-5 = \frac{-5}{1};\quad 0{,}8 = \frac{8}{10};\quad -2{,}4 = \frac{-24}{10};\quad 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$

Ví dụ 2. Giải thích vì sao $6;; -4{,}7;; 1\dfrac{3}{5}$ đều là số hữu tỉ. Tìm số đối của mỗi số đó.

Giải.

• $6 = \dfrac{6}{1}$ → là số hữu tỉ. Số đối: $-6$.
• $-4{,}7 = \dfrac{-47}{10}$ → là số hữu tỉ. Số đối: $4{,}7$.
• $1\dfrac{3}{5} = \dfrac{8}{5}$ → là số hữu tỉ. Số đối: $-1\dfrac{3}{5}$.

Số đối của số hữu tỉ

Mỗi số hữu tỉ luôn tồn tại một số đối. Nếu $m$ là một số hữu tỉ thì số đối của nó là $-m$, tức là:

$$m + (-m) = 0$$

Khi tìm số đối, cần chú ý rút gọn dấu trước. Chẳng hạn:

Ví dụ 3. Tìm số đối của $\dfrac{4}{-9}$.

Giải. Ta viết lại: $\dfrac{4}{-9} = \dfrac{-4}{9}$. Vậy số đối của nó là $\dfrac{4}{9}$.

Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Ta đã quen với việc đánh dấu các số nguyên trên trục số. Với số hữu tỉ, cách làm tương tự nhưng cần chia nhỏ đoạn đơn vị.

Cách thực hiện: Để biểu diễn số hữu tỉ $\dfrac{a}{b}$ (với $b > 0$) trên trục số:

1. Chia mỗi đoạn đơn vị thành $b$ phần bằng nhau. Mỗi phần là đơn vị mới, có độ dài bằng $\dfrac{1}{b}$ đơn vị cũ.
2. Từ gốc $O$, đếm $|a|$ đơn vị mới:
   • Theo chiều dương (sang phải) nếu $a > 0$.
   • Theo chiều âm (sang trái) nếu $a < 0$.

Ví dụ 4. Biểu diễn $\dfrac{5}{4}$ và $-\dfrac{5}{4}$ trên trục số.

Giải.

• Chia mỗi đoạn đơn vị thành 4 phần bằng nhau → đơn vị mới $= \dfrac{1}{4}$.
• $\dfrac{5}{4}$: từ gốc $O$, đi sang phải 5 đơn vị mới → được điểm biểu diễn $\dfrac{5}{4}$.
• $-\dfrac{5}{4}$: từ gốc $O$, đi sang trái 5 đơn vị mới → được điểm biểu diễn $-\dfrac{5}{4}$.

Nhận xét quan trọng: Trên trục số, hai số đối nhau $a$ và $-a$ nằm ở hai phía của gốc $O$ và cách đều gốc $O$.

So sánh hai số hữu tỉ

Với hai số hữu tỉ $a$ và $b$ bất kì, luôn xảy ra đúng một trong ba trường hợp:

$$a = b \qquad \text{hoặc} \qquad a < b \qquad \text{hoặc} \qquad a > b$$

Các cách so sánh:

• Cách 1 – Quy đồng mẫu dương: Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu số dương, rồi so sánh tử số. Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
• Cách 2 – So sánh trực tiếp dạng thập phân: Nếu cả hai đã ở dạng số thập phân, ta so sánh trực tiếp mà không cần quy đồng.
• Cách 3 – Dùng tính chất bắc cầu: Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$. Đây là cách hữu ích khi hai phân số khó quy đồng, ta có thể so sánh từng số với một số trung gian (thường là $0$ hoặc $1$).

Trên trục số: Nếu $a < b$ thì điểm $a$ nằm bên trái điểm $b$.

Lưu ý:

• Các điểm nằm bên trái gốc $O$ biểu diễn số hữu tỉ âm (nhỏ hơn $0$).
• Các điểm nằm bên phải gốc $O$ biểu diễn số hữu tỉ dương (lớn hơn $0$).
• Số $0$ không phải số hữu tỉ dương và cũng không phải số hữu tỉ âm.

Ví dụ 5. So sánh $0{,}4$ và $\dfrac{3}{5}$.

Giải. Ta có:

$$0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

So sánh $\dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{3}{5}$: cùng mẫu dương, vì $2 < 3$ nên $\dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{5}$.

Vậy $0{,}4 < \dfrac{3}{5}$. Trên trục số, điểm $0{,}4$ nằm bên trái điểm $\dfrac{3}{5}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: So sánh hai số hữu tỉ

Phương pháp:

• Nếu hai số ở dạng phân số: quy đồng mẫu dương, rồi so sánh tử số.
• Nếu hai số ở dạng thập phân: so sánh trực tiếp.
• Nếu một số âm, một số dương: số âm luôn nhỏ hơn số dương.
• Nếu khó quy đồng: dùng tính chất bắc cầu thông qua số trung gian ($0$, $1$, …).

Bài mẫu 1. So sánh $\dfrac{2}{-7}$ và $\dfrac{-3}{11}$.

Giải.

Bước 1: Đưa về phân số có mẫu dương.

$$\frac{2}{-7} = \frac{-2}{7}$$

Phân số $\dfrac{-3}{11}$ đã có mẫu dương.

Bước 2: Quy đồng mẫu số. Mẫu chung là $7 \times 11 = 77$.

$$\frac{-2}{7} = \frac{-2 \times 11}{7 \times 11} = \frac{-22}{77}$$

$$\frac{-3}{11} = \frac{-3 \times 7}{11 \times 7} = \frac{-21}{77}$$

Bước 3: So sánh tử số: $-22 < -21$.

$$\Rightarrow \frac{-22}{77} < \frac{-21}{77} \Rightarrow \frac{2}{-7} < \frac{-3}{11}$$

Bài mẫu 2. So sánh $\dfrac{7}{9}$ và $1{,}5$.

Giải.

Ta nhận thấy: $\dfrac{7}{9} < 1$ (vì tử nhỏ hơn mẫu), đồng thời $1{,}5 > 1$.

Áp dụng tính chất bắc cầu:

$$\frac{7}{9} < 1 < 1{,}5$$

Vậy $\dfrac{7}{9} < 1{,}5$.

Bài mẫu 3. So sánh $-1{,}25$ và $-1{,}125$.

Giải.

Cả hai đều ở dạng thập phân nên ta so sánh trực tiếp.

Xét phần dương: $1{,}25 > 1{,}125$.

Vì hai số đều âm, số nào có trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn:

$$\Rightarrow -1{,}25 < -1{,}125$$

Dạng 2: Sắp xếp các số hữu tỉ theo thứ tự

Phương pháp:

1. Phân nhóm: tách riêng số âm, số 0 và số dương.
2. Trong mỗi nhóm, quy đồng mẫu hoặc đổi thập phân rồi so sánh từng cặp.
3. Ghép kết quả: nhóm số âm (từ nhỏ đến lớn) → $0$ → nhóm số dương (từ nhỏ đến lớn).

Bài mẫu 1. Sắp xếp $\dfrac{1}{5};; \dfrac{-2}{5};; \dfrac{3}{7};; \dfrac{-1}{3};; 0$ theo thứ tự tăng dần.

Giải.

Bước 1 – Phân nhóm:

• Số âm: $\dfrac{-2}{5}$ và $\dfrac{-1}{3}$.
• Số $0$.
• Số dương: $\dfrac{1}{5}$ và $\dfrac{3}{7}$.

Bước 2 – So sánh trong nhóm âm:

Quy đồng mẫu (mẫu chung = 15):

$$\frac{-2}{5} = \frac{-6}{15};\quad \frac{-1}{3} = \frac{-5}{15}$$

Vì $-6 < -5$ nên $\dfrac{-2}{5} < \dfrac{-1}{3}$.

Bước 3 – So sánh trong nhóm dương:

Quy đồng mẫu (mẫu chung = 35):

$$\frac{1}{5} = \frac{7}{35};\quad \frac{3}{7} = \frac{15}{35}$$

Vì $7 < 15$ nên $\dfrac{1}{5} < \dfrac{3}{7}$.

Bước 4 – Ghép kết quả:

$$\frac{-2}{5} < \frac{-1}{3} < 0 < \frac{1}{5} < \frac{3}{7}$$

Bài mẫu 2. Sắp xếp các quốc gia theo tuổi thọ trung bình dự kiến từ nhỏ đến lớn: Australia ($83$), Pháp ($82{,}5$), Tây Ban Nha ($83\dfrac{1}{5}$), Anh ($81\dfrac{2}{5}$), Mỹ ($78\dfrac{1}{2}$).

Giải.

Đổi tất cả về dạng thập phân để dễ so sánh:

$$78\frac{1}{2} = 78{,}5;\quad 81\frac{2}{5} = 81{,}4;\quad 82{,}5;\quad 83;\quad 83\frac{1}{5} = 83{,}2$$

So sánh trực tiếp:

$$78{,}5 < 81{,}4 < 82{,}5 < 83 < 83{,}2$$

Thứ tự từ nhỏ đến lớn: Mỹ → Anh → Pháp → Australia → Tây Ban Nha.

Dạng 3: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số và xác định điểm

Phương pháp:

• Biểu diễn lên trục số: Xác định mẫu $b$ → chia đơn vị thành $b$ phần bằng nhau → từ gốc $O$, đếm $|a|$ phần theo đúng chiều.
• Xác định điểm trên trục số: Quan sát đơn vị mới (đoạn đơn vị chia thành bao nhiêu phần) → đếm số phần từ gốc $O$ → xác định phân số kèm dấu (trái $O$ thì âm, phải $O$ thì dương).

Bài mẫu 1. Biểu diễn $-\dfrac{3}{4}$ trên trục số.

Giải.

Bước 1: Chia đoạn đơn vị (từ $0$ đến $1$) thành 4 phần bằng nhau. Đơn vị mới $= \dfrac{1}{4}$.

Bước 2: Vì $-\dfrac{3}{4}$ là số âm, ta đi sang trái gốc $O$.

Bước 3: Từ $O$, đếm 3 đơn vị mới sang trái → đánh dấu điểm $A$. Đó chính là điểm biểu diễn $-\dfrac{3}{4}$.

Bài mẫu 2. Các điểm $A, B, C, D$ trên trục số Hình 1.7 biểu diễn số hữu tỉ nào?

Giải.

Quan sát trục số: đoạn từ $0$ đến $1$ được chia thành 3 phần bằng nhau → đơn vị mới $= \dfrac{1}{3}$.

• Điểm $A$ nằm bên trái $O$, cách $O$ ba đơn vị mới → $A = -1$.
• Điểm $B$ nằm bên trái $O$, cách $O$ một đơn vị mới rưỡi → $B = -\dfrac{1}{2}$.
• Điểm $C$ nằm bên phải $O$, cách $O$ một đơn vị mới → $C = \dfrac{1}{3}$.
• Điểm $D$ nằm bên phải $O$, cách $O$ ba đơn vị mới → $D = 1$.

Dạng 4: Bài toán thực tế (tính chỉ số, so sánh tỉ số)

Phương pháp:

1. Tính tỉ số (phân số) từ dữ kiện đề bài.
2. Đổi về dạng thập phân hoặc quy đồng mẫu để so sánh.
3. Đối chiếu với bảng phân loại hoặc tiêu chí đề bài.

Bài mẫu 1. Ông An cao 180 cm, vòng bụng 108 cm. Ông Chung cao 160 cm, vòng bụng 70 cm. Tính chỉ số WHtR và cho biết sức khoẻ ai tốt hơn.

Giải.

Bước 1 – Tính chỉ số WHtR:

$$\text{WHtR (ông An)} = \frac{108}{180} = 0{,}6$$

$$\text{WHtR (ông Chung)} = \frac{70}{160} = 0{,}4375$$

Bước 2 – Đối chiếu bảng phân loại:

• Ông An: WHtR $= 0{,}6$ → lớn hơn $0{,}57$ và nhỏ hơn hoặc bằng $0{,}63$ → Thừa cân.
• Ông Chung: WHtR $= 0{,}4375$ → lớn hơn $0{,}42$ và nhỏ hơn hoặc bằng $0{,}52$ → Tốt.

Bước 3 – Kết luận: Vì $0{,}4375 < 0{,}6$, theo chỉ số WHtR, sức khỏe ông Chung tốt hơn ông An.

Bài mẫu 2. Ở vòng 1 cuộc thi, bạn Huy trả lời đúng 92% số câu. Ở vòng 2, Huy trả lời đúng 27 trên 30 câu. Vòng nào Huy làm tốt hơn?

Giải.

Bước 1: Tính tỉ lệ vòng 2:

$$\frac{27}{30} \times 100\% = 90\%$$

Bước 2: So sánh: $92\% > 90\%$.

Kết luận: Vòng 1 bạn Huy làm bài tốt hơn.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• So sánh qua số trung gian: Khi hai phân số khó quy đồng, hãy so sánh từng số với $0$ hoặc $1$. Ví dụ: $\dfrac{7}{9} < 1 < 1{,}5$ → kết luận ngay $\dfrac{7}{9} < 1{,}5$ mà không cần quy đồng.
• Số âm – đảo chiều so sánh: Muốn so sánh $-a$ và $-b$ (với $a, b > 0$), chỉ cần so sánh $a$ với $b$ rồi đổi chiều. Nếu $a > b$ thì $-a < -b$.
• Nhận dạng nhanh số hữu tỉ: Ở chương trình lớp 7, hầu hết các số em gặp (số nguyên, thập phân, hỗn số, phân số) đều là số hữu tỉ. Chỉ cần kiểm tra: viết được $\dfrac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$ và $b \neq 0$ là đủ.
• Sắp xếp nhiều số – chia nhóm trước: Tách nhóm âm, nhóm dương, rồi so sánh trong từng nhóm sẽ nhanh hơn nhiều so với so sánh lộn xộn.

Tổng kết

1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng $\dfrac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z},; b \neq 0$. Tập hợp kí hiệu $\mathbb{Q}$.
2. Số đối của số hữu tỉ $m$ là $-m$, thỏa $m + (-m) = 0$.
3. Biểu diễn trên trục số: chia đơn vị thành $b$ phần, đếm $|a|$ phần từ gốc $O$ theo chiều phù hợp. Hai số đối nhau cách đều và nằm hai phía gốc $O$.
4. So sánh: quy đồng mẫu dương rồi so tử, hoặc đổi thập phân, hoặc dùng tính chất bắc cầu.
5. Số $0$ không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ âm. Mọi số hữu tỉ âm đều nhỏ hơn $0$, mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn $0$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du