Góc ở vị trí đặc biệt

Hai góc kề nhau

Trước khi tìm hiểu các góc ở vị trí đặc biệt, ta cần nắm khái niệm hai góc kề nhau:

Hai góc kề nhau là hai góc có chung một cạnh và hai cạnh còn lại nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng chứa cạnh chung đó.

Nếu tia $OM$ nằm giữa hai cạnh $Ox$ và $Oy$ của góc $\widehat{xOy}$, ta có:

$$\widehat{xOM} + \widehat{MOy} = \widehat{xOy}$$

Hai góc kề bù

Hai góc kề bù là hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.

Nói cách khác, hai góc kề bù là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau (tức tổng số đo bằng $180°$).

Tính chất: Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180°$.

Ví dụ 1. Cho hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$ kề bù với nhau. Biết $\widehat{xOz} = 55°$. Tính $\widehat{zOy}$.

Giải.

Vì hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$ kề bù nên:

$$\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 180°$$

$$55° + \widehat{zOy} = 180°$$

$$\widehat{zOy} = 180° – 55° = 125°$$

Hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Chứng minh bằng suy luận: Gọi $\widehat{O_1}$, $\widehat{O_2}$ là hai góc đối đỉnh, $\widehat{O_3}$ là góc kề bù chung.

• $\widehat{O_1} + \widehat{O_3} = 180°$ (hai góc kề bù) $\quad (1)$
• $\widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 180°$ (hai góc kề bù) $\quad (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$: $\widehat{O_1} + \widehat{O_3} = \widehat{O_2} + \widehat{O_3}$, suy ra $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$.

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng $xx’$ và $yy’$ cắt nhau tại $O$. Biết $\widehat{xOy} = 60°$. Tính số đo các góc $\widehat{x’Oy’}$ và $\widehat{x’Oy}$.

Giải.

• $\widehat{x’Oy’} = \widehat{xOy} = 60°$ (hai góc đối đỉnh).
• $\widehat{x’Oy} + \widehat{xOy} = 180°$ (hai góc kề bù).

$$\widehat{x’Oy} = 180° – 60° = 120°$$

Chú ý: Hai đường thẳng cắt nhau mà trong các góc tạo thành có một góc vuông thì được gọi là hai đường thẳng vuông góc. Kí hiệu: $xx’ \perp yy’$.

Tia phân giác của một góc

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc đó và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.

Tính chất: Khi $Oz$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ thì:

$$\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \frac{1}{2}\widehat{xOy}$$

Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc được gọi là đường phân giác của góc đó.

Cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc: Tính $\dfrac{1}{2}$ số đo góc đã cho, rồi dùng thước đo góc đặt từ một cạnh, đánh dấu điểm ứng với số đo đó và kẻ tia đi qua điểm vừa đánh dấu.

Ví dụ 3. Cho góc $\widehat{mOn}$ có số đo bằng $70°$, tia $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{mOn}$. Tính số đo hai góc $\widehat{mOt}$ và $\widehat{tOn}$.

Giải.

Vì $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{mOn}$ nên:

$$\widehat{mOt} = \widehat{tOn} = \frac{1}{2}\widehat{mOn} = \frac{1}{2} \cdot 70° = 35°$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính số đo góc khi biết hai góc kề bù

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180°$.

$$\widehat{A} + \widehat{B} = 180° \Rightarrow \widehat{B} = 180° – \widehat{A}$$

Bài mẫu 1. Cho Hình 3.15a, biết $\widehat{DMA} = 45°$. Tính số đo góc $\widehat{DMB}$.

Giải.

Vì góc $\widehat{AMD}$ và $\widehat{BMD}$ là hai góc kề bù nên:

$$\widehat{AMD} + \widehat{BMD} = 180°$$

$$45° + \widehat{BMD} = 180°$$

$$\widehat{BMD} = 180° – 45° = 135°$$

Vậy $\widehat{DMB} = 135°$.

Bài mẫu 2. Cho hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ kề bù với nhau. Biết $\widehat{xOy} = 25°$. Tính $\widehat{yOz}$.

Giải.

Vì hai góc kề bù nên:

$$\widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 180°$$

$$25° + \widehat{yOz} = 180°$$

$$\widehat{yOz} = 180° – 25° = 155°$$

Bài mẫu 3. Cho hai góc kề nhau $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$ với $\widehat{AOC} = 80°$. Biết $\widehat{AOB} = \dfrac{1}{5}\widehat{AOC}$. Tính số đo các góc $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$.

Giải.

Vì $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$ là hai góc kề nhau nên:

$$\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = \widehat{AOC} = 80°$$

Vì $\widehat{AOB} = \dfrac{1}{5}\widehat{AOC}$ nên:

$$\widehat{AOB} = \frac{1}{5} \cdot 80° = 16°$$

Suy ra:

$$\widehat{BOC} = 80° – 16° = 64°$$

Vậy $\widehat{AOB} = 16°$; $\widehat{BOC} = 64°$.

Dạng 2: Tính số đo góc khi biết hai góc đối đỉnh

Phương pháp:

• Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
• Kết hợp với tính chất kề bù ($180°$) để tìm các góc còn lại.

Khi hai đường thẳng cắt nhau, chỉ cần biết một góc là tính được cả ba góc còn lại.

Bài mẫu 1. Cho Hình 3.15b, biết $\widehat{xBm} = 36°$. Tính số đo các góc còn lại.

Giải.

Vì $\widehat{xBm}$ và $\widehat{yBn}$ là hai góc đối đỉnh nên:

$$\widehat{yBn} = \widehat{xBm} = 36°$$

Vì $\widehat{xBm}$ và $\widehat{mBy}$ là hai góc kề bù nên:

$$\widehat{xBm} + \widehat{mBy} = 180°$$

$$36° + \widehat{mBy} = 180° \Rightarrow \widehat{mBy} = 144°$$

Vì $\widehat{mBy}$ và $\widehat{nBx}$ là hai góc đối đỉnh nên:

$$\widehat{nBx} = \widehat{mBy} = 144°$$

Bài mẫu 2. Tìm số đo các góc chưa biết, biết $\widehat{AOB} = 147°$.

Giải.

• $\widehat{COD} = \widehat{AOB} = 147°$ (hai góc đối đỉnh).
• $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 180°$ (hai góc kề bù).

$$\widehat{BOC} = 180° – 147° = 33°$$

• $\widehat{AOD} = \widehat{BOC} = 33°$ (hai góc đối đỉnh).

Vậy $\widehat{BOC} = 33°$, $\widehat{COD} = 147°$, $\widehat{AOD} = 33°$.

Dạng 3: Tìm số đo góc khi biết quan hệ giữa các góc (lập phương trình)

Phương pháp:

1. Gọi số đo góc cần tìm (hoặc dùng ẩn $x$).
2. Dựa vào quan hệ kề bù ($180°$) hoặc đối đỉnh (bằng nhau) để lập phương trình.
3. Giải phương trình tìm $x$.

Bài mẫu 1. Cho hai đường thẳng cắt nhau tại $R$. Biết $\widehat{QRT} + \widehat{TRS} = 180°$ (kề bù), $\widehat{QRT} = 3x$ và $\widehat{TRS} = 8x + 70$. Tìm $x$.

Giải.

Vì $\widehat{QRT}$ và $\widehat{TRS}$ là hai góc kề bù nên:

$$\widehat{QRT} + \widehat{TRS} = 180°$$

$$3x + (8x + 70) = 180$$

$$11x + 70 = 180$$

$$11x = 110$$

$$x = 10$$

Bài mẫu 2. Biết $\widehat{ABD} = 4x + 6$ và $\widehat{DBC} = 11x – 6$ là hai góc kề bù. Tìm $x$.

Giải.

$$\widehat{ABD} + \widehat{DBC} = 180°$$

$$(4x + 6) + (11x – 6) = 180$$

$$15x = 180$$

$$x = 12$$

Bài mẫu 3. Cho các cặp tia $Oa$ và $Ob$, $Oc$ và $Od$ là các cặp tia đối nhau. Biết $\widehat{bOc} = 2\widehat{aOc}$. Tính số đo mỗi góc.

Giải.

Vì $Oa$, $Ob$ đối nhau và $Oc$, $Od$ đối nhau nên:

• $\widehat{aOc}$ và $\widehat{bOd}$ đối đỉnh → $\widehat{aOc} = \widehat{bOd}$.
• $\widehat{aOc}$ và $\widehat{bOc}$ kề bù → $\widehat{aOc} + \widehat{bOc} = 180°$.
• $\widehat{bOc}$ và $\widehat{aOd}$ đối đỉnh → $\widehat{aOd} = \widehat{bOc}$.

Vì $\widehat{bOc} = 2\widehat{aOc}$ và $\widehat{aOc} + \widehat{bOc} = 180°$:

$$\widehat{aOc} + 2\widehat{aOc} = 180°$$

$$3\widehat{aOc} = 180° \Rightarrow \widehat{aOc} = 60°$$

$$\widehat{bOc} = 2 \times 60° = 120°$$

Vậy $\widehat{bOd} = \widehat{aOc} = 60°$ và $\widehat{bOc} = \widehat{aOd} = 120°$.

Dạng 4: Nhận biết góc kề nhau, kề bù, đối đỉnh

Phương pháp:

• Kề nhau: chung đỉnh, chung một cạnh, hai cạnh còn lại nằm khác phía so với đường thẳng chứa cạnh chung.
• Kề bù: kề nhau + hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau (tổng $= 180°$).
• Đối đỉnh: mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Lưu ý quan trọng:

• Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau → Đúng.
• Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh → Sai (hai góc có thể bằng nhau mà không đối đỉnh).

Bài mẫu 1. Cho Hình 3.13 SGK, kể tên các cặp góc kề bù.

Giải.

a) Góc $\widehat{xOm}$ và $\widehat{xOn}$ là hai góc kề bù vì hai góc này có chung cạnh $Ox$, cạnh $Om$ là tia đối của $On$.

b) Góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{CMB}$ là hai góc kề bù vì hai góc này có chung cạnh $MB$, cạnh $MA$ là tia đối của $MC$.

Bài mẫu 2. Cho Hình 3.14 SGK, kể tên các cặp góc đối đỉnh.

Giải.

a) $\widehat{xHy}$ và $\widehat{mHt}$ là hai góc đối đỉnh vì $Hx$ và $Hm$ là hai tia đối nhau; $Hy$ và $Ht$ là hai tia đối nhau.

$\widehat{xHt}$ và $\widehat{mHy}$ là hai góc đối đỉnh vì $Hx$ và $Hm$ là hai tia đối nhau; $Ht$ và $Hy$ là hai tia đối nhau.

b) $\widehat{AOB}$ và $\widehat{COD}$ là hai góc đối đỉnh vì $OA$ và $OC$ là hai tia đối nhau; $OB$ và $OD$ là hai tia đối nhau.

$\widehat{AOD}$ và $\widehat{COB}$ là hai góc đối đỉnh vì $OA$ và $OC$ là hai tia đối nhau; $OD$ và $OB$ là hai tia đối nhau.

Dạng 5: Tia phân giác – Tính số đo góc

Phương pháp:

• Nếu $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$: $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}$.
• Kết hợp với tính chất kề bù để tính các góc liên quan.

Bài mẫu 1. Vẽ góc $\widehat{xOy} = 60°$. Vẽ tia $Om$ là tia đối của tia $Ox$.

a) Gọi tên hai góc kề bù có trong hình.

b) Tính $\widehat{yOm}$.

c) Vẽ tia $Ot$ là phân giác của $\widehat{xOy}$. Tính $\widehat{tOy}$ và $\widehat{tOm}$.

Giải.

a) Hai góc kề bù: $\widehat{xOy}$ và $\widehat{mOy}$.

b) Vì $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOm}$ kề bù:

$$60° + \widehat{yOm} = 180° \Rightarrow \widehat{yOm} = 120°$$

c) Vì $Ot$ là phân giác của $\widehat{xOy}$:

$$\widehat{xOt} = \widehat{tOy} = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$$

Vì $\widehat{xOt}$ và $\widehat{tOm}$ kề bù:

$$30° + \widehat{tOm} = 180° \Rightarrow \widehat{tOm} = 150°$$

Vậy $\widehat{tOy} = 30°$; $\widehat{tOm} = 150°$.

Bài mẫu 2. Cho góc $\widehat{xAm} = 65°$ và $Ay$ là tia phân giác của góc $\widehat{xAm}$. Tính số đo góc $\widehat{xAy}$.

Giải.

Vì $Ay$ là tia phân giác của $\widehat{xAm}$ nên:

$$\widehat{xAy} = \frac{1}{2}\widehat{xAm} = \frac{1}{2} \cdot 65° = 32{,}5°$$

Dạng 6: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

Chứng minh hai đường thẳng tạo với nhau một góc bằng $90°$.

Bài mẫu. Cho hình vẽ, biết $\widehat{xOv} = 53°$ và $\widehat{vOz} = 37°$. Chứng minh $xy \perp zt$.

Giải.

Vì $\widehat{xOv}$ và $\widehat{vOz}$ là hai góc kề nhau nên:

$$\widehat{xOv} + \widehat{vOz} = \widehat{xOz}$$

$$53° + 37° = 90°$$

Suy ra $\widehat{xOz} = 90°$, tức $Ox \perp Oz$ hay $xy \perp zt$.

Vậy hai đường thẳng $xy$ và $zt$ vuông góc.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Hai đường thẳng cắt nhau → 4 góc, chỉ cần biết 1: Biết một góc, suy ra góc đối đỉnh (bằng nhau) và hai góc kề bù ($180°$ trừ đi).
• Nhận dạng nhanh góc đối đỉnh: Nhìn hình chữ “X” – hai góc ở hai phía đối diện qua giao điểm là đối đỉnh.
• Phân giác → chia đôi: Khi đề cho tia phân giác, nhớ ngay số đo mỗi nửa $= \dfrac{1}{2}$ góc ban đầu. Từ đó kết hợp kề bù để tính tiếp.
• Lập phương trình khi có ẩn: Gặp bài cho quan hệ giữa các góc (gấp đôi, hiệu bằng…), đặt ẩn $x$, dùng tính chất kề bù ($= 180°$) hoặc đối đỉnh (bằng nhau) để lập phương trình.

Tổng kết

1. Hai góc kề nhau: chung đỉnh, chung một cạnh, hai cạnh còn lại khác phía.
2. Hai góc kề bù: kề nhau + hai cạnh còn lại là tia đối nhau → tổng $= 180°$.
3. Hai góc đối đỉnh: mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia → bằng nhau.
4. Hai đường thẳng vuông góc: cắt nhau tạo góc vuông ($90°$). Kí hiệu $\perp$.
5. Tia phân giác: nằm giữa hai cạnh, chia góc thành hai góc bằng nhau: $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du