Khái niệm đường vuông góc và đường xiên

Từ một điểm $A$ không nằm trên đường thẳng $d$, ta kẻ đường thẳng vuông góc với $d$ tại $H$.

• Đoạn thẳng $AH$ gọi là đoạn vuông góc (hay đường vuông góc) kẻ từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$. Điểm $H$ gọi là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $d$.
• Lấy một điểm $M$ bất kỳ trên $d$ ($M$ khác $H$), đoạn thẳng $AM$ gọi là một đường xiên kẻ từ $A$ đến đường thẳng $d$.

Lưu ý: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ kẻ được duy nhất một đường vuông góc nhưng kẻ được vô số đường xiên đến đường thẳng đó.

So sánh đường vuông góc và đường xiên

Xét tam giác $AHM$ vuông tại $H$ (vì $AH \perp d$). Trong tam giác vuông, góc vuông $\widehat{H} = 90°$ là góc lớn nhất, nên cạnh đối diện với góc vuông — tức cạnh $AM$ — là cạnh lớn nhất. Do đó $AH < AM$.

Từ đây ta có định lí quan trọng:

Định lí

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Vì đường vuông góc $AH$ là đoạn ngắn nhất kẻ từ $A$ đến $d$, nên độ dài đoạn $AH$ được gọi là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$.

Khi điểm $A$ nằm trên đường thẳng $d$, người ta quy ước khoảng cách từ $A$ đến $d$ bằng $0$.

Ví dụ: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $3\text{ cm}$, $M$ là một điểm trên cạnh $BC$.

a) Chỉ ra đường vuông góc và đường xiên kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$.

b) So sánh $AB$ và $AM$.

c) Tìm khoảng cách từ điểm $D$ đến đường thẳng $AB$.

Giải:

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \perp BC$. Do đó:

• Đường vuông góc từ $A$ đến đường thẳng $BC$ là $AB$.
• Đường xiên từ $A$ đến đường thẳng $BC$ là $AM$ (và $AC$).

b) Vì $AB$ là đường vuông góc, $AM$ là đường xiên kẻ từ $A$ đến $BC$ nên theo định lí: $AB < AM$.

c) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD \perp AB$. Chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $AB$ là $A$. Do đó khoảng cách từ $D$ đến đường thẳng $AB$ bằng $DA = 3\text{ cm}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết đường vuông góc, đường xiên và so sánh độ dài

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định đường vuông góc (đoạn nối từ điểm đến chân đường vuông góc trên đường thẳng, tạo góc $90°$).

Bước 2: Các đoạn thẳng còn lại kẻ từ điểm đó đến đường thẳng là đường xiên.

Bước 3: Áp dụng định lí: đường vuông góc ngắn nhất → so sánh được các đoạn.

Bài mẫu 1: Quan sát hình vẽ, tìm đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm $A$ đến đường thẳng $BF$. Trong các đường này, đường nào ngắn nhất?

Lời giải:

Đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BF$: $AD$.

Đường xiên kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BF$: $AB$, $AC$, $AE$, $AF$.

Theo định lí, đường vuông góc ngắn nhất nên $AD$ là đường ngắn nhất trong các đường $AB$, $AC$, $AD$, $AE$, $AF$.

Bài mẫu 2: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Trên đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $B$, lấy điểm $M$. So sánh $MB$ và $MC$, $MB$ và $MA$.

Lời giải:

Vì $MB \perp AC$ tại $B$ nên $MB$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến đường thẳng $AC$.

$MA$ và $MC$ là các đường xiên kẻ từ $M$ đến $AC$.

Theo định lí (đường vuông góc ngắn nhất):

$$MA > MB \quad \text{và} \quad MC > MB$$

Dạng 2: Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng chính là độ dài đường vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng.

Bước 1: Xác định chân đường vuông góc.

Bước 2: Tính độ dài đoạn vuông góc.

Chú ý: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh chính là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Bài mẫu 1: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?

Lời giải:

Có. Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh là đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó. Đây chính là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Bài mẫu 2: Bạn Minh xuất phát từ điểm $M$ bên hồ bơi. Bạn ấy muốn tìm đường ngắn nhất để bơi đến thành hồ đối diện. Theo em, bạn Minh phải bơi theo đường nào?

Lời giải:

Ta thấy $MA$ là đường vuông góc từ $M$ đến thành hồ $AD$.

$MB$, $MC$, $MD$ là các đường xiên từ $M$ đến $AD$.

Theo định lí, đường vuông góc ngắn nhất nên $MA$ có độ dài ngắn nhất.

Vậy Minh phải bơi theo đường $MA$.

Dạng 3: So sánh và chứng minh các đoạn thẳng dựa vào quan hệ đường vuông góc – đường xiên

Phương pháp giải:

Để chứng minh $MA < BC$ (hoặc so sánh các đoạn), ta thường:

• Chỉ ra đoạn nào là đường vuông góc, đoạn nào là đường xiên.
• Sử dụng tính chất: đường vuông góc < đường xiên.
• Kết hợp với quan hệ góc – cạnh đối diện trong tam giác (góc tù → cạnh đối diện lớn nhất) để “nối chuỗi” bất đẳng thức.

Bài mẫu 1: Quan sát hình vẽ, trong đó $BA \perp AC$ và $MA \perp AB$.

a) Tìm đoạn ngắn nhất trong các đoạn $BA$, $BM$, $BC$.

b) Tìm đoạn ngắn nhất trong các đoạn $MA$, $MN$, $MB$.

c) Chứng minh rằng $MA < BC$.

Lời giải:

a) $BA$ là đường vuông góc kẻ từ $B$ đến $AC$.

$BM$ và $BC$ là đường xiên kẻ từ $B$ đến $AC$.

Theo định lí: $BA$ là đoạn ngắn nhất trong $BA$, $BM$, $BC$.

b) $MA$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB$.

$MN$ và $MB$ là đường xiên kẻ từ $M$ đến $AB$.

Theo định lí: $MA$ là đoạn ngắn nhất trong $MA$, $MN$, $MB$.

c) Từ câu b), ta có: $MA < MB$ … (1)

Xét góc $\widehat{BMC}$: vì $\widehat{BMA} + \widehat{BMC} = 180°$ (hai góc kề bù).

Trong tam giác $ABM$ vuông tại $A$: $\widehat{BAM} + \widehat{ABM} = 180° – \widehat{BMA}$.

Do đó $\widehat{BMC} = \widehat{BAM} + \widehat{ABM} = 90° + \widehat{ABM} > 90°$.

Vậy $\widehat{BMC}$ là góc tù. Trong tam giác $BMC$, góc tù $\widehat{BMC}$ là góc lớn nhất nên cạnh đối diện $BC$ là cạnh lớn nhất.

Do đó: $BM < BC$ … (2)

Từ (1) và (2): $MA < MB < BC$, suy ra $MA < BC$. ∎

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} > 45°$. Lấy điểm $K$ bất kỳ thuộc đoạn $AC$. So sánh $BK$ và $BC$.

Lời giải:

Xét góc $\widehat{BKC}$: vì $\widehat{BKC} + \widehat{BKA} = 180°$ (hai góc kề bù).

Trong tam giác $ABK$ vuông tại $A$ (vì $\widehat{A} = 90°$):

$$\widehat{BAK} + \widehat{ABK} = 180° – \widehat{BKA}$$

Do đó: $\widehat{BKC} = \widehat{BAK} + \widehat{ABK} = 90° + \widehat{ABK} > 90°$.

Vậy $\widehat{BKC}$ là góc tù. Trong tam giác $BKC$, góc tù $\widehat{BKC}$ là góc lớn nhất nên cạnh đối diện $BC$ là cạnh lớn nhất.

Do đó: $BK < BC$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Nhận biết nhanh đường vuông góc: Trong hình vẽ, tìm đoạn thẳng có ký hiệu góc vuông (□) tại chân — đó là đường vuông góc. Tất cả đoạn còn lại kẻ từ cùng điểm đến cùng đường thẳng đều là đường xiên.

Mẹo 2 – “Vuông góc luôn ngắn nhất”: Bất kể hình vẽ phức tạp thế nào, chỉ cần xác định được đường vuông góc thì nó chắc chắn ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ cùng điểm.

Mẹo 3 – Kỹ thuật “góc kề bù → góc tù”: Khi cần chứng minh $BK < BC$, hãy xét góc $\widehat{BKC}$. Nếu $\widehat{BKA} + \widehat{BKC} = 180°$ và $\widehat{BKA} < 90°$ (vì tam giác vuông tại $A$) thì $\widehat{BKC} > 90°$. Tam giác có góc tù → cạnh đối diện góc tù lớn nhất → kết luận ngay.

Tổng kết

Khái niệm:

• Đường vuông góc $AH$: đoạn kẻ từ $A$ vuông góc với đường thẳng $d$ tại $H$.
• Đường xiên $AM$: đoạn kẻ từ $A$ đến một điểm $M$ bất kỳ trên $d$ ($M \neq H$).

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng, đường vuông góc ngắn nhất.

$$AH < AM \quad (\forall M \in d,; M \neq H)$$

Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$: Độ dài đoạn vuông góc $AH$.

Ứng dụng: So sánh các đoạn thẳng bằng cách xác định đường vuông góc – đường xiên, kết hợp quan hệ góc – cạnh đối diện trong tam giác.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du