Làm quen với phép chia đa thức

Ở các bài trước, ta đã học phép cộng, trừ và nhân đa thức. Bài này sẽ hoàn thiện bộ bốn phép tính với phần cuối cùng — phép chia đa thức, bao gồm cả trường hợp chia hết và chia có dư.

Phép chia hết

Cho hai đa thức $A$ và $B$ với $B \neq 0$. Nếu tồn tại đa thức $Q$ sao cho $A = B \cdot Q$, thì ta có phép chia hết:

$$A : B = Q \quad \text{hay} \quad \dfrac{A}{B} = Q$$

Trong đó: $A$ là đa thức bị chia, $B$ là đa thức chia, $Q$ là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Chia hai đơn thức

Cho hai đơn thức $ax^m$ và $bx^n$ (với $m, n \in \mathbb{N}$; $a, b \in \mathbb{R}$ và $b \neq 0$). Nếu $m \geq n$ thì phép chia $ax^m$ cho $bx^n$ là phép chia hết:

$$ax^m : bx^n = \dfrac{a}{b} \cdot x^{m-n} \qquad \text{(quy ước } x^0 = 1\text{)}$$

Cách thực hiện: chia hệ số cho hệ số, trừ số mũ của biến.

Ví dụ:

• $8x^5 : 2x^3 = \dfrac{8}{2} \cdot x^{5-3} = 4x^2$
• $(-15x^6) : 5x^2 = \dfrac{-15}{5} \cdot x^{6-2} = -3x^4$
• $0{,}6x^3 : (-3x) = \dfrac{0{,}6}{-3} \cdot x^{3-1} = -0{,}2x^2$

Chia đa thức cho đa thức – Trường hợp chia hết

Chia đa thức cho đơn thức

Khi chia đa thức cho một đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó rồi cộng các kết quả lại (không cần đặt tính chia).

Ví dụ: $(-8x^5 + 6x^4 – 4x^3) : 2x^3$

$$= (-8x^5 : 2x^3) + (6x^4 : 2x^3) + (-4x^3 : 2x^3)$$

$$= -4x^2 + 3x – 2$$

Chia đa thức cho đa thức (đặt tính chia)

Khi chia đa thức cho đa thức (bậc $\geq 2$), ta thực hiện đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên, theo các bước lặp lại:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia → được một hạng tử của thương.

Bước 2: Lấy đa thức bị chia (hoặc dư trước đó) trừ đi tích của đa thức chia với hạng tử thương vừa tìm → được dư mới.

Bước 3: Lặp lại với dư mới cho đến khi dư bằng $0$ (chia hết) hoặc bậc của dư nhỏ hơn bậc đa thức chia (chia có dư).

Ví dụ: Chia $A = 3x^4 – 7x^3 + 6x^2 + 5x – 2$ cho $B = x^2 – 2x + 1$.

$$\begin{array}{r|l} 3x^4 – 7x^3 + 6x^2 + 5x – 2 & x^2 – 2x + 1 \\ \hline 3x^4 – 6x^3 + 3x^2 & 3x^2 – x – 2 \\ \hline \quad -x^3 + 3x^2 + 5x – 2 & \\ \quad -x^3 + 2x^2 – x & \\ \hline \qquad\quad x^2 + 6x – 2 & \\ \qquad\quad \text{(tiếp tục…)} & \end{array}$$

Không trình bày hết bảng chia dạng text — ta giải theo hàng:

• $3x^4 : x^2 = 3x^2$. Trừ: $A – B \cdot 3x^2 = -x^3 + 3x^2 + 5x – 2$ (dư 1).
• $-x^3 : x^2 = -x$. Trừ: dư 1 $- B \cdot (-x) = x^2 + 6x – 2$ (dư 2).
• $x^2 : x^2 = 1$. Trừ: dư 2 $- B \cdot 1 = x^2 + 6x – 2 – (x^2 – 2x + 1) = 8x – 3$.

Vì bậc dư ($8x – 3$, bậc 1) nhỏ hơn bậc $B$ (bậc 2), nên dừng.

Đây là phép chia có dư: thương $Q = 3x^2 – x + 1$, dư $R = 8x – 3$.

Lưu ý: Nếu đa thức bị chia khuyết hạng tử bậc nào đó, nên viết thêm hạng tử đó với hệ số $0$ để dễ thực hiện phép chia.

Chia đa thức cho đa thức – Trường hợp chia có dư

Khi chia đa thức $A$ cho đa thức $B$, nếu dư cuối cùng $R \neq 0$ (nhưng bậc $R$ nhỏ hơn bậc $B$), ta có phép chia có dư:

$$A = B \cdot Q + R$$

Trong đó:

• $Q$ là đa thức thương.
• $R$ là đa thức dư (bậc của $R$ nhỏ hơn bậc của $B$, hoặc $R = 0$).

Trường hợp $R = 0$ chính là phép chia hết.

Ví dụ: Chia $D = 4x^3 – 2x^2 + 3x + 5$ cho $E = x^2 + 2$.

Viết $E = x^2 + 0x + 2$ cho dễ tính.

• $4x^3 : x^2 = 4x$. Trừ: $D – E \cdot 4x = (4x^3 – 2x^2 + 3x + 5) – (4x^3 + 8x) = -2x^2 – 5x + 5$ (dư 1).
• $-2x^2 : x^2 = -2$. Trừ: dư 1 $- E \cdot (-2) = (-2x^2 – 5x + 5) – (-2x^2 – 4) = -5x + 9$ (dư 2).

Bậc dư 2 ($-5x + 9$, bậc 1) nhỏ hơn bậc $E$ (bậc 2) → dừng.

Thương: $Q = 4x – 2$. Dư: $R = -5x + 9$.

Kiểm tra: $E \cdot Q + R = (x^2 + 2)(4x – 2) + (-5x + 9) = 4x^3 – 2x^2 + 8x – 4 – 5x + 9 = 4x^3 – 2x^2 + 3x + 5 = D$. ✓

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Chia đơn thức cho đơn thức

Phương pháp giải: Chia hệ số cho hệ số, trừ số mũ của biến. Điều kiện: số mũ đa thức bị chia $\geq$ số mũ đa thức chia.

Bài mẫu: Tính:

a) $8x^5 : 4x^3$ b) $120x^7 : (-24x^5)$ c) $-3{,}72x^4 : (-4x^2)$

Lời giải:

a) $8x^5 : 4x^3 = \dfrac{8}{4} \cdot x^{5-3} = 2x^2$

b) $120x^7 : (-24x^5) = \dfrac{120}{-24} \cdot x^{7-5} = -5x^2$

c) $-3{,}72x^4 : (-4x^2) = \dfrac{-3{,}72}{-4} \cdot x^{4-2} = 0{,}93x^2$

Dạng 2: Chia đa thức cho đơn thức

Phương pháp giải: Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức, rồi cộng các kết quả.

Bài mẫu 1: Tính $(-5x^3 + 15x^2 + 18x) : (-5x)$.

Lời giải:

$$= \dfrac{-5x^3}{-5x} + \dfrac{15x^2}{-5x} + \dfrac{18x}{-5x}$$

$$= x^2 – 3x – \dfrac{18}{5}$$

Bài mẫu 2: Tính $(-2x^5 – 4x^3 + 3x^2) : 2x^2$.

Lời giải:

$$= \dfrac{-2x^5}{2x^2} + \dfrac{-4x^3}{2x^2} + \dfrac{3x^2}{2x^2}$$

$$= -x^3 – 2x + \dfrac{3}{2}$$

Dạng 3: Chia đa thức cho đa thức (đặt tính chia)

Phương pháp giải:

Đặt tính chia theo các bước lặp:

1. Chia hạng tử bậc cao nhất của bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của chia → hạng tử thương.
2. Nhân đa thức chia với hạng tử thương vừa tìm.
3. Lấy bị chia (hoặc dư trước) trừ đi tích → dư mới.
4. Lặp lại đến khi dư = 0 hoặc bậc dư < bậc chia.

Bài mẫu 1: Chia $(6x^3 – 2x^2 – 9x + 3)$ cho $(3x – 1)$.

Lời giải:

• $6x^3 : 3x = 2x^2$. Trừ: $(6x^3 – 2x^2 – 9x + 3) – (6x^3 – 2x^2) = -9x + 3$ (dư 1).
• $-9x : 3x = -3$. Trừ: $(-9x + 3) – (-9x + 3) = 0$.

Dư bằng $0$ → chia hết.

Thương: $Q = 2x^2 – 3$.

Kiểm tra: $(3x – 1)(2x^2 – 3) = 6x^3 – 9x – 2x^2 + 3 = 6x^3 – 2x^2 – 9x + 3$. ✓

Bài mẫu 2: Chia $(4x^4 + 14x^3 – 21x – 9)$ cho $(2x^2 – 3)$.

Lời giải:

Viết bị chia đầy đủ: $4x^4 + 14x^3 + 0x^2 – 21x – 9$.

• $4x^4 : 2x^2 = 2x^2$. Trừ: $(4x^4 + 14x^3 + 0x^2 – 21x – 9) – (4x^4 – 6x^2) = 14x^3 + 6x^2 – 21x – 9$ (dư 1).
• $14x^3 : 2x^2 = 7x$. Trừ: $(14x^3 + 6x^2 – 21x – 9) – (14x^3 – 21x) = 6x^2 – 9$ (dư 2).
• $6x^2 : 2x^2 = 3$. Trừ: $(6x^2 – 9) – (6x^2 – 9) = 0$.

Chia hết. Thương: $Q = 2x^2 + 7x + 3$.

Dạng 4: Phép chia có dư — tìm thương và dư

Phương pháp giải: Thực hiện đặt tính chia giống dạng 3. Khi bậc dư nhỏ hơn bậc đa thức chia → dừng. Viết kết quả dạng $A = B \cdot Q + R$.

Bài mẫu 1: Tìm thương $Q(x)$ và dư $R(x)$ khi chia $F(x) = 12x^4 + 10x^3 – x – 3$ cho $G(x) = 3x^2 + x + 1$.

Lời giải:

Viết $F(x) = 12x^4 + 10x^3 + 0x^2 – x – 3$.

• $12x^4 : 3x^2 = 4x^2$. Trừ: $F – G \cdot 4x^2 = (12x^4 + 10x^3 – x – 3) – (12x^4 + 4x^3 + 4x^2) = 6x^3 – 4x^2 – x – 3$ (dư 1).
• $6x^3 : 3x^2 = 2x$. Trừ: dư 1 $- G \cdot 2x = (6x^3 – 4x^2 – x – 3) – (6x^3 + 2x^2 + 2x) = -6x^2 – 3x – 3$ (dư 2).
• $-6x^2 : 3x^2 = -2$. Trừ: dư 2 $- G \cdot (-2) = (-6x^2 – 3x – 3) – (-6x^2 – 2x – 2) = -x – 1$ (dư 3).

Bậc dư 3 ($-x – 1$, bậc 1) < bậc $G$ (bậc 2) → dừng.

Thương: $Q(x) = 4x^2 + 2x – 2$. Dư: $R(x) = -x – 1$.

$$F(x) = G(x) \cdot Q(x) + R(x) = (3x^2 + x + 1)(4x^2 + 2x – 2) + (-x – 1)$$

Bài mẫu 2: Bạn Tâm muốn tìm thương và dư khi chia $21x – 4$ cho $3x^2$.

Lời giải:

Đa thức bị chia $21x – 4$ có bậc 1, đa thức chia $3x^2$ có bậc 2.

Vì bậc bị chia ($1$) nhỏ hơn bậc chia ($2$), nên phép chia không thực hiện được theo cách thông thường.

Kết quả: Thương $Q = 0$, dư $R = 21x – 4$.

$$21x – 4 = 3x^2 \cdot 0 + (21x – 4)$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Kiểm tra bằng nhân ngược: Sau khi chia xong, kiểm tra $B \cdot Q + R = A$. Nếu đúng thì kết quả chính xác.

Mẹo 2 – Bậc thương = Bậc bị chia − Bậc chia: Dùng để ước lượng nhanh thương có bao nhiêu hạng tử (ví dụ: bậc 4 chia bậc 2 → thương bậc 2, tức khoảng 3 hạng tử).

Mẹo 3 – Chia cho đơn thức không cần đặt tính: Chỉ cần chia từng hạng tử, nhanh hơn nhiều so với đặt tính chia.

Mẹo 4 – Nhận biết nhanh dư: Nếu bậc bị chia nhỏ hơn bậc chia → thương bằng $0$, dư chính là đa thức bị chia.

Tổng kết

Chia đơn thức cho đơn thức: $ax^m : bx^n = \dfrac{a}{b} x^{m-n}$ (với $m \geq n$, $b \neq 0$).

Chia đa thức cho đơn thức: Chia từng hạng tử, cộng kết quả.

Chia đa thức cho đa thức: Đặt tính chia theo các bước lặp (chia → nhân → trừ → lặp lại).

Phép chia có dư: $A = B \cdot Q + R$, trong đó bậc $R$ < bậc $B$ (hoặc $R = 0$).

Phép chia hết: Trường hợp đặc biệt khi $R = 0$, tức $A = B \cdot Q$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du