Tỉ lệ thức là gì?

Trong đời sống, ta thường gặp những tình huống mà hai tỉ số có giá trị bằng nhau. Chẳng hạn, dù lá quốc kỳ Việt Nam có kích thước lớn hay nhỏ thì tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài luôn bằng $\dfrac{2}{3}$. Đây chính là cơ sở để hình thành khái niệm tỉ lệ thức.

Khi hai tỉ số bằng nhau, ta viết chúng thành một đẳng thức và gọi đẳng thức đó là tỉ lệ thức.

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad (b \neq 0,; d \neq 0)$$

Tỉ lệ thức trên còn được viết dưới dạng: $a : b = c : d$.

Trong đó:

• $a$ và $d$ được gọi là ngoại tỉ (hai số nằm ở ngoài).
• $b$ và $c$ được gọi là trung tỉ (hai số nằm ở trong).

Ví dụ: Kiểm tra xem hai tỉ số $8 : 12$ và $\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8}$ có lập thành một tỉ lệ thức hay không.

Ta có:

$$8 : 12 = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$$

$$\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$$

Vì cả hai tỉ số đều bằng $\dfrac{2}{3}$ nên ta có tỉ lệ thức:

$$8 : 12 = \dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8}$$

Lưu ý: Tỉ lệ thức không chỉ là đẳng thức giữa hai phân số. Nó là đẳng thức giữa hai tỉ số bất kỳ, mà tỉ số có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau (phân số, số thập phân, số nguyên…).

Tính chất của tỉ lệ thức

Tính chất 1 – Tích chéo

Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $a \cdot d = b \cdot c$.

Nói cách khác, trong một tỉ lệ thức, tích của hai ngoại tỉ bằng tích của hai trung tỉ.

Ví dụ: Xét tỉ lệ thức $\dfrac{8}{12} = \dfrac{10}{15}$.

• Tích hai ngoại tỉ: $8 \times 15 = 120$.
• Tích hai trung tỉ: $12 \times 10 = 120$.

Hai tích chéo bằng nhau, phù hợp với tính chất.

Tính chất 2 – Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức tích

Ngược lại, nếu $a \cdot d = b \cdot c$ (với $a,, b,, c,, d \neq 0$) thì ta lập được bốn tỉ lệ thức:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \qquad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \qquad \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a} \qquad \dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}$$

Cách nhớ: Hai số nằm cùng một vế trong đẳng thức tích sẽ nằm cùng hàng (cùng tử hoặc cùng mẫu) trong tỉ lệ thức.

Ví dụ: Từ đẳng thức $3 \times 30 = 5 \times 18$, ta lập được các tỉ lệ thức:

$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{30} \qquad \dfrac{3}{18} = \dfrac{5}{30} \qquad \dfrac{30}{5} = \dfrac{18}{3} \qquad \dfrac{30}{18} = \dfrac{5}{3}$$

Tính chất 3 – Tìm thành phần chưa biết

Từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, ta suy ra:

$$a = \dfrac{b \cdot c}{d} \qquad b = \dfrac{a \cdot d}{c} \qquad c = \dfrac{a \cdot d}{b} \qquad d = \dfrac{b \cdot c}{a}$$

Ví dụ: Phương và các bạn muốn làm lá quốc kỳ Việt Nam bằng giấy với chiều rộng $16\text{ cm}$, đảm bảo đúng tỉ lệ $2 : 3$. Tìm chiều dài của lá cờ.

Gọi $x$ (cm) là chiều dài cần tìm. Ta có tỉ lệ thức:

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{x}$$

Suy ra: $x = \dfrac{3 \times 16}{2} = 24\text{ (cm)}$.

Vậy chiều dài của lá cờ là $24\text{ cm}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức tích

Phương pháp giải:

Cho đẳng thức tích $a \cdot b = c \cdot d$, ta lập tỉ lệ thức bằng cách chia cả hai vế cho cùng một tích của hai số (một số ở vế trái, một số ở vế phải). Kết quả cho ra 4 tỉ lệ thức.

Ví dụ 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $0{,}2 \times 4{,}5 = 0{,}6 \times 1{,}5$.

Lời giải:

Ta có: $0{,}2 \times 4{,}5 = 0{,}9$ và $0{,}6 \times 1{,}5 = 0{,}9$. Vậy đẳng thức đúng.

Chia cả hai vế cho $0{,}6 \times 4{,}5$:

$$\dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \dfrac{1{,}5}{4{,}5}$$

Chia cả hai vế cho $0{,}2 \times 1{,}5$:

$$\dfrac{4{,}5}{1{,}5} = \dfrac{0{,}6}{0{,}2}$$

Chia cả hai vế cho $0{,}6 \times 0{,}2$:

$$\dfrac{4{,}5}{0{,}6} = \dfrac{1{,}5}{0{,}2} \quad \text{(hoặc viết ngược lại)}$$

Chia cả hai vế cho $4{,}5 \times 1{,}5$:

$$\dfrac{0{,}2}{1{,}5} = \dfrac{0{,}6}{4{,}5}$$

Vậy bốn tỉ lệ thức là:

$$\dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \dfrac{1{,}5}{4{,}5} \qquad \dfrac{0{,}2}{1{,}5} = \dfrac{0{,}6}{4{,}5}$$

$$\dfrac{4{,}5}{0{,}6} = \dfrac{1{,}5}{0{,}2} \qquad \dfrac{4{,}5}{1{,}5} = \dfrac{0{,}6}{0{,}2}$$

Ví dụ 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $14 \cdot (-15) = (-10) \cdot 21$.

Lời giải:

Kiểm tra: $14 \times (-15) = -210$ và $(-10) \times 21 = -210$. Đẳng thức đúng.

Áp dụng tính chất, ta lập được bốn tỉ lệ thức:

$$\dfrac{14}{-10} = \dfrac{21}{-15} \qquad \dfrac{14}{21} = \dfrac{-10}{-15}$$

$$\dfrac{-15}{-10} = \dfrac{21}{14} \qquad \dfrac{-15}{21} = \dfrac{-10}{14}$$

Dạng 2: Tìm $x$ trong tỉ lệ thức

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích chéo: từ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ suy ra $a \cdot d = b \cdot c$, sau đó giải tìm $x$.

Mức cơ bản

Ví dụ 1: Tìm $x$, biết $\dfrac{x}{8} = \dfrac{7}{4}$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$x \cdot 4 = 8 \cdot 7$$

$$4x = 56$$

$$x = \dfrac{56}{4} = 14$$

Ví dụ 2: Tìm $x$, biết $\dfrac{15}{x} = \dfrac{10}{4}$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$15 \cdot 4 = x \cdot 10$$

$$60 = 10x$$

$$x = \dfrac{60}{10} = 6$$

Ví dụ 3: Tìm $x$, biết $\dfrac{x}{-6} = \dfrac{-8}{15}$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$x \cdot 15 = (-6) \cdot (-8)$$

$$15x = 48$$

$$x = \dfrac{48}{15} = \dfrac{16}{5}$$

Mức nâng cao

Ví dụ 4: Tìm $x$, biết $\dfrac{x – 1}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$(x – 1) \cdot 2 = 4 \cdot 1$$

$$2(x – 1) = 4$$

$$2x – 2 = 4$$

$$2x = 6$$

$$x = 3$$

Ví dụ 5: Tìm $x$, biết $\dfrac{15}{2x – 1} = \dfrac{5}{3}$.

Lời giải:

Điều kiện: $2x – 1 \neq 0$, tức $x \neq \dfrac{1}{2}$.

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$15 \cdot 3 = 5 \cdot (2x – 1)$$

$$45 = 5(2x – 1)$$

$$45 = 10x – 5$$

$$10x = 50$$

$$x = 5 \quad (\text{thoả mãn điều kiện})$$

Ví dụ 6: Tìm $x$, biết $\dfrac{x}{5} = \dfrac{20}{x}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x \neq 0$.

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$x \cdot x = 5 \cdot 20$$

$$x^2 = 100$$

Vì $10^2 = 100$ và $(-10)^2 = 100$, nên:

$$x = 10 \quad \text{hoặc} \quad x = -10$$

Cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện $x \neq 0$.

Ví dụ 7: Tìm $x$, biết $\dfrac{x – 2}{12} = \dfrac{3}{x – 2}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x – 2 \neq 0$, tức $x \neq 2$.

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$(x – 2) \cdot (x – 2) = 12 \cdot 3$$

$$(x – 2)^2 = 36$$

Vì $6^2 = 36$ và $(-6)^2 = 36$, nên:

• $x – 2 = 6 \Rightarrow x = 8$
• $x – 2 = -6 \Rightarrow x = -4$

Cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện. Vậy $x = 8$ hoặc $x = -4$.

Dạng 3: Bài toán thực tế

Phương pháp giải:

Xác định mối quan hệ tỉ lệ giữa các đại lượng, lập tỉ lệ thức rồi giải tìm giá trị cần tìm. Cần chú ý phân biệt:

• Tỉ lệ thuận: Đại lượng này tăng thì đại lượng kia cũng tăng → hai tỉ số cùng chiều.
• Tỉ lệ nghịch: Đại lượng này tăng thì đại lượng kia giảm → hai tỉ số ngược chiều.

Ví dụ 1: Để pha nước muối sinh lý, cứ 3 lít nước tinh khiết thì pha với 27 g muối. Hỏi nếu có 45 g muối thì cần bao nhiêu lít nước tinh khiết?

Lời giải:

Lượng nước và lượng muối là hai đại lượng tỉ lệ thuận (muối nhiều hơn thì cần nước nhiều hơn).

Gọi $x$ (lít) là lượng nước cần tìm. Ta lập tỉ lệ thức:

$$\dfrac{3}{x} = \dfrac{27}{45}$$

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$3 \cdot 45 = x \cdot 27$$

$$135 = 27x$$

$$x = \dfrac{135}{27} = 5 \text{ (lít)}$$

Vậy cần 5 lít nước tinh khiết.

Ví dụ 2: Để cày hết một cánh đồng trong 14 ngày cần sử dụng 18 máy cày. Hỏi muốn cày hết cánh đồng đó trong 12 ngày thì cần bao nhiêu máy cày? (Biết năng suất các máy là như nhau.)

Lời giải:

Số ngày và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (muốn xong nhanh hơn thì cần nhiều máy hơn).

Gọi $x$ (máy) là số máy cày cần tìm.

Vì tỉ lệ nghịch nên: số ngày giảm → số máy tăng. Ta lập tỉ lệ thức:

$$\dfrac{14}{12} = \dfrac{x}{18}$$

Áp dụng tính chất tích chéo:

$$14 \cdot 18 = 12 \cdot x$$

$$252 = 12x$$

$$x = \dfrac{252}{12} = 21 \text{ (máy)}$$

Vậy cần 21 máy cày để hoàn thành trong 12 ngày.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Kiểm tra tỉ lệ thức bằng tích chéo: Thay vì rút gọn cả hai tỉ số rồi so sánh, chỉ cần nhân chéo. Nếu $a \cdot d = b \cdot c$ thì $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

Mẹo 2 – Quy tắc ngoại tỉ – trung tỉ:

• Muốn tìm ngoại tỉ: lấy tích hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ còn lại.
• Muốn tìm trung tỉ: lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ còn lại.

$$a : b = c : d \implies a = \dfrac{b \cdot c}{d}, \quad d = \dfrac{b \cdot c}{a}$$

Mẹo 3 – Dạng $x^2 = k$: Nếu $k > 0$ thì luôn có hai nghiệm $x = \pm\sqrt{k}$. Nếu $k < 0$ thì vô nghiệm. Nếu $k = 0$ thì $x = 0$.

Tổng kết

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad (b,, d \neq 0)$$

Ba tính chất quan trọng cần nhớ:

• Tích chéo: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c$.
• Lập tỉ lệ thức: Từ đẳng thức $a \cdot d = b \cdot c$ (với $a, b, c, d \neq 0$) lập được 4 tỉ lệ thức.
• Tìm thành phần: Dùng tích chéo rồi chia cho thừa số còn lại.

Khi giải bài toán thực tế: Xác định quan hệ giữa các đại lượng (tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) → lập tỉ lệ thức đúng → áp dụng tích chéo để giải.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du