Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Hình hộp chữ nhật và hình lập phương là những hình không gian quen thuộc trong đời sống: hộp quà, viên gạch, con xúc xắc, tủ lạnh… Ở Tiểu học, ta đã biết cách tính diện tích và thể tích của chúng. Trong bài này, ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn các yếu tố cơ bản và giải quyết các bài toán thực tế.

Một số yếu tố cơ bản

Hình hộp chữ nhật có:

• 6 mặt là các hình chữ nhật (gồm 2 mặt đáy và 4 mặt bên).
• 8 đỉnh.
• 12 cạnh (gồm 4 cạnh đáy trên, 4 cạnh đáy dưới, 4 cạnh bên). Các cạnh bên song song và bằng nhau.
• 4 đường chéo (đoạn nối hai đỉnh đối diện không cùng nằm trên một mặt).

Ba kích thước của hình hộp chữ nhật là chiều dài $a$, chiều rộng $b$ và chiều cao $c$.

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật đặc biệt có 6 mặt đều là hình vuông (tức $a = b = c$). Hình lập phương cũng có 8 đỉnh, 12 cạnh và 4 đường chéo.

Ví dụ: Hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có:

• 8 đỉnh: $A,, B,, C,, D,, A’,, B’,, C’,, D’$.
• 12 cạnh: $AB,, BC,, CD,, DA,, A’B’,, B’C’,, C’D’,, D’A’,, AA’,, BB’,, CC’,, DD’$.
• 4 đường chéo: $AC’,, B’D,, A’C,, BD’$.
• Mặt đáy: $ABCD$ và $A’B’C’D’$. Mặt bên: $ABB’A’$, $BCC’B’$, $CDD’C’$, $DAA’D’$.

Diện tích xung quanh và thể tích

Diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật bằng tổng diện tích bốn mặt bên, hay bằng tích của chu vi đáy và chiều cao:

$$S_{xq} = 2(a + b) \cdot c$$

Diện tích xung quanh của hình lập phương (cạnh $a$):

$$S_{xq} = 4a^2$$

Diện tích toàn phần (nếu cần) bằng diện tích xung quanh cộng diện tích hai đáy:

$$S_{tp} = 2(a + b) \cdot c + 2ab = 2(ab + bc + ca)$$

Chú ý: Khi tính diện tích hoặc thể tích, các kích thước phải cùng đơn vị độ dài.

Thể tích

$$\text{Thể tích hình hộp chữ nhật: } V = a \cdot b \cdot c$$

$$\text{Thể tích hình lập phương: } V = a^3$$

Ví dụ: Tính thể tích hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $12\text{ cm}$, chiều rộng $8\text{ cm}$, chiều cao $18\text{ cm}$.

Giải:

$$V = 12 \times 8 \times 18 = 1\,728\text{ (cm}^3\text{)}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định ba kích thước $a$ (chiều dài), $b$ (chiều rộng), $c$ (chiều cao). Đổi về cùng đơn vị nếu cần.

Bước 2: Áp dụng $S_{xq} = 2(a + b) \cdot c$ (hình hộp chữ nhật) hoặc $S_{xq} = 4a^2$ (hình lập phương).

Bước 3: Nếu bài yêu cầu diện tích toàn phần hoặc diện tích vật liệu (có nắp/không nắp), cộng thêm diện tích đáy phù hợp.

Bài mẫu 1: Bác Tú thuê thợ sơn xung quanh bốn mặt ngoài thành bể nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài $3\text{ m}$, chiều rộng $2\text{ m}$, chiều cao $1{,}5\text{ m}$ với giá $20\,000$ đồng/m². Hỏi bác Tú phải trả chi phí bao nhiêu?

Lời giải:

Diện tích xung quanh của bể nước:

$$S_{xq} = 2 \cdot (3 + 2) \cdot 1{,}5 = 2 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 15\text{ (m}^2\text{)}$$

Chi phí bác Tú phải trả:

$$15 \times 20\,000 = 300\,000\text{ (đồng)}$$

Bài mẫu 2: Một hộp sữa tươi dạng hình hộp chữ nhật có dung tích $1$ lít, chiều cao $20\text{ cm}$, chiều dài $10\text{ cm}$.

a) Tính chiều rộng của hộp sữa.

b) Tính diện tích vật liệu dùng để làm vỏ hộp (coi mép hộp không đáng kể).

Lời giải:

Đổi: $1\text{ lít} = 1\,000\text{ cm}^3$.

a) Chiều rộng của hộp sữa:

$$b = \dfrac{1\,000}{20 \times 10} = \dfrac{1\,000}{200} = 5\text{ (cm)}$$

b) Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2 \cdot (10 + 5) \cdot 20 = 600\text{ (cm}^2\text{)}$.

Diện tích hai đáy: $2 \times 10 \times 5 = 100\text{ (cm}^2\text{)}$.

Diện tích vật liệu: $600 + 100 = 700\text{ (cm}^2\text{)}$.

Dạng 2: Tính thể tích

Phương pháp giải:

• Hình hộp chữ nhật: $V = a \cdot b \cdot c$.
• Hình lập phương: $V = a^3$.
• Nếu biết diện tích xung quanh của hình lập phương → tìm $a$ từ $4a^2 = S_{xq}$ → tính $V = a^3$.
• Nếu bài cho dung tích (lít) → đổi $1\text{ lít} = 1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3$.

Bài mẫu 1: Một hình lập phương có cạnh $a\text{ cm}$, diện tích xung quanh bằng $100\text{ cm}^2$. Tính thể tích của hình lập phương.

Lời giải:

Diện tích xung quanh hình lập phương: $S_{xq} = 4a^2 = 100$.

$$a^2 = \dfrac{100}{4} = 25 \quad \Rightarrow \quad a = 5\text{ cm} ;(\text{vì } a > 0)$$

Thể tích:

$$V = a^3 = 5^3 = 125\text{ (cm}^3\text{)}$$

Bài mẫu 2: Một xe đông lạnh có thùng hàng dạng hình hộp chữ nhật, kích thước lòng thùng dài $5{,}6\text{ m}$, rộng $2\text{ m}$, cao $2\text{ m}$. Tính thể tích lòng thùng.

Lời giải:

$$V = 5{,}6 \times 2 \times 2 = 22{,}4\text{ (m}^3\text{)}$$

Dạng 3: Bài toán thực tế tổng hợp

Phương pháp giải:

Phân tích đề bài để xác định cần tính diện tích hay thể tích. Chú ý:

• Bài toán bể nước: dung tích = thể tích lòng bể. Khi cho/thêm nước → thể tích thay đổi theo chiều cao mực nước.
• Bài toán hộp không nắp: diện tích = $S_{xq}$ + diện tích một đáy (thay vì hai đáy).
• Bài toán sơn hai mặt (trong và ngoài): diện tích sơn gấp đôi.

Bài mẫu 1: Một bể nước hình hộp chữ nhật có kích thước lòng bể: dài $4\text{ m}$, rộng $3\text{ m}$, cao $2{,}5\text{ m}$. Biết $\dfrac{3}{4}$ bể đang chứa nước. Tính thể tích phần bể không chứa nước.

Lời giải:

Thể tích bể nước:

$$V = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30\text{ (m}^3\text{)}$$

Thể tích phần bể chứa nước:

$$V_{\text{nước}} = \dfrac{3}{4} \times 30 = 22{,}5\text{ (m}^3\text{)}$$

Thể tích phần bể không chứa nước:

$$V_{\text{không nước}} = 30 – 22{,}5 = 7{,}5\text{ (m}^3\text{)}$$

Bài mẫu 2: Một chiếc hộp hình lập phương không có nắp được sơn cả mặt trong và mặt ngoài. Diện tích phải sơn tổng cộng là $5\,760\text{ cm}^2$. Tính thể tích hình lập phương.

Lời giải:

Hộp không nắp gồm 5 mặt hình vuông, mỗi mặt được sơn cả hai phía (trong và ngoài).

Diện tích mỗi mặt hình vuông:

$$S_1 = \dfrac{5\,760}{5 \times 2} = 576\text{ (cm}^2\text{)}$$

Vì $576 = 24^2$, nên cạnh hình lập phương $a = 24\text{ cm}$.

Thể tích:

$$V = 24^3 = 13\,824\text{ (cm}^3\text{)}$$

Bài mẫu 3: Một bể cá hình hộp chữ nhật bằng kính (không nắp) có chiều dài $80\text{ cm}$, chiều rộng $50\text{ cm}$. Mực nước ban đầu cao $35\text{ cm}$. Cho vào bể một hòn đá thì thể tích nước tăng thêm $20\,000\text{ cm}^3$. Tính mực nước lúc sau.

Lời giải:

Thể tích nước ban đầu: $V = 80 \times 50 \times 35 = 140\,000\text{ (cm}^3\text{)}$.

Thể tích nước sau khi thả đá: $V_1 = 140\,000 + 20\,000 = 160\,000\text{ (cm}^3\text{)}$.

Chiều dài và chiều rộng không đổi, gọi $h$ (cm) là mực nước lúc sau:

$$80 \times 50 \times h = 160\,000$$

$$h = \dfrac{160\,000}{80 \times 50} = \dfrac{160\,000}{4\,000} = 40\text{ (cm)}$$

Vậy mực nước lúc sau cao $40\text{ cm}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Đổi đơn vị thể tích: $1\text{ lít} = 1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3$. $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ lít}$.

Mẹo 2 – Tìm cạnh lập phương từ $S_{xq}$: $S_{xq} = 4a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\dfrac{S_{xq}}{4}}$. Từ $S_{tp} = 6a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\dfrac{S_{tp}}{6}}$.

Mẹo 3 – Bài toán bể nước: Khi chiều dài và chiều rộng không đổi, thể tích nước thay đổi chỉ do chiều cao mực nước thay đổi: $\Delta V = a \cdot b \cdot \Delta h$.

Tổng kết

Hình hộp chữ nhật (ba kích thước $a$, $b$, $c$):

$$S_{xq} = 2(a + b) \cdot c \qquad V = a \cdot b \cdot c$$

Hình lập phương (cạnh $a$):

$$S_{xq} = 4a^2 \qquad V = a^3$$

Các yếu tố cơ bản: 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt, 4 đường chéo. Hình lập phương là trường hợp đặc biệt khi 6 mặt đều là hình vuông.

Lưu ý quan trọng: Luôn đổi về cùng đơn vị trước khi tính. Phân biệt rõ $S_{xq}$ (4 mặt bên) và $S_{tp}$ (6 mặt).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du