Xác suất của biến cố

Ở bài trước, ta đã phân biệt được ba loại biến cố: chắc chắn, không thể và ngẫu nhiên. Tuy nhiên, với biến cố ngẫu nhiên, ta chưa biết cách đo lường mức độ “có khả năng xảy ra” của nó. Bài này sẽ giúp ta làm quen với xác suất — công cụ đo lường khả năng xảy ra của biến cố bằng con số.

Xác suất là gì?

Khả năng xảy ra của một biến cố được đo lường bởi một số nhận giá trị từ $0$ đến $1$, gọi là xác suất của biến cố đó.

• Xác suất càng gần $1$ → biến cố càng có nhiều khả năng xảy ra.
• Xác suất càng gần $0$ → biến cố càng ít khả năng xảy ra.

$$0 \longleftarrow \text{Ít khả năng} \longrightarrow \dfrac{1}{2} \longleftarrow \text{Nhiều khả năng} \longrightarrow 1$$

Xác suất có thể được viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc phần trăm.

Ví dụ:

• Xác suất xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng xu cân đối là $\dfrac{1}{2}$ hay $50\%$.
• Bản tin thời tiết ghi: khả năng có mưa ngày mai là $65\%$.
• Xác suất trúng giải đặc biệt xổ số thường rất nhỏ, chẳng hạn $0{,}00001\%$.

Ví dụ: Các chuyên gia nhận định trước trận bóng đá giữa đội X và đội Y: xác suất thắng của đội X là $55\%$, xác suất thua là $30\%$, xác suất hoà là $15\%$. Hỏi đội nào có khả năng thắng cao hơn?

Giải: Xác suất thua của đội X là $30\%$, tức xác suất thắng của đội Y là $30\%$. Vì $55\% > 30\%$ nên đội X có khả năng thắng cao hơn.

Xác suất của một số biến cố đơn giản

Xác suất của biến cố chắc chắn và biến cố không thể

• Biến cố chắc chắn có xác suất bằng $\mathbf{1}$ (khả năng xảy ra là $100\%$).
• Biến cố không thể có xác suất bằng $\mathbf{0}$ (khả năng xảy ra là $0\%$).

Ví dụ:

• Xác suất biến cố “Tháng Tư có ít hơn $31$ ngày” bằng $1$ vì tháng Tư luôn có $30$ ngày → biến cố chắc chắn.
• Xác suất biến cố “Ngày mai, Mặt Trời mọc ở phía tây” bằng $0$ vì điều này không bao giờ xảy ra → biến cố không thể.

Xác suất của các biến cố đồng khả năng

Khi gieo một đồng xu cân đối, hai biến cố “xuất hiện mặt ngửa” và “xuất hiện mặt sấp” có khả năng xảy ra như nhau. Ta nói hai biến cố này là đồng khả năng.

Vì chỉ xảy ra một trong hai biến cố và chúng đồng khả năng, nên xác suất mỗi biến cố bằng $\dfrac{1}{2}$.

Tổng quát: Trong một trò chơi hay thí nghiệm, nếu có $k$ biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong $k$ biến cố đó, thì xác suất mỗi biến cố bằng:

$$P = \dfrac{1}{k}$$

Ví dụ: Trong buổi liên hoan, lớp chuẩn bị 8 lá phiếu giống nhau ghi số từ $1$ đến $8$, gấp lại đặt trong hộp. Mỗi bạn rút ngẫu nhiên một phiếu, trúng thưởng nếu rút được phiếu ghi số $3$. Bạn Hoa rút đầu tiên. Tìm xác suất Hoa trúng thưởng.

Giải:

Có 8 biến cố đồng khả năng: rút được phiếu ghi số $1$, số $2$, …, số $8$.

Vì các phiếu giống nhau và rút ngẫu nhiên nên mỗi biến cố có xác suất bằng $\dfrac{1}{8}$.

Xác suất Hoa trúng thưởng (rút được phiếu số $3$) là $\dfrac{1}{8}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định xác suất của biến cố chắc chắn và biến cố không thể

Phương pháp giải:

• Xác định biến cố thuộc loại nào (chắc chắn hay không thể).
• Biến cố chắc chắn → xác suất = $1$.
• Biến cố không thể → xác suất = $0$.

Bài mẫu 1: Mai và Việt mỗi người gieo một con xúc xắc. Tìm xác suất:

a) “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn $1$”.

b) “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn $36$”.

Lời giải:

a) Số chấm nhỏ nhất mỗi lần gieo là $1$, nên tổng nhỏ nhất là $1 + 1 = 2 > 1$. Biến cố luôn xảy ra → chắc chắn → xác suất bằng $\mathbf{1}$.

b) Số chấm lớn nhất mỗi lần gieo là $6$, nên tích lớn nhất là $6 \times 6 = 36$, không lớn hơn $36$. Biến cố không bao giờ xảy ra → không thể → xác suất bằng $\mathbf{0}$.

Bài mẫu 2: Gieo một con xúc xắc cân đối. Tìm xác suất:

• A: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn $7$”.
• B: “Số chấm xuất hiện là $0$”.

Lời giải:

• Biến cố A: Số chấm trên xúc xắc luôn từ $1$ đến $6$, đều nhỏ hơn $7$ → chắc chắn → $P(A) = 1$.
• Biến cố B: Không có mặt nào ghi $0$ chấm → không thể → $P(B) = 0$.

Dạng 2: Tính xác suất của biến cố đồng khả năng

Phương pháp giải:

Bước 1: Đếm tổng số kết quả có thể xảy ra ($k$ kết quả).

Bước 2: Kiểm tra các kết quả có đồng khả năng không (thường do các vật giống nhau, cân đối, ngẫu nhiên).

Bước 3: Xác suất mỗi biến cố đơn lẻ = $\dfrac{1}{k}$.

Bài mẫu 1: Paul chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp thức ăn giống nhau (một hộp gắn cờ Hà Lan, một hộp gắn cờ Tây Ban Nha). Tính xác suất Paul dự đoán đội Tây Ban Nha thắng.

Lời giải:

Có 2 hộp giống nhau, Paul chọn ngẫu nhiên → 2 biến cố đồng khả năng.

Xác suất chọn hộp Tây Ban Nha: $P = \dfrac{1}{2}$.

Bài mẫu 2: Một tổ có 5 bạn nam và 5 bạn nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên một bạn lên bảng. Xét:

• A: “Bạn được gọi là bạn nam”.
• B: “Bạn được gọi là bạn nữ”.

a) Hai biến cố A, B có đồng khả năng không?

b) Tìm xác suất A và B.

Lời giải:

a) Số bạn nam bằng số bạn nữ (đều là 5), nên A và B đồng khả năng.

b) Vì chỉ xảy ra A hoặc B, và chúng đồng khả năng:

$$P(A) = P(B) = \dfrac{1}{2}$$

Bài mẫu 3: Gieo một con xúc xắc cân đối. Tìm xác suất số chấm xuất hiện là $6$.

Lời giải:

Xúc xắc cân đối có 6 mặt, mỗi mặt có khả năng xuất hiện như nhau → 6 biến cố đồng khả năng.

Xác suất xuất hiện mặt $6$ chấm: $P = \dfrac{1}{6}$.

Dạng 3: Bài toán thực tế — so sánh và tính xác suất

Phương pháp giải:

• So sánh xác suất: biến cố nào có xác suất lớn hơn thì khả năng xảy ra cao hơn.
• Nếu đề cho dữ liệu thực tế (biểu đồ, bảng…): đọc dữ liệu → xác định số trường hợp thuận lợi và tổng số trường hợp → tính xác suất.

Bài mẫu 1: Một hộp có 6 chiếc thẻ cùng loại ghi số $2;, 4;, 6;, 8;, 10;, 12$. Lấy ngẫu nhiên một thẻ. Tìm xác suất:

a) “Thẻ lấy ra ghi số chia hết cho $2$”.

b) “Thẻ lấy ra ghi số chia hết cho $5$”.

Lời giải:

a) Tất cả 6 số $2, 4, 6, 8, 10, 12$ đều chia hết cho $2$ → biến cố chắc chắn → $P = 1$.

b) Trong $6$ số, chỉ có $10$ chia hết cho $5$. Các thẻ cùng loại nên đồng khả năng.

Xác suất: $P = \dfrac{1}{6}$.

Bài mẫu 2: Một hộp có 100 chiếc thẻ cùng loại ghi số từ $1$ đến $100$, chỉ có 1 thẻ được đánh dấu “Thẻ may mắn”. Bình lấy ngẫu nhiên 1 thẻ. Tìm xác suất lấy được Thẻ may mắn.

Lời giải:

Có 100 thẻ cùng loại, lấy ngẫu nhiên → 100 biến cố đồng khả năng.

Chỉ 1 thẻ là Thẻ may mắn, nên xác suất: $P = \dfrac{1}{100}$.

Bài mẫu 3: Đội múa có 1 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn phỏng vấn. Tính xác suất bạn được chọn là nam.

Lời giải:

Tổng cộng có $1 + 5 = 6$ bạn, mỗi bạn có cùng khả năng được chọn → 6 biến cố đồng khả năng.

Chỉ 1 bạn nam, nên xác suất: $P = \dfrac{1}{6}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Kiểm tra nhanh biến cố chắc chắn/không thể: Trước khi tính, hãy kiểm tra: biến cố có luôn xảy ra không ($P = 1$)? Có bao giờ xảy ra không ($P = 0$)? Nếu không thuộc hai trường hợp này mới cần tính cụ thể.

Mẹo 2 – Đếm $k$: Xác suất mỗi biến cố đồng khả năng = $\dfrac{1}{k}$. Chỉ cần đếm đúng tổng số kết quả $k$ là ra ngay.

Mẹo 3 – So sánh nhanh: Biến cố nào có xác suất lớn hơn thì khả năng xảy ra cao hơn. Có thể quy đồng mẫu số hoặc đổi ra phần trăm để so sánh.

Tổng kết

Xác suất là số đo lường khả năng xảy ra của biến cố, nhận giá trị từ $0$ đến $1$.

Biến cố đồng khả năng: Nếu có $k$ biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một, thì xác suất mỗi biến cố bằng $\dfrac{1}{k}$.

Nhận xét: Xác suất càng gần $1$ → càng nhiều khả năng xảy ra. Xác suất càng gần $0$ → càng ít khả năng xảy ra.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du