Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)

Ở bài trước, ta đã biết hai tam giác bằng nhau khi ba cạnh tương ứng bằng nhau (c.c.c). Tuy nhiên trong thực tế, nhiều khi không thể đo hết các cạnh. Vậy có cách nào khác không?

Góc xen giữa hai cạnh

Trong tam giác $ABC$, góc $\widehat{BAC}$ (hay góc $\widehat{A}$) được gọi là góc xen giữa hai cạnh $AB$ và $AC$.

Tương tự: $\widehat{B}$ là góc xen giữa $BA$ và $BC$; $\widehat{C}$ là góc xen giữa $CA$ và $CB$.

Định lí

Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lưu ý: Góc phải là góc xen giữa hai cạnh đã cho, không phải góc bất kì.

Ví dụ 1. Xét hai tam giác $ABC$ và $ADC$ trong Hình 4.30.

Ta có: $AB = AD$; $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$; $AC$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c.g.c).

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Góc – Cạnh – Góc (g.c.g)

Góc kề với cạnh

Trong tam giác $ABC$, hai góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ (hay góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$) được gọi là các góc kề cạnh $BC$.

Định lí

Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc (g.c.g): Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ 2. Xét hai tam giác $ABC$ và $DEC$ trong Hình 4.36.

Ta có: $\widehat{BAC} = \widehat{EDC}$ (giả thiết); $AC = DC$ (giả thiết); $\widehat{BCA} = \widehat{ECD}$ (đối đỉnh).

Vậy $\triangle ABC = \triangle DEC$ (g.c.g).

Tổng hợp ba trường hợp bằng nhau của tam giác

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo c.g.c

Phương pháp:

Để chứng minh $\triangle ABC = \triangle DEF$ theo c.g.c, cần chỉ ra:

1. Cạnh thứ nhất: $AB = DE$.
2. Góc xen giữa: $\widehat{A} = \widehat{D}$ (góc xen giữa hai cạnh trên).
3. Cạnh thứ hai: $AC = DF$.

Lưu ý: Góc phải nằm xen giữa hai cạnh đã cho. Nếu góc không xen giữa thì không áp dụng được c.g.c.

Bài mẫu 1. Trong mỗi hình sau, chỉ ra cặp tam giác bằng nhau.

Giải.

a) Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DCB$ có: $AB = CD$ (gt); $BC$ chung; $\widehat{ABC} = \widehat{DCB}$ (gt).

Do đó $\triangle ABC = \triangle DCB$ (c.g.c).

b) Xét $\triangle EFH$ và $\triangle EGH$ có: $EF = EG$ (gt); $EH$ chung; $\widehat{FEH} = \widehat{GEH}$ (gt).

Do đó $\triangle EFH = \triangle EGH$ (c.g.c).

c) Xét $\triangle MON$ và $\triangle POQ$ có: $MO = PO$ (gt); $NO = QO$ (gt); $\widehat{MON} = \widehat{POQ}$ (đối đỉnh).

Do đó $\triangle MON = \triangle POQ$ (c.g.c).

Bài mẫu 2. Cho Hình 4.32, biết $\widehat{OAB} = \widehat{ODC}$, $OA = OD$ và $AB = CD$. Chứng minh: a) $AC = DB$; b) $\triangle OAC = \triangle ODB$.

Giải.

a) Vì $AB = CD$ nên $AB + BC = CD + BC$, hay $AC = DB$.

b) Xét $\triangle OAC$ và $\triangle ODB$ có:

• $OA = OD$ (giả thiết).
• $\widehat{OAC} = \widehat{ODB}$ (giả thiết, vì $\widehat{OAB} = \widehat{ODC}$).
• $AC = BD$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle OAC = \triangle ODB$ (c.g.c).

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo g.c.g

Phương pháp:

Để chứng minh $\triangle ABC = \triangle DEF$ theo g.c.g, cần chỉ ra:

1. Góc kề thứ nhất: $\widehat{B} = \widehat{E}$.
2. Cạnh kề chung: $BC = EF$.
3. Góc kề thứ hai: $\widehat{C} = \widehat{F}$.

Lưu ý: Hai góc phải là hai góc kề của cạnh đã cho (tức nằm ở hai đầu cạnh đó).

Bài mẫu 1. Chứng minh $\triangle ABD = \triangle CBD$ trong Hình 4.37.

Giải.

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CBD$ có:

• $\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$ (giả thiết).
• $BD$ chung.
• $\widehat{ADB} = \widehat{CDB}$ (giả thiết).

Vậy $\triangle ABD = \triangle CBD$ (g.c.g).

Bài mẫu 2. Cho hai tam giác $ABC$ và $MNP$ bất kì, thỏa mãn $\widehat{ABC} = \widehat{PNM}$, $\widehat{ACB} = \widehat{NPM}$ và $BC = PN$. Viết đúng kí hiệu bằng nhau.

Giải.

Vì $\widehat{ABC} = \widehat{PNM}$ nên đỉnh $B$ tương ứng đỉnh $N$.

Vì $\widehat{ACB} = \widehat{NPM}$ nên đỉnh $C$ tương ứng đỉnh $P$.

Suy ra đỉnh $A$ tương ứng đỉnh $M$.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có:

• $\widehat{ABC} = \widehat{MNP}$ (vì $= \widehat{PNM}$).
• $BC = NP$ (giả thiết).
• $\widehat{ACB} = \widehat{MPN}$ (vì $= \widehat{NPM}$).

Vậy $\triangle ABC = \triangle MNP$ (g.c.g).

Dạng 3: Xác định trường hợp bằng nhau phù hợp

Phương pháp:

Khi bài cho một số yếu tố bằng nhau, cần xác định đúng trường hợp:

• Có 3 cạnh → c.c.c.
• Có 2 cạnh + góc xen giữa → c.g.c.
• Có 1 cạnh + 2 góc kề cạnh đó → g.c.g.

Nếu góc không phải góc xen giữa (với c.g.c) hoặc không phải góc kề (với g.c.g) thì không áp dụng được.

Bài mẫu. Hai tam giác $ABC$ và $MNP$ trong Hình 4.31 có bằng nhau không?

Giải.

Xét $\triangle MNP$: $\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180°$.

$\widehat{M} = 180° – 50° – 70° = 60°$.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có:

• $AB = MN$ (giả thiết).
• $\widehat{A} = \widehat{M}$ (cùng bằng $60°$) — đây là góc xen giữa $AB$, $AC$ và $MN$, $MP$.
• $AC = MP$ (giả thiết).

Vậy $\triangle ABC = \triangle MNP$ (c.g.c).

Dạng 4: Chứng minh bằng nhau rồi suy ra cạnh hoặc góc bằng nhau

Phương pháp:

1. Chứng minh hai tam giác bằng nhau (c.g.c hoặc g.c.g).
2. Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cạnh tương ứng hoặc góc tương ứng bằng nhau.

Bài mẫu 1. Cho hình vẽ, biết $CE = DE$ và $\widehat{CEA} = \widehat{DEA}$. Chứng minh $AC = AD$.

Giải.

Xét $\triangle AEC$ và $\triangle AED$ có:

• $CE = DE$ (giả thiết).
• $\widehat{CEA} = \widehat{DEA}$ (giả thiết).
• $AE$ chung.

Do đó $\triangle AEC = \triangle AED$ (c.g.c).

Suy ra $AC = AD$ (hai cạnh tương ứng).

Bài mẫu 2. Cho $\triangle DEF$ có $\widehat{E} = \widehat{F}$. Tia phân giác góc $D$ cắt $EF$ tại $I$. Chứng minh $IE = IF$ và $DE = DF$.

Giải.

Xét $\triangle DEI$ có: $\widehat{D_1} + \widehat{E} + \widehat{I_1} = 180°$.

Xét $\triangle DFI$ có: $\widehat{D_2} + \widehat{F} + \widehat{I_2} = 180°$.

Mà $\widehat{E} = \widehat{F}$ (gt) và $\widehat{D_1} = \widehat{D_2}$ (vì $DI$ là phân giác $\widehat{D}$), nên $\widehat{I_1} = \widehat{I_2}$.

Xét $\triangle DEI$ và $\triangle DFI$ có:

• $\widehat{D_1} = \widehat{D_2}$ (phân giác).
• $DI$ chung.
• $\widehat{I_1} = \widehat{I_2}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle DEI = \triangle DFI$ (g.c.g).

Suy ra $IE = IF$ và $DE = DF$ (cạnh tương ứng).

Dạng 5: Bài toán tổng hợp (chứng minh song song, hình chữ nhật, …)

Phương pháp:

Chứng minh hai tam giác bằng nhau → suy ra cạnh/góc bằng nhau → suy ra song song (dùng góc so le trong), vuông góc, hoặc tính chất hình đặc biệt.

Bài mẫu. Cho hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ sao cho $OA = OB = OC = OD$. Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật.

Giải.

Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ có: $OA = OC$ (gt); $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (đối đỉnh); $OB = OD$ (gt).

Do đó $\triangle OAB = \triangle OCD$ (c.g.c).

Suy ra $AB = DC$ và $\widehat{BAO} = \widehat{OCD}$ (so le trong) → $AB \parallel DC$ … (1).

Xét $\triangle OAD$ và $\triangle OCB$ có: $OA = OC$ (gt); $\widehat{AOD} = \widehat{BOC}$ (đối đỉnh); $OD = OB$ (gt).

Do đó $\triangle OAD = \triangle OCB$ (c.g.c).

Suy ra $AD = BC$ và $\widehat{OAD} = \widehat{OCB}$ (so le trong) → $AD \parallel BC$ … (2).

Từ (1) và (2): $ABCD$ là hình bình hành.

Vì $OA = OC = OB = OD$ nên $AC = BD$. Xét $\triangle ABD$ và $\triangle DCA$ có: $AB = DC$; $AD$ chung; $BD = AC$. Do đó $\triangle ABD = \triangle DCA$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{CDA}$. Mà $\widehat{BAD} + \widehat{CDA} = 180°$ (trong cùng phía, vì $AB \parallel DC$).

Nên $\widehat{BAD} = \widehat{CDA} = 90°$.

Vậy hình bình hành $ABCD$ có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Góc đối đỉnh luôn bằng nhau: Khi hai tam giác có đỉnh chung là giao điểm hai đoạn thẳng → có cặp góc đối đỉnh bằng nhau → thường dùng cho c.g.c.
• Cạnh chung: Khi hai tam giác dùng chung một cạnh → đó là một cặp cạnh bằng nhau sẵn.
• Tính góc thứ ba: Nếu biết hai góc của tam giác, tính góc thứ ba ($180° -$ hai góc kia). Đôi khi góc tính được lại chính là yếu tố cần cho c.g.c hoặc g.c.g.
• Chọn đúng trường hợp: Đếm: 3 cạnh → c.c.c; 2 cạnh + 1 góc xen giữa → c.g.c; 1 cạnh + 2 góc kề → g.c.g.

Tổng kết

1. Trường hợp c.g.c: Hai cạnh và góc xen giữa tương ứng bằng nhau → hai tam giác bằng nhau.
2. Trường hợp g.c.g: Một cạnh và hai góc kề tương ứng bằng nhau → hai tam giác bằng nhau.
3. Góc xen giữa hai cạnh là góc tạo bởi hai cạnh đó. Góc kề cạnh là hai góc nằm ở hai đầu cạnh đó.
4. Ba trường hợp bằng nhau: c.c.c, c.g.c, g.c.g — mỗi trường hợp yêu cầu đúng loại yếu tố, không thể thay thế lẫn nhau.
5. Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra mọi cạnh và góc tương ứng đều bằng nhau.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du