Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

Khi một đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$, sẽ tạo thành bốn góc ở đỉnh $A$ và bốn góc ở đỉnh $B$. Ta đánh số các góc như hình và sắp xếp chúng thành từng cặp (mỗi cặp gồm một góc đỉnh $A$ và một góc đỉnh $B$).

Góc so le trong

Các cặp góc $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_3}$, $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_2}$ được gọi là các cặp góc so le trong.

Đây là hai góc nằm ở hai phía của đường thẳng cắt, ở giữa (phía trong) hai đường thẳng $a$ và $b$.

Góc đồng vị

Các cặp góc $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$, $\widehat{A_2}$ và $\widehat{B_2}$, $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_3}$, $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_4}$ được gọi là các cặp góc đồng vị.

Đây là hai góc nằm cùng phía so với đường thẳng cắt, cùng vị trí (cùng phía trên hoặc cùng phía dưới) so với đường thẳng bị cắt.

Quan hệ giữa các cặp góc

Nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:

• Hai góc so le trong còn lại cũng bằng nhau.
• Hai góc đồng vị cũng bằng nhau.

Khái niệm bổ sung:

• Góc trong cùng phía: Các cặp góc $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_4}$, $\widehat{A_2}$ và $\widehat{B_3}$.
• Góc so le ngoài: Các cặp góc $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_3}$ ở phía ngoài (tương tự so le trong nhưng nằm ngoài hai đường thẳng).

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Trong thực tế, việc kéo dài hai đường thẳng để xem chúng có gặp nhau hay không đôi khi rất khó thực hiện. Thay vào đó, ta có dấu hiệu thuận tiện hơn:

Nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì $a$ và $b$ song song với nhau.

Ví dụ 1. Quan sát Hình 3.21 và giải thích tại sao $xy \parallel x’y’$.

Giải.

Ta có $\widehat{xAB} = \widehat{ABy’} = 70°$.

Hai góc này ở vị trí so le trong. Do đó $xy \parallel x’y’$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Nhận xét quan trọng:

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Tính chất khi hai đường thẳng song song:

Nếu đường thẳng $c$ cắt cả hai đường thẳng song song $a$ và $b$ thì:

• Hai góc so le trong bằng nhau.
• Hai góc đồng vị bằng nhau.
• Hai góc so le ngoài bằng nhau.
• Hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $180°$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết góc so le trong, góc đồng vị

Phương pháp:

• So le trong: hai góc nằm ở hai phía đường thẳng cắt, ở giữa hai đường thẳng bị cắt.
• Đồng vị: hai góc nằm cùng phía đường thẳng cắt, cùng vị trí so với mỗi đường thẳng bị cắt.
• Trong cùng phía: hai góc nằm cùng phía đường thẳng cắt, ở giữa hai đường thẳng bị cắt.

Bài mẫu 1. Quan sát hình 3.24. Biết $MN \parallel BC$.

a) Tìm một góc ở vị trí so le trong với $\widehat{MNB}$.

b) Tìm một góc ở vị trí đồng vị với $\widehat{ACB}$.

c) Kể tên một cặp góc trong cùng phía.

d) Kể tên ba cặp góc bằng nhau.

Giải.

a) Góc $\widehat{MNB}$ so le trong với góc $\widehat{NBC}$.

b) Góc $\widehat{ACB}$ đồng vị với góc $\widehat{ANM}$.

c) Các cặp góc trong cùng phía: $\widehat{MNC}$ và $\widehat{NCB}$; $\widehat{NMB}$ và $\widehat{MBC}$.

d) Vì $MN \parallel BC$ nên:

• $\widehat{ANM} = \widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị).
• $\widehat{AMN} = \widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị).
• $\widehat{MNB} = \widehat{NBC}$ (hai góc so le trong).

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Để chứng minh $a \parallel b$, ta chỉ ra một trong các điều kiện:

• Có một cặp góc so le trong bằng nhau.
• Có một cặp góc đồng vị bằng nhau.
• Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.

Bài mẫu 1. Quan sát Hình 3.25. Biết $\widehat{MEF} = 40°$, $\widehat{EMN} = 40°$. Giải thích tại sao $EF \parallel MN$.

Giải.

Vì $\widehat{FEM} = \widehat{EMN} = 40°$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

$\Rightarrow EF \parallel MN$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Bài mẫu 2. Quan sát Hình 3.26, giải thích vì sao $AB \parallel DC$.

Giải.

Vì $AB$ và $DC$ cùng vuông góc với đường thẳng $AD$ nên $AB \parallel DC$ (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song).

Bài mẫu 3. Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 11 và giải thích.

Giải.

a) Đặt các góc $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ như hình vẽ. Ta có $\widehat{A_1} = \widehat{B_1} = 45°$. Mà $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc so le trong. Do đó $a \parallel b$.

b) Đặt các góc $\widehat{C_1}$ và $\widehat{D_1}$ như hình vẽ. Ta có $\widehat{C_1} = 90°$, $\widehat{D_1} = 80°$. Hai góc ở vị trí so le trong nhưng không bằng nhau nên hai đường thẳng $d$ và $e$ không song song.

c) Đặt các góc $\widehat{M_1}$ và $\widehat{N_1}$ như hình vẽ. Ta có $\widehat{M_1} = \widehat{N_1} = 60°$. Mà $\widehat{M_1}$ và $\widehat{N_1}$ là hai góc đồng vị. Do đó $m \parallel n$.

Dạng 3: Tính số đo góc khi biết hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Khi $a \parallel b$, sử dụng linh hoạt các tính chất:

• Hai góc so le trong bằng nhau.
• Hai góc đồng vị bằng nhau.
• Hai góc trong cùng phía có tổng bằng $180°$.
• Kết hợp góc đối đỉnh và góc kề bù.

Bài mẫu 1. Cho Hình 15, biết $a \parallel b$ và $\widehat{A_3} = 32°$. Tìm số đo các góc đỉnh $A$ và $B$.

Giải.

Tại đỉnh $A$:

• $\widehat{A_1} = \widehat{A_3} = 32°$ (hai góc đối đỉnh).
• $\widehat{A_3} + \widehat{A_4} = 180°$ (kề bù) $\Rightarrow \widehat{A_4} = 180° – 32° = 148°$.
• $\widehat{A_2} = \widehat{A_4} = 148°$ (hai góc đối đỉnh).

Vì $a \parallel b$:

• $\widehat{B_1} = \widehat{A_3} = 32°$ (so le trong).
• $\widehat{B_2} = \widehat{A_4} = 148°$ (so le trong).
• $\widehat{B_3} = \widehat{A_3} = 32°$ (đồng vị).
• $\widehat{B_4} = \widehat{A_4} = 148°$ (đồng vị).

Bài mẫu 2. Cho Hình 16, biết $a \parallel b$. Tìm $\widehat{B_1}$ và $\widehat{D_1}$.

(Chèn ảnh: Hình 17 từ giáo án – có $a \perp CD$, $\widehat{A_1} = 70°$)

Giải.

Vì $a \parallel b$ và $a \perp CD$ nên $b \perp CD$. Do đó $\widehat{D_1} = 90°$.

Vì $a \parallel b$ nên $\widehat{A_1} = \widehat{B_2}$ (so le trong), suy ra $\widehat{B_2} = 70°$.

Ta có $\widehat{B_1} + \widehat{B_2} = 180°$ (kề bù):

$$\widehat{B_1} = 180° – 70° = 110°$$

Vậy $\widehat{B_1} = 110°$; $\widehat{D_1} = 90°$.

Bài mẫu 3. Cho Hình 30, biết $m \parallel n$ và $\widehat{A_1} = 80°$. Tìm $\widehat{B_1}$, $\widehat{B_2}$, $\widehat{B_3}$, $\widehat{B_4}$.

Giải.

Vì $m \parallel n$:

• $\widehat{B_4} = \widehat{A_1} = 80°$ (so le trong).
• $\widehat{B_2} = \widehat{A_1} = 80°$ (đồng vị).
• $\widehat{B_1} + \widehat{A_1} = 180°$ (trong cùng phía) $\Rightarrow \widehat{B_1} = 100°$.
• $\widehat{B_3} = \widehat{B_1} = 100°$ (đối đỉnh).

Vậy $\widehat{B_1} = \widehat{B_3} = 100°$, $\widehat{B_2} = \widehat{B_4} = 80°$.

Dạng 4: Chứng minh song song và tính góc kết hợp

Phương pháp:

1. Chứng minh hai đường thẳng song song trước (dùng dấu hiệu).
2. Sau đó dùng tính chất song song để tính góc cần tìm.

Bài mẫu 1. Cho Hình 18, biết $\widehat{B_1} = 40°$, $\widehat{C_2} = 40°$.

a) Đường thẳng $a$ có song song với đường thẳng $b$ không?

b) Đường thẳng $b$ có song song với đường thẳng $c$ không?

c) Đường thẳng $a$ có song song với đường thẳng $c$ không?

Giải.

a) Vì $a$ và $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $AB$ nên $a \parallel b$.

b) Vì $\widehat{B_1} = \widehat{C_2} = 40°$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $b \parallel c$ (dấu hiệu nhận biết).

c) Vì $a \parallel b$ và $b \parallel c$ nên $a \parallel c$.

Bài mẫu 2. Quan sát Hình 45. Biết $\widehat{A_1} = 117°$, $\widehat{D_1} = 63°$.

a) Vì sao $a \parallel b$?

b) Tính $\widehat{BCD}$.

Giải.

a) Vì $\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180°$ (kề bù) nên $\widehat{A_2} = 180° – 117° = 63°$.

Vì $\widehat{A_2} = \widehat{D_1} = 63°$ mà hai góc ở vị trí đồng vị.

$\Rightarrow a \parallel b$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) Vì $a \parallel b$ nên $\widehat{B_1} = \widehat{BCD}$ (so le trong). Mà $\widehat{B_1} = 55°$.

Vậy $\widehat{BCD} = 55°$.

Dạng 5: Bài toán thực tế và tổng hợp

Phương pháp:

1. Nhận diện các đường thẳng song song trong hình (dựa vào dấu hiệu hoặc đề bài cho).
2. Áp dụng tính chất song song (so le trong, đồng vị, trong cùng phía) để tính góc.
3. Kết hợp góc kề bù, đối đỉnh khi cần.

Bài mẫu 1. Trong Hình 46 (lan can cầu thang), $\widehat{xOy} = 144°$. Tính góc nhọn tạo bởi một thanh sườn với một thanh trụ.

Giải.

Ta có: $\widehat{xOa} + \widehat{aOy} = \widehat{xOy}$, mà $\widehat{xOa} = 90°$ (thanh trụ vuông góc bậc thang):

$$\widehat{aOy} = 144° – 90° = 54°$$

Vì $AB \parallel Oy$ nên $\widehat{aOy} = \widehat{A_2} = 54°$ (đồng vị).

Vì $a \parallel b$ nên $\widehat{B_1} = \widehat{A_2} = 54°$ (đồng vị).

Vậy góc nhọn tạo bởi thanh sườn với thanh trụ là $54°$.

Bài mẫu 2. Cho Hình 13, biết $m \perp CD$ và $n \perp CD$. Tính số đo $x$ của $\widehat{ABD}$, biết $\widehat{CAB} = 120°$.

Giải.

Vì $m \perp CD$ và $n \perp CD$ nên $m \parallel n$ (cùng vuông góc với $CD$).

Đặt $\widehat{B_1}$ là góc đồng vị với $\widehat{CAB}$. Vì $m \parallel n$:

$$\widehat{B_1} = \widehat{CAB} = 120° \text{ (đồng vị)}$$

Lại có $\widehat{ABD}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{ABD} + \widehat{B_1} = 180°$$

$$\widehat{ABD} = 180° – 120° = 60°$$

Vậy $x = 60°$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Nhận dạng nhanh so le trong: Nhìn hình chữ “Z” hoặc “S” – hai góc ở hai đầu nét gấp là so le trong.
• Nhận dạng nhanh đồng vị: Nhìn hình chữ “F” – hai góc cùng vị trí ở hai giao điểm là đồng vị.
• Biết 1 tính 7: Khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng, chỉ cần biết 1 góc là tính được tất cả 7 góc còn lại (dùng đối đỉnh, kề bù, so le trong, đồng vị).
• Cùng vuông góc → song song: Đây là cách chứng minh song song nhanh nhất khi đề bài cho hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

Tổng kết

1. Góc so le trong: hai góc nằm khác phía đường thẳng cắt, giữa hai đường thẳng bị cắt.
2. Góc đồng vị: hai góc nằm cùng phía, cùng vị trí so với đường thẳng bị cắt.
3. Dấu hiệu nhận biết song song: có một cặp góc so le trong bằng nhau, hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau.
4. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba → song song.
5. Tính chất song song: so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, so le ngoài bằng nhau, trong cùng phía có tổng $180°$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du