Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Ở lớp 6, em đã làm quen với lũy thừa của số tự nhiên. Với số hữu tỉ, ta cũng định nghĩa tương tự:

Lũy thừa bậc $n$ của một số hữu tỉ $x$, kí hiệu $x^n$, là tích của $n$ thừa số $x$ ($n$ là số tự nhiên lớn hơn 1):

$$x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n \text{ thừa số}} \quad (x \in \mathbb{Q},; n \in \mathbb{N},; n > 1)$$

Trong đó:

• $x$ gọi là cơ số.
• $n$ gọi là số mũ.
• $x^n$ đọc là “$x$ mũ $n$” hoặc “$x$ lũy thừa $n$” hoặc “lũy thừa bậc $n$ của $x$”.

Quy ước: $x^0 = 1$ (với $x \neq 0$); $\quad x^1 = x$.

Khi cơ số là phân số $\dfrac{a}{b}$ ($b \neq 0$), ta có:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

Ví dụ 1. Tính: a) $(-4)^3$; $\quad$ b) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^5$

Giải.

a) $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64$

b) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \dfrac{1}{32}$

Nhận xét về dấu của lũy thừa:

• Lũy thừa với số mũ chẵn của một số âm cho kết quả dương.
• Lũy thừa với số mũ lẻ của một số âm cho kết quả âm.

Ví dụ 2. Tính: $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2$ và $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3$

Giải.

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{(-1)^2}{3^2} = \frac{1}{9} > 0 \quad \text{(số mũ chẵn → dương)}$$

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{(-1)^3}{3^3} = \frac{-1}{27} < 0 \quad \text{(số mũ lẻ → âm)}$$

Lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa:

$$(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$$

Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa:

$$\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n} \quad (y \neq 0)$$

Ví dụ 3. Tính và so sánh: $3^2 \cdot 4^2$ và $(3 \cdot 4)^2$

Giải.

$$3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144$$

$$(3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144$$

Vậy $3^2 \cdot 4^2 = (3 \cdot 4)^2$.

Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi thực hiện phép nhân hoặc chia hai lũy thừa có cùng cơ số, ta áp dụng các quy tắc sau:

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: giữ nguyên cơ số, cộng hai số mũ.

$$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$$

Chia hai lũy thừa cùng cơ số (cơ số khác 0): giữ nguyên cơ số, lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ số mũ của lũy thừa chia.

$$x^m : x^n = x^{m-n} \quad (x \neq 0,; m \geq n)$$

Ví dụ 4. Tính: a) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^5$; $\quad$ b) $(-7)^6 : (-7)^6$

Giải.

a) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^5 = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3+5} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^8$

b) $(-7)^6 : (-7)^6 = (-7)^{6-6} = (-7)^0 = 1$

Lũy thừa của lũy thừa

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

$$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$$

Ví dụ 5. Tính: $\left[(-3)^4\right]^5$

Giải.

$$\left[(-3)^4\right]^5 = (-3)^{4 \cdot 5} = (-3)^{20}$$

Ví dụ 6. Viết $\left(\dfrac{1}{4}\right)^8$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\dfrac{1}{2}$.

Giải.

Ta có $\dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$, nên:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^8 = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{16}$$

Tổng hợp các công thức lũy thừa

1. $x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n}$ với $n > 1$; $\quad x^1 = x$; $\quad x^0 = 1$ ($x \neq 0$).
2. $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
3. $x^m : x^n = x^{m-n}$ ($x \neq 0$, $m \geq n$)
4. $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
5. $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$
6. $\left(\dfrac{x}{y}\right)^n = \dfrac{x^n}{y^n}$ ($y \neq 0$)

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính giá trị lũy thừa

Phương pháp:

1. Nếu cơ số là phân số: áp dụng $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.
2. Nếu cơ số là số thập phân: đổi về phân số rồi tính, hoặc nhân trực tiếp.
3. Xác định dấu trước: cơ số âm + mũ chẵn → dương; cơ số âm + mũ lẻ → âm.

Bài mẫu 1. Tính: $\left(-\dfrac{4}{5}\right)^4$

Giải.

Cơ số âm, số mũ chẵn (4) → kết quả dương.

$$\left(-\frac{4}{5}\right)^4 = \frac{(-4)^4}{5^4} = \frac{256}{625}$$

Bài mẫu 2. Tính: $(0{,}7)^3$

Giải.

$$0{,}7^3 = 0{,}7 \times 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}49 \times 0{,}7 = 0{,}343$$

Hoặc đổi sang phân số: $\left(\dfrac{7}{10}\right)^3 = \dfrac{343}{1000} = 0{,}343$.

Bài mẫu 3. Tính: $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2;; \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3;; \left(-\dfrac{1}{2}\right)^4;; \left(-\dfrac{1}{2}\right)^5$

Giải.

$$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4};\qquad \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$$

$$\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16};\qquad \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32}$$

Nhận xét: Mũ chẵn → kết quả dương ($\frac{1}{4}$, $\frac{1}{16}$). Mũ lẻ → kết quả âm ($-\frac{1}{8}$, $-\frac{1}{32}$).

Dạng 2: Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp:

• Nhân: giữ nguyên cơ số, cộng số mũ → $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
• Chia: giữ nguyên cơ số, trừ số mũ → $x^m : x^n = x^{m-n}$ ($x \neq 0$, $m \geq n$).

Bài mẫu 1. Viết kết quả dưới dạng lũy thừa: $(-2)^3 \cdot (-2)^4$

Giải.

$$(-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{3+4} = (-2)^7$$

Bài mẫu 2. Viết kết quả dưới dạng lũy thừa: $(0{,}25)^7 : (0{,}25)^3$

Giải.

$$(0{,}25)^7 : (0{,}25)^3 = (0{,}25)^{7-3} = (0{,}25)^4$$

Bài mẫu 3. Tính: $(-4{,}1)^5 : (-4{,}1)^3$

Giải.

$$(-4{,}1)^5 : (-4{,}1)^3 = (-4{,}1)^{5-3} = (-4{,}1)^2$$

$$= 4{,}1 \times 4{,}1 = 16{,}81$$

Dạng 3: Lũy thừa của lũy thừa

Phương pháp:

• Áp dụng $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: giữ nguyên cơ số, nhân hai số mũ.
• Thường dùng để viết lũy thừa về cùng một cơ số.

Bài mẫu 1. Viết $\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{2 \cdot 3}$ dưới dạng lũy thừa.

Giải.

$$\left[\left(-\frac{1}{5}\right)^2\right]^3 = \left(-\frac{1}{5}\right)^{2 \cdot 3} = \left(-\frac{1}{5}\right)^6$$

Bài mẫu 2. Viết $\left(\dfrac{1}{8}\right)^3$ và $\left(\dfrac{1}{4}\right)^6$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\dfrac{1}{2}$.

Giải.

Ta có $\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$, nên:

$$\left(\frac{1}{8}\right)^3 = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3 \cdot 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^9$$

Ta có $\dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$, nên:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^6 = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$$

Dạng 4: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ

Phương pháp:

• Áp dụng công thức lũy thừa của tích: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ → ngược lại: $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$.
• Áp dụng công thức lũy thừa của thương: $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$.
• Phân tích các số thành lũy thừa cùng số mũ hoặc cùng cơ số.

Bài mẫu 1. Tính: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10} \cdot 3^{10}$

Giải.

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot 3^{10} = \frac{2^{10}}{3^{10}} \cdot 3^{10} = 2^{10} = 1024$$

Bài mẫu 2. Tính: $(-125)^3 : 25^3$

Giải.

$$(-125)^3 : 25^3 = \left(\frac{-125}{25}\right)^3 = (-5)^3 = -125$$

Bài mẫu 3. Viết dưới dạng lũy thừa: a) $15^8 \cdot 2^4$; $\quad$ b) $27^5 : 3^{2}$

Giải.

a) $15^8 \cdot 2^4$

Ta chưa thể gộp trực tiếp vì cơ số khác nhau và số mũ khác nhau. Tuy nhiên ta có thể viết:

$$15^8 \cdot 2^4 = 15^8 \cdot 2^4$$

Bài này cần viết dưới dạng lũy thừa của một số. Ta nhận thấy $15 = 3 \cdot 5$ nên $15^8 = 3^8 \cdot 5^8$. Tuy nhiên không gộp gọn hơn được nên giữ nguyên: $15^8 \cdot 2^4 = (15^2)^4 \cdot 2^4 = (225)^4 \cdot 2^4 = (225 \cdot 2)^4 = 450^4$.

b) $27^5 : 3^2$

Ta có $27 = 3^3$, nên:

$$27^5 : 3^2 = (3^3)^5 : 3^2 = 3^{15} : 3^2 = 3^{15-2} = 3^{13}$$

Dạng 5: Tính biểu thức có chứa lũy thừa

Phương pháp:

1. Tính lũy thừa trước.
2. Thực hiện nhân, chia.
3. Thực hiện cộng, trừ.
4. Kết hợp các công thức lũy thừa để đơn giản hóa khi có thể.

Bài mẫu 1. Tính: $\left(1 + \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(2 + \dfrac{3}{7}\right)$

Giải.

Bước 1: Tính biểu thức trong ngoặc thứ nhất:

$$1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} – \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$

Bước 2: Tính lũy thừa:

$$\left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$$

Bước 3: Tính biểu thức trong ngoặc thứ hai:

$$2 + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$$

Bước 4: Nhân:

$$\frac{25}{16} \cdot \frac{17}{7} = \frac{425}{112}$$

Bài mẫu 2. Tính: $4 : \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3}\right)^3$

Giải.

Bước 1: Tính trong ngoặc:

$$\frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$

Bước 2: Tính lũy thừa:

$$\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}$$

Bước 3: Thực hiện phép chia:

$$4 : \frac{1}{216} = 4 \cdot 216 = 864$$

Dạng 6: Bài toán thực tế liên quan đến lũy thừa

Phương pháp:

1. Đọc kỹ đề, nhận diện đại lượng liên quan đến lũy thừa (thể tích hình lập phương, so sánh các số viết dưới dạng $a \cdot 10^n$, …).
2. Áp dụng công thức hoặc quy tắc lũy thừa để tính toán.
3. So sánh bằng cách đưa về cùng dạng.

Bài mẫu 1. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng $1{,}5 \cdot 10^8$ km. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng $7{,}78 \cdot 10^8$ km. Hỏi khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

Giải.

$$\frac{7{,}78 \cdot 10^8}{1{,}5 \cdot 10^8} = \frac{7{,}78}{1{,}5} \approx 5{,}19 \text{ (lần)}$$

Vậy khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng 5,19 lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời.

Bài mẫu 2. Bảng thống kê số lượt khách quốc tế đến thăm Việt Nam năm 2019:

Sắp xếp các quốc gia theo số lượng khách từ nhỏ đến lớn.

Giải.

Bước 1: So sánh bậc của $10$:

• $10^4 < 10^5 < 10^6$

Bước 2: Các số có cùng bậc $10^5$: $2{,}9 \cdot 10^5 < 7{,}4 \cdot 10^5$ (vì $2{,}9 < 7{,}4$).

Bước 3: Sắp xếp:

$$7 \cdot 10^4 < 2{,}9 \cdot 10^5 < 7{,}4 \cdot 10^5 < 4{,}3 \cdot 10^6$$

Thứ tự từ nhỏ đến lớn: Ý → Pháp → Hoa Kỳ → Hàn Quốc.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Xác định dấu trước, tính sau: Với cơ số âm, chỉ cần nhìn số mũ: chẵn → dương, lẻ → âm. Sau đó tính giá trị tuyệt đối.
• Phân biệt $(-a)^n$ và $-a^n$: $(-3)^2 = 9$ nhưng $-3^2 = -9$. Dấu ngoặc quyết định cơ số có bao gồm dấu âm hay không.
• Nhớ quy tắc bằng từ khóa: Nhân cùng cơ số → cộng mũ. Chia cùng cơ số → trừ mũ. Lũy thừa của lũy thừa → nhân mũ.
• Đưa về cùng cơ số: Khi gặp $4^n$, $8^n$, $16^n$, … hãy viết về cơ số $2$. Khi gặp $9^n$, $27^n$, $81^n$, … hãy viết về cơ số $3$. Điều này giúp áp dụng được các công thức nhân, chia, lũy thừa của lũy thừa.
• So sánh số dạng $a \cdot 10^n$: So sánh bậc $10$ trước. Cùng bậc thì so sánh hệ số $a$.

Tổng kết

1. Lũy thừa bậc $n$ của $x$ là tích của $n$ thừa số $x$: $x^n = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x$.
2. Nhân cùng cơ số → cộng mũ: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
3. Chia cùng cơ số → trừ mũ: $x^m : x^n = x^{m-n}$ ($x \neq 0$, $m \geq n$).
4. Lũy thừa của lũy thừa → nhân mũ: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
5. Lũy thừa của tích/thương: $(xy)^n = x^n \cdot y^n$ và $\left(\dfrac{x}{y}\right)^n = \dfrac{x^n}{y^n}$.
6. Cơ số âm: mũ chẵn → dương, mũ lẻ → âm.
7. Quy ước: $x^0 = 1$ ($x \neq 0$), $x^1 = x$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du