Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác

Trong tam giác cân $ABC$ có $AB = AC$, ta đã biết góc đối diện với cạnh $AB$ (tức góc $C$) bằng góc đối diện với cạnh $AC$ (tức góc $B$). Vậy nếu hai cạnh không bằng nhau, liệu ta có thể so sánh được hai góc đối diện tương ứng không?

Trước tiên, hãy nhớ quy tắc xác định góc và cạnh đối diện:

• Góc $A$ đối diện với cạnh $BC$.
• Góc $B$ đối diện với cạnh $AC$.
• Góc $C$ đối diện với cạnh $AB$.

Định lí 1

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

$$\text{GT: } \triangle ABC,; AC > AB. \qquad \text{KL: } \widehat{B} > \widehat{C}.$$

Nói cách khác: cạnh nào dài hơn thì góc đối diện với cạnh đó cũng lớn hơn.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$, $AC = 7\text{ cm}$.

a) So sánh góc $A$ và góc $C$.

b) Sắp xếp các góc của tam giác theo thứ tự từ lớn đến bé.

Giải:

a) Trong tam giác $ABC$, vì $BC = 5\text{ cm}$ và $AB = 3\text{ cm}$ nên $BC > AB$.

Theo Định lí 1: $\widehat{A} > \widehat{C}$ (vì góc $A$ đối diện cạnh $BC$, góc $C$ đối diện cạnh $AB$).

b) Sắp xếp các cạnh từ lớn đến bé: $AC > BC > AB$.

Theo Định lí 1: $\widehat{B} > \widehat{A} > \widehat{C}$.

Vậy trong tam giác $ABC$, góc $B$ lớn nhất, góc $C$ nhỏ nhất.

Cạnh đối diện với góc lớn hơn trong một tam giác

Ngược lại, nếu biết số đo các góc trong tam giác, ta có thể so sánh các cạnh đối diện mà không cần đo.

Định lí 2

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

$$\text{GT: } \triangle ABC,; \widehat{B} > \widehat{C}. \qquad \text{KL: } AC > AB.$$

Ví dụ: Cho tam giác $DEF$ có $\widehat{D} = 70°$, $\widehat{E} = 50°$. Sắp xếp ba cạnh theo thứ tự từ lớn đến bé.

Giải:

Tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$, nên:

$$\widehat{F} = 180° – (70° + 50°) = 60°$$

So sánh: $\widehat{D} > \widehat{F} > \widehat{E}$.

Theo Định lí 2: $EF > DE > DF$.

(Vì $EF$ đối diện $\widehat{D}$, $DE$ đối diện $\widehat{F}$, $DF$ đối diện $\widehat{E}$.)

Nhận xét quan trọng

Trong tam giác vuông, góc vuông ($90°$) là góc lớn nhất. Do đó, cạnh đối diện với góc vuông (gọi là cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.

Trong tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất. Do đó, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Lưu ý thường nhầm: Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ là góc tù. Cạnh lớn nhất không phải là $AB$ hay $AC$, mà là cạnh $BC$ (cạnh đối diện với góc $A$).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: So sánh các góc khi biết độ dài các cạnh

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định góc đối diện với mỗi cạnh (góc $A$ đối diện $BC$, góc $B$ đối diện $AC$, góc $C$ đối diện $AB$).

Bước 2: So sánh độ dài các cạnh.

Bước 3: Áp dụng Định lí 1 — cạnh nào lớn hơn thì góc đối diện lớn hơn — để suy ra thứ tự các góc.

Bài mẫu 1: Cho tam giác $MNP$ có $MN = 3\text{ cm}$, $NP = 5\text{ cm}$, $MP = 7\text{ cm}$. Hãy xác định góc đối diện với từng cạnh rồi sắp xếp các góc theo thứ tự từ bé đến lớn.

Lời giải:

Xác định góc đối diện:

• Góc $M$ đối diện cạnh $NP = 5\text{ cm}$.
• Góc $N$ đối diện cạnh $MP = 7\text{ cm}$.
• Góc $P$ đối diện cạnh $MN = 3\text{ cm}$.

Sắp xếp các cạnh từ bé đến lớn: $MN < NP < MP$.

Theo Định lí 1, các góc từ bé đến lớn: $\widehat{P} < \widehat{M} < \widehat{N}$.

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2\text{ cm}$, $BC = 4\text{ cm}$, $AC = 5\text{ cm}$.

a) So sánh góc $A$ và góc $C$.

b) Trong tam giác $ABC$, góc nào lớn nhất, góc nào nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Trong tam giác $ABC$: $BC = 4\text{ cm}$, $AB = 2\text{ cm}$ nên $BC > AB$.

Góc $A$ đối diện $BC$, góc $C$ đối diện $AB$. Theo Định lí 1: $\widehat{A} > \widehat{C}$.

b) Sắp xếp cạnh từ lớn đến bé: $AC > BC > AB$.

Theo Định lí 1: $\widehat{B} > \widehat{A} > \widehat{C}$.

Vậy góc $B$ lớn nhất, góc $C$ nhỏ nhất.

Dạng 2: So sánh các cạnh khi biết số đo các góc

Phương pháp giải:

Bước 1: Nếu chưa biết đủ ba góc, dùng tính chất tổng ba góc bằng $180°$ để tìm góc còn lại.

Bước 2: So sánh các góc.

Bước 3: Áp dụng Định lí 2 — góc nào lớn hơn thì cạnh đối diện lớn hơn — để suy ra thứ tự các cạnh.

Bài mẫu 1: Cho tam giác $MNP$ có $\widehat{M} = 47°$, $\widehat{N} = 53°$. Hãy viết các cạnh theo thứ tự từ bé đến lớn.

Lời giải:

Tính góc $P$:

$$\widehat{P} = 180° – (47° + 53°) = 80°$$

So sánh các góc: $\widehat{M} < \widehat{N} < \widehat{P}$.

Xác định cạnh đối diện:

• Góc $M$ đối diện cạnh $NP$.
• Góc $N$ đối diện cạnh $MP$.
• Góc $P$ đối diện cạnh $MN$.

Theo Định lí 2, các cạnh từ bé đến lớn: $NP < MP < MN$.

Bài mẫu 2: Trong tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 80°$, $\widehat{C} = 45°$. Sắp xếp ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$ theo thứ tự từ lớn đến bé.

Lời giải:

Tính góc $A$:

$$\widehat{A} = 180° – (80° + 45°) = 55°$$

So sánh các góc: $\widehat{B} > \widehat{A} > \widehat{C}$.

Theo Định lí 2:

• $AC$ (đối diện $\widehat{B}$) $> BC$ (đối diện $\widehat{A}$) $> AB$ (đối diện $\widehat{C}$).

Vậy: $AC > BC > AB$.

Dạng 3: Xác định cạnh lớn nhất trong tam giác vuông, tam giác tù

Phương pháp giải:

• Trong tam giác vuông: góc vuông là góc lớn nhất → cạnh đối diện góc vuông (cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.
• Trong tam giác tù: góc tù là góc lớn nhất → cạnh đối diện góc tù là cạnh lớn nhất.

Mấu chốt: Xác định đúng góc lớn nhất, sau đó chỉ ra cạnh đối diện với góc đó.

Bài mẫu 1: Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Cạnh nào là cạnh lớn nhất?

Lời giải:

Tam giác $MNP$ vuông tại $M$ nên $\widehat{M} = 90°$ là góc lớn nhất.

Cạnh đối diện với góc $M$ là cạnh $NP$.

Vậy cạnh $NP$ (cạnh huyền) là cạnh lớn nhất của tam giác.

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ là góc tù. Hỏi cạnh nào là cạnh lớn nhất?

Lời giải:

Vì $\widehat{A}$ là góc tù nên $\widehat{A} > 90°$. Do tổng ba góc bằng $180°$, hai góc còn lại ($\widehat{B}$ và $\widehat{C}$) đều nhỏ hơn $90°$.

Suy ra $\widehat{A}$ là góc lớn nhất trong tam giác.

Cạnh đối diện với góc $A$ là cạnh $BC$.

Vậy cạnh $BC$ là cạnh lớn nhất (không phải $AB$ hay $AC$).

Bài mẫu 3: Cho tam giác $MNP$ có $\widehat{N} = 37°$, $\widehat{P} = 53°$. Tam giác $MNP$ là tam giác gì? Xác định cạnh huyền (nếu có).

Lời giải:

Tính góc $M$:

$$\widehat{M} = 180° – (37° + 53°) = 90°$$

Tam giác $MNP$ vuông tại $M$.

Cạnh đối diện góc vuông $M$ là cạnh $NP$, do đó $NP$ là cạnh huyền.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Quy tắc “đối diện”: Trong tam giác, góc và cạnh đối diện luôn đi theo cùng thứ tự. Cạnh lớn nhất ↔ góc lớn nhất, cạnh nhỏ nhất ↔ góc nhỏ nhất.

Mẹo 2 – Xác định nhanh cạnh đối diện: Góc nào thì cạnh đối diện là cạnh nối hai đỉnh còn lại. Ví dụ: góc $A$ → cạnh đối diện nối $B$ và $C$, tức $BC$.

Mẹo 3 – Tam giác vuông/tù: Chỉ cần nhớ: cạnh huyền (đối diện góc vuông) hoặc cạnh đối diện góc tù luôn là cạnh dài nhất. Không cần biết số đo cụ thể cũng kết luận được ngay.

Tổng kết

Hai định lí cốt lõi của bài:

Định lí 1 (biết cạnh → so sánh góc):

$$AC > AB ;\Longrightarrow; \widehat{B} > \widehat{C}$$

Định lí 2 (biết góc → so sánh cạnh):

$$\widehat{B} > \widehat{C} ;\Longrightarrow; AC > AB$$

Hệ quả:

• Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
• Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Cách làm bài: Xác định đúng góc đối diện với cạnh (và ngược lại) → Áp dụng đúng định lí → Kết luận.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du