Biểu thức đại số

Trong toán học và đời sống, ta thường gặp những biểu thức chỉ gồm các con số được nối với nhau bởi dấu phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa). Chẳng hạn: $23 + 8 \cdot 9$ hay $(3^4 – 5) : 8$. Những biểu thức như vậy gọi là biểu thức số.

Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, ta cần dùng chữ để thay thế cho số. Ví dụ, một xe ô tô đi với vận tốc không đổi $60\text{ km/h}$, thì quãng đường đi được trong $t$ (giờ) được biểu thị bằng $60t$ (km). Ở đây, chữ $t$ đóng vai trò thay thế cho một số bất kỳ — ta chỉ cần thay $t$ bằng giá trị cụ thể là tính được quãng đường.

Định nghĩa

• Biểu thức số là biểu thức không chứa chữ (chỉ gồm các số và phép tính).
• Biểu thức đại số là biểu thức chứa số, chứa chữ, hoặc chứa cả số lẫn chữ, được nối bởi dấu các phép tính.

Trong biểu thức đại số, các chữ dùng để thay thế hay đại diện cho những số nào đó được gọi là biến số (gọi tắt là biến).

Từ “đại” trong “đại số” không có nghĩa là “to lớn” mà mang nghĩa “đại diện”, “thay thế cho”.

Quy ước viết gọn

Khi viết biểu thức đại số, ta thường:

• Bỏ dấu nhân giữa các biến hoặc giữa số và biến. Chẳng hạn: $a \cdot b$ viết thành $ab$, $2 \cdot a$ viết thành $2a$.
• Không viết thừa số $1$ trong tích. Chẳng hạn: $1 \cdot xy$ viết thành $xy$, $(-1) \cdot ab$ viết thành $-ab$.

Với các biến, ta cũng áp dụng được các quy tắc và tính chất phép tính như đối với số. Chẳng hạn:

$$x + x = 2x; \quad x \cdot x \cdot x = x^3; \quad x + y = y + x; \quad x(y + z) = xy + xz$$

Ví dụ: Viết biểu thức biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều rộng là $a$ (cm) và chiều dài hơn chiều rộng 5 cm.

Giải:

Chiều dài hình chữ nhật là $a + 5$ (cm).

Chu vi hình chữ nhật: $2(a + a + 5) = 2(2a + 5)$ (cm).

Giá trị của biểu thức đại số

Khi ta thay các biến bằng những số cụ thể rồi thực hiện phép tính, kết quả nhận được gọi là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị đó của biến.

Chẳng hạn, xét biểu thức $A = 4p – q$. Nếu thay $p = 3$ và $q = 5$:

$$A = 4 \cdot 3 – 5 = 12 – 5 = 7$$

Ta nói: $7$ là giá trị của biểu thức $A$ tại $p = 3$ và $q = 5$.

Cách tính giá trị biểu thức đại số

Muốn tính giá trị của biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay giá trị đã cho của mỗi biến vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

Ví dụ: Cô Mai mua một hộp sữa và một số kilôgam trái cây. Biết mỗi kilôgam trái cây giá 30 nghìn đồng, mỗi hộp sữa giá 20 nghìn đồng.

a) Viết biểu thức biểu thị tổng số tiền cô Mai phải trả nếu mua $x$ kilôgam trái cây.

b) Tính số tiền cô Mai phải trả khi mua 3 kg trái cây.

Giải:

a) Tiền trái cây: $30x$ (nghìn đồng). Tiền sữa: $20$ (nghìn đồng).

Biểu thức tổng số tiền: $30x + 20$ (nghìn đồng).

b) Thay $x = 3$ vào biểu thức:

$$30 \cdot 3 + 20 = 90 + 20 = 110 \text{ (nghìn đồng)}$$

Vậy cô Mai phải trả 110 nghìn đồng.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Viết biểu thức đại số

Phương pháp giải:

• Đọc kỹ đề bài, xác định các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng.
• Dùng biến (chữ) để đại diện cho đại lượng chưa biết.
• Dịch lời phát biểu sang biểu thức toán học, chú ý quy ước viết gọn.

Bài mẫu 1: Viết biểu thức đại số biểu thị:

a) Nửa tổng của $x$ và $y$.

b) Tổng của $x$ và $y$ nhân với tích của $x$ và $y$.

Lời giải:

a) Tổng của $x$ và $y$ là $x + y$. Nửa tổng: $\dfrac{x + y}{2}$.

b) Tổng của $x$ và $y$: $x + y$. Tích của $x$ và $y$: $xy$.

Biểu thức cần viết: $(x + y) \cdot xy$.

Bài mẫu 2: Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích hình thang có hai đáy là $a$ và $b$, chiều cao là $h$ (cùng đơn vị đo).

Lời giải:

Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân chiều cao:

$$S = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}$$

Bài mẫu 3: Viết biểu thức đại số biểu thị thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4 cm và hơn chiều cao 2 cm.

Lời giải:

Gọi chiều dài hình hộp chữ nhật là $x$ (cm), với $x > 4$.

Chiều rộng: $x – 4$ (cm). Chiều cao: $x – 2$ (cm).

Thể tích: $x(x – 4)(x – 2)$.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số

Phương pháp giải:

Bước 1: Thay giá trị của mỗi biến vào biểu thức (chú ý đặt trong ngoặc nếu giá trị thay vào là số âm hoặc phân số).

Bước 2: Thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự: luỹ thừa → nhân/chia → cộng/trừ.

Bài mẫu 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) $4x + 3$ tại $x = 5{,}8$.

b) $y^2 – 2y + 1$ tại $y = 2$.

c) $(2m + n)(m – n)$ tại $m = 5{,}4$ và $n = 3{,}2$.

Lời giải:

a) Thay $x = 5{,}8$:

$$4 \cdot 5{,}8 + 3 = 23{,}2 + 3 = 26{,}2$$

b) Thay $y = 2$:

$$2^2 – 2 \cdot 2 + 1 = 4 – 4 + 1 = 1$$

c) Thay $m = 5{,}4$ và $n = 3{,}2$:

$$2m + n = 2 \cdot 5{,}4 + 3{,}2 = 10{,}8 + 3{,}2 = 14$$

$$m – n = 5{,}4 – 3{,}2 = 2{,}2$$

$$(2m + n)(m – n) = 14 \cdot 2{,}2 = 30{,}8$$

Bài mẫu 2: Tính giá trị biểu thức $3x^2 – 4x + 2$ khi $x = 2$.

Lời giải:

Thay $x = 2$:

$$3 \cdot 2^2 – 4 \cdot 2 + 2 = 3 \cdot 4 – 8 + 2 = 12 – 8 + 2 = 6$$

Bài mẫu 3: Giá bán của một đôi giày là $C + Cr$, trong đó $C$ là giá gốc và $r$ là thuế giá trị gia tăng. Tính giá bán khi $C = 600$ nghìn đồng và $r = 10\%$.

Lời giải:

Thay $C = 600$ và $r = 10\% = 0{,}1$:

$$Cr = 600 \cdot 0{,}1 = 60 \text{ (nghìn đồng)}$$

$$C + Cr = 600 + 60 = 660 \text{ (nghìn đồng)}$$

Vậy đôi giày có giá bán 660 nghìn đồng.

Dạng 3: Bài toán thực tế — viết biểu thức và tính giá trị

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng, gọi biến cho đại lượng chưa biết.

Bước 2: Viết biểu thức đại số mô tả mối quan hệ.

Bước 3: Thay giá trị cụ thể vào biểu thức để tính kết quả.

Bài mẫu 1: Một bác nông dân sử dụng hai máy bơm tưới nước cho vườn cây. Máy thứ nhất mỗi giờ bơm được 5 m³ nước, máy thứ hai mỗi giờ bơm được 3,5 m³ nước.

a) Viết biểu thức biểu thị lượng nước bơm được của hai máy, nếu máy thứ nhất chạy $x$ giờ và máy thứ hai chạy $y$ giờ.

b) Tính lượng nước bơm được khi $x = 2$ giờ, $y = 3$ giờ.

Lời giải:

a) Lượng nước máy thứ nhất bơm: $5x$ (m³). Lượng nước máy thứ hai bơm: $3{,}5y$ (m³).

Biểu thức tổng lượng nước: $5x + 3{,}5y$ (m³).

b) Thay $x = 2$, $y = 3$:

$$5 \cdot 2 + 3{,}5 \cdot 3 = 10 + 10{,}5 = 20{,}5 \text{ (m³)}$$

Vậy cả hai máy bơm được 20,5 m³ nước.

Bài mẫu 2: Một mảnh vườn hình vuông có cạnh bằng $a$ (m) với lối đi xung quanh vườn rộng 1,2 m. Viết biểu thức biểu thị diện tích phần còn lại của mảnh vườn. Tính diện tích khi $a = 20$.

Lời giải:

Lối đi rộng 1,2 m ở mỗi bên, nên cạnh phần còn lại là: $a – 1{,}2 – 1{,}2 = a – 2{,}4$ (m).

Biểu thức diện tích phần còn lại: $(a – 2{,}4)^2$.

Thay $a = 20$:

$$(20 – 2{,}4)^2 = 17{,}6^2 = 309{,}76 \text{ (m²)}$$

Vậy diện tích phần còn lại là $309{,}76\text{ m}^2$.

Bài mẫu 3: Lân có $x$ nghìn đồng, chi tiêu hết $y$ nghìn đồng, sau đó được chị cho thêm $z$ nghìn đồng. Viết biểu thức biểu thị số tiền Lân còn. Tính khi $x = 100$, $y = 60$, $z = 50$.

Lời giải:

Biểu thức số tiền còn lại: $x – y + z$.

Thay $x = 100$, $y = 60$, $z = 50$:

$$100 – 60 + 50 = 90 \text{ (nghìn đồng)}$$

Vậy Lân còn 90 nghìn đồng.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Đọc kỹ “từ khoá” khi viết biểu thức: “Tổng” → dấu cộng, “hiệu” → dấu trừ, “tích” → dấu nhân, “nửa” → chia 2, “bình phương” → mũ 2, “lập phương” → mũ 3. Dịch từng từ khoá sang ký hiệu toán học.

Mẹo 2 – Luôn dùng ngoặc khi thay số: Đặc biệt khi thay số âm, phân số hoặc số thập phân vào biểu thức có luỹ thừa. Thói quen này giúp tránh sai dấu.

Mẹo 3 – Kiểm tra nhanh bằng giá trị đơn giản: Sau khi viết biểu thức, thử thay $x = 1$ hoặc $x = 0$ để xem kết quả có hợp lý không. Nếu kết quả vô lý, biểu thức có thể đã viết sai.

Tổng kết

Biểu thức số là biểu thức chỉ gồm số và phép tính. Biểu thức đại số là biểu thức có chứa chữ (biến) đại diện cho số.

Giá trị biểu thức đại số: Thay giá trị cụ thể của biến vào biểu thức → thực hiện phép tính → ra kết quả.

Quy tắc viết gọn:

• Bỏ dấu nhân giữa số và biến: $2 \cdot a = 2a$.
• Bỏ thừa số 1: $1 \cdot xy = xy$, $(-1) \cdot ab = -ab$.

Khi giải bài toán thực tế: Xác định đại lượng → đặt biến → viết biểu thức → thay số tính giá trị.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du