Nhân đơn thức với đa thức

Ở các bài trước, ta đã biết cách cộng và trừ đa thức. Bài này sẽ giới thiệu phép tính tiếp theo — phép nhân đa thức, bao gồm nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức.

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

$$A \cdot (B + C + D) = A \cdot B + A \cdot C + A \cdot D$$

Ví dụ: Tính $(-3x^2).\left(\dfrac{1}{3}x^3 + 2x – 4\right)$.

$$(-3x^2) \cdot \dfrac{1}{3}x^3 + (-3x^2) \cdot 2x + (-3x^2) \cdot (-4)$$

$$= -x^5 – 6x^3 + 12x^2$$

Nhân đa thức với đa thức

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

$$(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD$$

Ta có thể trình bày phép nhân theo hai cách:

Cách 1 – Theo hàng ngang: Nhân lần lượt từng hạng tử, bỏ ngoặc, nhóm cùng bậc rồi thu gọn.

Cách 2 – Đặt tính nhân theo cột: Viết hai đa thức theo cột, nhân lần lượt từng hạng tử ở dòng dưới với đa thức ở dòng trên (nên nhân từ bậc thấp đến bậc cao), viết kết quả mỗi lần nhân thành một dòng riêng sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột, rồi cộng theo cột.

Ví dụ: Tính $(x + 4)(3x^2 – 2x – 7)$.

Cách 1:

$$(x + 4)(3x^2 – 2x – 7)$$

$$= x(3x^2 – 2x – 7) + 4(3x^2 – 2x – 7)$$

$$= 3x^3 – 2x^2 – 7x + 12x^2 – 8x – 28$$

$$= 3x^3 + (-2x^2 + 12x^2) + (-7x – 8x) – 28$$

$$= 3x^3 + 10x^2 – 15x – 28$$

Cách 2:

$$\begin{array}{r} 3x^2 – 2x – 7 \\ \times \qquad\qquad x + 4 \\ \hline 12x^2 – 8x – 28 \quad \leftarrow \text{nhân } 4 \text{ với } 3x^2 – 2x – 7\\ 3x^3 – 2x^2 – 7x \qquad\;\; \leftarrow \text{nhân } x \text{ với } 3x^2 – 2x – 7\\ \hline 3x^3 + 10x^2 – 15x – 28 \end{array}$$

Tính chất của phép nhân đa thức

• Giao hoán: $A \cdot B = B \cdot A$
• Kết hợp: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
• Phân phối đối với phép cộng: $A(B + C) = AB + AC$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức

Phương pháp giải:

Nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức: nhân hệ số với hệ số, cộng số mũ của cùng biến. Sau đó cộng tất cả kết quả lại.

Bài mẫu 1: Tính $6x^2(2x^3 – 3x^2 + 5x – 4)$.

Lời giải:

$$6x^2 \cdot 2x^3 + 6x^2 \cdot (-3x^2) + 6x^2 \cdot 5x + 6x^2 \cdot (-4)$$

$$= 12x^5 – 18x^4 + 30x^3 – 24x^2$$

Bài mẫu 2: Tính $(-1{,}2x^2)(2{,}5x^4 – 2x^3 + x^2 – 1{,}5)$.

Lời giải:

$$= (-1{,}2x^2)(2{,}5x^4) + (-1{,}2x^2)(-2x^3) + (-1{,}2x^2)(x^2) + (-1{,}2x^2)(-1{,}5)$$

$$= -3x^6 + 2{,}4x^5 – 1{,}2x^4 + 1{,}8x^2$$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa phép nhân đơn thức với đa thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện từng phép nhân đơn thức với đa thức.

Bước 2: Bỏ ngoặc (chú ý dấu trừ trước ngoặc).

Bước 3: Nhóm hạng tử cùng bậc và thu gọn.

Bài mẫu: Rút gọn $4x^2(5x^2 + 3) – 6x(3x^3 – 2x + 1) – 5x^3(2x – 1)$.

Lời giải:

$$= 20x^4 + 12x^2 – 18x^4 + 12x^2 – 6x – 10x^4 + 5x^3$$

$$= (20x^4 – 18x^4 – 10x^4) + 5x^3 + (12x^2 + 12x^2) – 6x$$

$$= -8x^4 + 5x^3 + 24x^2 – 6x$$

Dạng 3: Nhân đa thức với đa thức

Phương pháp giải:

Cách 1 (hàng ngang): Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với toàn bộ đa thức thứ hai → khai triển → nhóm cùng bậc → thu gọn.

Cách 2 (đặt tính cột): Viết theo cột, nhân từng hạng tử dòng dưới với đa thức dòng trên, viết mỗi kết quả một dòng (thẳng cột cùng bậc) → cộng cột.

Bài mẫu 1: Tính $(4x – 3)(2x^2 + 5x – 6)$.

Lời giải:

$$(4x – 3)(2x^2 + 5x – 6)$$

$$= 4x(2x^2 + 5x – 6) + (-3)(2x^2 + 5x – 6)$$

$$= 8x^3 + 20x^2 – 24x – 6x^2 – 15x + 18$$

$$= 8x^3 + (20x^2 – 6x^2) + (-24x – 15x) + 18$$

$$= 8x^3 + 14x^2 – 39x + 18$$

Bài mẫu 2: Tính $(x^2 – 2x + 5)(x – 2)$.

Lời giải:

$$(x^2 – 2x + 5)(x – 2)$$

$$= x(x^2 – 2x + 5) + (-2)(x^2 – 2x + 5)$$

$$= x^3 – 2x^2 + 5x – 2x^2 + 4x – 10$$

$$= x^3 + (-2x^2 – 2x^2) + (5x + 4x) – 10$$

$$= x^3 – 4x^2 + 9x – 10$$

Từ đó suy ra: $(x^2 – 2x + 5)(2 – x) = -(x^2 – 2x + 5)(x – 2) = -(x^3 – 4x^2 + 9x – 10) = -x^3 + 4x^2 – 9x + 10$.

Giải thích: Vì $2 – x = -(x – 2)$, nên $(x^2 – 2x + 5)(2 – x)$ là đối của $(x^2 – 2x + 5)(x – 2)$.

Bài mẫu 3: Tính $(x^3 – 2x^2 + x – 1)(3x – 2)$ theo hai cách.

Lời giải:

Cách 1 (hàng ngang):

$$= 3x(x^3 – 2x^2 + x – 1) + (-2)(x^3 – 2x^2 + x – 1)$$

$$= 3x^4 – 6x^3 + 3x^2 – 3x – 2x^3 + 4x^2 – 2x + 2$$

$$= 3x^4 + (-6x^3 – 2x^3) + (3x^2 + 4x^2) + (-3x – 2x) + 2$$

$$= 3x^4 – 8x^3 + 7x^2 – 5x + 2$$

Cách 2 (đặt tính cột):

$$\begin{array}{r} x^3 – 2x^2 + x – 1 \\ \times \qquad\qquad\qquad 3x – 2 \\ \hline -2x^3 + 4x^2 – 2x + 2 \\ 3x^4 – 6x^3 + 3x^2 – 3x \qquad\;\; \\ \hline 3x^4 – 8x^3 + 7x^2 – 5x + 2 \end{array}$$

Dạng 4: Rút gọn biểu thức và chứng minh không phụ thuộc vào biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện các phép nhân trong biểu thức.

Bước 2: Bỏ ngoặc, nhóm hạng tử cùng bậc.

Bước 3: Thu gọn. Nếu tất cả hạng tử chứa biến triệt tiêu hết, chỉ còn hằng số → biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài mẫu: Chứng minh biểu thức $(x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + (x + 7)$ không phụ thuộc vào $x$.

Lời giải:

$$(x – 5)(2x + 3) = 2x^2 + 3x – 10x – 15 = 2x^2 – 7x – 15$$

$$-2x(x – 3) = -2x^2 + 6x$$

Cộng lại:

$$2x^2 – 7x – 15 – 2x^2 + 6x + x + 7$$

$$= (2x^2 – 2x^2) + (-7x + 6x + x) + (-15 + 7)$$

$$= 0 + 0 – 8 = -8$$

Biểu thức luôn bằng $-8$ với mọi giá trị của $x$, nên không phụ thuộc vào biến.

Dạng 5: Bài toán thực tế — tìm đa thức biểu thị thể tích, diện tích

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết biểu thức đại số cho các kích thước.

Bước 2: Thực hiện phép nhân đa thức để tìm biểu thức thể tích (hoặc diện tích).

Bước 3: Thu gọn kết quả.

Bài mẫu 1: Ba kích thước hình hộp chữ nhật là $x$, $x + 1$ và $x – 1$ (cm), với $x > 1$. Tìm đa thức biểu thị thể tích.

Lời giải:

$$V = x(x + 1)(x – 1)$$

Tính $(x + 1)(x – 1)$ trước:

$$(x + 1)(x – 1) = x^2 – x + x – 1 = x^2 – 1$$

Nhân tiếp với $x$:

$$V = x(x^2 – 1) = x^3 – x \text{ (cm³)}$$

Bài mẫu 2: Cho hình vuông cạnh $5x – 1$, bên trong có hình chữ nhật kích thước $3x + 3$ và $2x$. Tìm biểu thức diện tích phần bên ngoài hình chữ nhật.

Lời giải:

Diện tích hình vuông:

$$(5x – 1)^2 = (5x – 1)(5x – 1) = 25x^2 – 5x – 5x + 1 = 25x^2 – 10x + 1$$

Diện tích hình chữ nhật:

$$2x(3x + 3) = 6x^2 + 6x$$

Diện tích phần cần tìm:

$$(25x^2 – 10x + 1) – (6x^2 + 6x) = 19x^2 – 16x + 1$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Đếm số hạng tử: Khi nhân đa thức $m$ hạng tử với đa thức $n$ hạng tử, sẽ có $m \times n$ tích cần tính. Đếm để chắc chắn không bỏ sót.

Mẹo 2 – Kiểm tra bằng thay $x = 1$: Sau khi nhân, thay $x = 1$ vào cả hai vế. Ví dụ: $(2 + 4)(3 – 2 – 7)$ phải bằng giá trị đa thức kết quả tại $x = 1$.

Mẹo 3 – Bậc của tích: Bậc của tích hai đa thức bằng tổng bậc của hai đa thức. Dùng điều này để kiểm tra nhanh: nếu nhân đa thức bậc 2 với đa thức bậc 3, kết quả phải có bậc 5.

Mẹo 4 – Đặt tính cột cho đa thức dài: Khi cả hai đa thức đều có từ 3 hạng tử trở lên, đặt tính cột giúp tránh nhầm lẫn hơn nhiều so với nhân hàng ngang.

Tổng kết

Nhân đơn thức với đa thức: Nhân đơn thức với từng hạng tử, cộng các tích.

$$A(B + C + D) = AB + AC + AD$$

Nhân đa thức với đa thức: Nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, cộng các tích rồi thu gọn.

$$(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD$$

Hai cách trình bày: Hàng ngang hoặc đặt tính cột.

Tính chất: Giao hoán, kết hợp, phân phối đối với phép cộng.

Lưu ý: Bậc tích = tổng bậc hai đa thức. Luôn thu gọn kết quả sau khi nhân.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du