Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác

Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Nhắc lại: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó. Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó, và ngược lại.

Mỗi tam giác có ba đường trung trực (ứng với ba cạnh).

Định lí 1

Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Trong tam giác $ABC$, nếu ba đường trung trực đồng quy tại $O$ thì:

$$OA = OB = OC$$

Nhận xét: Vì $OA = OB = OC$ nên có một đường tròn tâm $O$ đi qua cả ba đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác. Đường tròn này gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Vị trí điểm $O$ tuỳ theo loại tam giác:

• Tam giác nhọn: $O$ nằm bên trong tam giác.
• Tam giác vuông: $O$ nằm tại trung điểm cạnh huyền.
• Tam giác tù: $O$ nằm bên ngoài tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Vẽ đường trung tuyến $AI$ của tam giác.

a) Chứng minh $AI$ là đường trung trực của cạnh $BC$.

b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ có nằm trên $AI$ không?

Giải:

a) Hai tam giác $AIB$ và $AIC$ có: $AB = AC$ (gt), $IB = IC$ (do $AI$ là trung tuyến), cạnh $AI$ chung.

Do đó $\triangle AIB = \triangle AIC$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AIB} = \widehat{AIC}$. Mà $\widehat{AIB}$ và $\widehat{AIC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = 90°$.

Vậy $AI \perp BC$ tại trung điểm $I$ → $AI$ là đường trung trực của cạnh $BC$. ∎

b) Điểm cách đều ba đỉnh nằm trên đường trung trực của $BC$. Theo câu a, đường trung trực của $BC$ chính là $AI$. Vậy điểm đó nằm trên trung tuyến $AI$.

Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác

Đường cao của tam giác

Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện) gọi là đường cao của tam giác.

Mỗi tam giác có ba đường cao (ứng với ba đỉnh).

Định lí 2

Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.

Điểm đồng quy của ba đường cao gọi là trực tâm của tam giác.

Vị trí trực tâm $H$ tuỳ theo loại tam giác:

• Tam giác nhọn: $H$ nằm bên trong tam giác.
• Tam giác vuông tại $A$: $H$ trùng với đỉnh $A$ (đỉnh góc vuông).
• Tam giác tù: $H$ nằm bên ngoài tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $LP$ và $MQ$ cắt nhau tại $S$. Chứng minh $NS \perp ML$.

Giải:

Tam giác $LMN$ có hai đường cao $LP$ ($LP \perp MN$) và $MQ$ ($MQ \perp LN$) cắt nhau tại $S$.

Theo Định lí 2, $S$ là trực tâm của tam giác $LMN$.

Do đó đường thẳng qua $N$ và $S$ cũng là đường cao thứ ba, tức $NS \perp ML$. ∎

Tổng hợp bốn đường đặc biệt trong tam giác

Trong tam giác cân tại $A$: Đường cao từ đỉnh $A$ đồng thời là đường trung trực, đường phân giác và đường trung tuyến ứng với cạnh đáy $BC$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm điểm cách đều ba đỉnh (ứng dụng đường trung trực)

Phương pháp giải:

Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác = giao điểm ba đường trung trực. Chỉ cần vẽ hai đường trung trực, giao điểm của chúng chính là điểm cần tìm.

Khi $O$ cách đều ba đỉnh: $OA = OB = OC$ → có thể vẽ đường tròn tâm $O$ đi qua ba đỉnh.

Bài mẫu 1: Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có ba điểm dân cư $A$, $B$, $C$. Tìm địa điểm $M$ để xây một trường học sao cho trường học cách đều ba điểm dân cư.

Lời giải:

Ba điểm dân cư $A$, $B$, $C$ tạo thành ba đỉnh của tam giác $ABC$.

Vì $M$ cách đều ba điểm dân cư nên $MA = MB = MC$.

Do $MA = MB$ nên $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$.

Do $MB = MC$ nên $M$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Vậy $M$ là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$.

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$. Từ $M$, $N$ vẽ hai đường trung trực cắt nhau tại $O$. Biết $OA = 5\text{ cm}$. Tính $OB$.

Lời giải:

$OM$ là đường trung trực của $AB$, $ON$ là đường trung trực của $BC$, cắt nhau tại $O$.

Suy ra $O$ cách đều ba đỉnh: $OA = OB = OC$.

Vì $OA = 5\text{ cm}$ nên $OB = 5\text{ cm}$.

Bài mẫu 3: Cho tam giác $ABC$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$. Từ $M$, $N$ vẽ hai đường trung trực cắt nhau tại $O$. Biết đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ có đường kính bằng $8\text{ cm}$. Tính $OB$.

Lời giải:

$O$ cách đều ba đỉnh nên $OA = OB = OC$.

Đường kính $= 8\text{ cm}$ nên bán kính $OA = 4\text{ cm}$.

Vì $OA = OB$ nên $OB = 4\text{ cm}$.

Dạng 2: Xác định trực tâm và ứng dụng đường cao

Phương pháp giải:

• Nếu hai đường cao cắt nhau tại $H$ → $H$ là trực tâm → đường thẳng nối đỉnh thứ ba qua $H$ là đường cao thứ ba (vuông góc với cạnh đối diện).
• Tam giác vuông tại $A$ → trực tâm trùng đỉnh $A$.
• Ứng dụng: để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chỉ ra chúng liên quan đến đường cao và trực tâm.

Bài mẫu 1: Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $CH \perp AB$.

Lời giải:

Tam giác $ABC$ có hai đường cao $AM$ ($AM \perp BC$) và $BN$ ($BN \perp AC$) cắt nhau tại $H$.

Theo Định lí 2, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Do đó đường thẳng qua $C$ và $H$ cũng là đường cao → $CH \perp AB$. ∎

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Lấy điểm $H$ thuộc cạnh $AB$. Vẽ $HM \perp BC$ tại $M$. Tia $MH$ cắt tia $CA$ tại $N$. Chứng minh rằng $CH \perp NB$.

Lời giải:

Xét tam giác $BNC$:

• $BA \perp NC$ (vì $\widehat{BAC} = 90°$ và $A$ nằm trên $NC$).
• $NM \perp BC$ (vì $HM \perp BC$ và $N$ nằm trên tia $MH$).

Do đó $BA$ và $NM$ là hai đường cao của tam giác $BNC$.

Mà $BA$ và $NM$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $BNC$.

Suy ra $CH$ là đường cao thứ ba → $CH \perp NB$. ∎

Bài mẫu 3: Cho tam giác $ABC$ có ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. Tìm trực tâm của các tam giác $HBC$, $HAB$, $HAC$.

Lời giải:

Tam giác $HBC$: $HD \perp BC$ (vì $AD \perp BC$) và $BF \perp HC$ (vì $CF \perp AB$ nên $BF \perp HC$). Do đó $HD$ và $BF$ là hai đường cao của tam giác $HBC$, cắt nhau tại $A$. Vậy $A$ là trực tâm của tam giác $HBC$.

Tam giác $HAB$: $HF \perp AB$ và $BD \perp AH$. Hai đường cao này cắt nhau tại $C$. Vậy $C$ là trực tâm của tam giác $HAB$.

Tam giác $HAC$: $HE \perp AC$ và $CD \perp AH$. Hai đường cao này cắt nhau tại $B$. Vậy $B$ là trực tâm của tam giác $HAC$.

Dạng 3: Chứng minh tính chất trong tam giác cân, tam giác đều

Phương pháp giải:

• Trong tam giác cân tại $A$: đường cao từ $A$ = đường trung trực cạnh $BC$ = đường phân giác góc $A$ = đường trung tuyến ứng cạnh $BC$. Chứng minh bằng cách chỉ ra hai tam giác vuông bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
• Trong tam giác đều: mỗi đường cao đồng thời là trung trực, phân giác, trung tuyến → trực tâm = trọng tâm = điểm cách đều ba đỉnh = điểm cách đều ba cạnh.

Bài mẫu 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AK$. Biết $\widehat{BAC} = 40°$. Tính $\widehat{ACK}$.

Lời giải:

Xét $\triangle ABK$ và $\triangle ACK$ cùng vuông tại $K$ có: $AK$ chung, $AB = AC$ (tam giác cân tại $A$).

Do đó $\triangle ABK = \triangle ACK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{KAC} = \widehat{BAK} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = \dfrac{40°}{2} = 20°$.

Trong tam giác vuông $AKC$:

$$\widehat{KAC} + \widehat{ACK} = 90°$$

$$\widehat{ACK} = 90° – 20° = 70°$$

Bài mẫu 2: Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$. Biết $AD = BE = CF$. Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

Lời giải:

Xét $\triangle FBC$ vuông tại $F$ và $\triangle ECB$ vuông tại $E$ có: $CF = BE$ (gt), $BC$ chung.

Do đó $\triangle FBC = \triangle ECB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{FBC} = \widehat{ECB}$.

Tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ → tam giác $ABC$ cân tại $A$. Suy ra $AB = AC$ … (1).

Xét $\triangle EAB$ vuông tại $E$ và $\triangle DBA$ vuông tại $D$ có: $BE = AD$ (gt), $AB$ chung.

Do đó $\triangle EAB = \triangle DBA$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{EAB} = \widehat{DBA}$.

Tam giác $ABC$ có $\widehat{CAB} = \widehat{CBA}$ → tam giác $ABC$ cân tại $C$. Suy ra $CA = CB$ … (2).

Từ (1) và (2): $AB = BC = CA$ → tam giác $ABC$ đều. ∎

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Phân biệt nhanh bốn điểm đặc biệt:

• Trọng tâm (giao trung tuyến): tỉ lệ $\frac{2}{3}$.
• Điểm cách đều ba cạnh (giao phân giác): tâm đường tròn nội tiếp.
• Điểm cách đều ba đỉnh (giao trung trực): tâm đường tròn ngoại tiếp.
• Trực tâm (giao đường cao): vị trí thay đổi theo loại tam giác.

Mẹo 2 – Chứng minh vuông góc bằng trực tâm: Muốn chứng minh $CH \perp AB$, chỉ cần chỉ ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ (tức hai đường cao kia đi qua $H$).

Mẹo 3 – Tam giác cân “bốn trong một”: Trong tam giác cân tại $A$, đường cao từ $A$ đồng thời là trung tuyến, phân giác, trung trực ứng cạnh đáy. Ghi nhớ điều này giúp chứng minh nhanh nhiều bài toán.

Tổng kết

Đường trung trực:

• Vuông góc với cạnh tại trung điểm. Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.
• Đồng quy tại điểm cách đều ba đỉnh $\Rightarrow$ tâm đường tròn ngoại tiếp: $OA = OB = OC$.

Đường cao:

• Vuông góc từ đỉnh đến cạnh đối diện. Mỗi tam giác có 3 đường cao.
• Đồng quy tại trực tâm $H$.
• Vị trí $H$: bên trong (nhọn), tại đỉnh vuông (vuông), bên ngoài (tù).

Tam giác cân tại $A$: Đường cao từ đỉnh $A$ = đường trung trực cạnh $BC$ = đường phân giác góc $A$ = đường trung tuyến ứng cạnh $BC$.

Tam giác đều: Trọng tâm = trực tâm = điểm cách đều ba đỉnh = điểm cách đều ba cạnh.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du