Hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác

Trong thực tế, nhiều vật dụng có dạng hình lăng trụ đứng: thanh kẹo socola, lịch để bàn, chặn giấy, mái nhà… Ở bài trước ta đã học hình hộp chữ nhật và hình lập phương — đó thực chất cũng là các hình lăng trụ đứng tứ giác. Bài này mở rộng sang lăng trụ đứng có đáy là tam giác hoặc tứ giác bất kỳ.

Một số yếu tố cơ bản

Trong hình lăng trụ đứng tam giác (tứ giác):

• Hai mặt đáy song song với nhau (là hai tam giác hoặc hai tứ giác bằng nhau).
• Các mặt bên là những hình chữ nhật.
• Các cạnh bên song song và bằng nhau, vuông góc với hai đáy.
• Độ dài một cạnh bên gọi là chiều cao của lăng trụ đứng.

Lưu ý: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương cũng là các hình lăng trụ đứng tứ giác (đáy là hình chữ nhật hoặc hình vuông).

Ví dụ: Hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ có:

• 6 đỉnh: $A,, B,, C,, A’,, B’,, C’$.
• 6 cạnh đáy: $AB,, BC,, CA,, A’B’,, B’C’,, C’A’$.
• 3 cạnh bên: $AA’,, BB’,, CC’$.
• 2 mặt đáy: tam giác $ABC$ và tam giác $A’B’C’$.
• 3 mặt bên: hình chữ nhật $ABB’A’$, $ACC’A’$, $BCC’B’$.

Diện tích xung quanh và thể tích

Diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tích của chu vi đáy và chiều cao:

$$S_{xq} = C \cdot h$$

Trong đó: $C$ là chu vi một đáy, $h$ là chiều cao (độ dài cạnh bên).

Ví dụ: Một giá đỡ lịch để bàn có dạng hình lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác có ba cạnh $18\text{ cm}$, $18\text{ cm}$, $6\text{ cm}$ và chiều cao $22\text{ cm}$. Tính diện tích bìa dùng làm giá đỡ (diện tích xung quanh).

Giải:

Chu vi đáy: $C = 18 + 18 + 6 = 42\text{ (cm)}$.

$$S_{xq} = C \cdot h = 42 \times 22 = 924\text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích

Thể tích hình lăng trụ đứng bằng tích của diện tích đáy và chiều cao:

$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h$$

Trong đó: $S_{\text{đáy}}$ là diện tích một đáy, $h$ là chiều cao.

Ví dụ: Một lăng kính thuỷ tinh có dạng lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác có cạnh đáy $12\text{ cm}$ và chiều cao tương ứng $9\text{ cm}$, chiều cao lăng trụ $18\text{ cm}$. Tính thể tích lăng kính.

Giải:

Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}} = \dfrac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54\text{ (cm}^2\text{)}$.

$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 54 \times 18 = 972\text{ (cm}^3\text{)}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định chu vi đáy $C$ (tổng độ dài các cạnh của đa giác đáy).

Bước 2: Xác định chiều cao $h$ (độ dài cạnh bên).

Bước 3: Áp dụng $S_{xq} = C \cdot h$.

Nếu bài yêu cầu diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + 2 \cdot S_{\text{đáy}}$.

Bài mẫu 1: Một lều chữ A dạng hình lăng trụ đứng có kích thước: hai mái mỗi mái $2\text{ m}$, đáy $2\text{ m}$, chiều dài lều $5\text{ m}$. Tính diện tích vải để làm hai mái và trải đáy của lều.

Lời giải:

Diện tích vải cần dùng chính là diện tích xung quanh (hai mái + đáy):

$$S_{xq} = (2 + 2 + 2) \times 5 = 6 \times 5 = 30\text{ (m}^2\text{)}$$

Bài mẫu 2: Một khúc gỗ chặn bánh xe có dạng hình lăng trụ đứng, đáy là hình thang cân có các cạnh $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$, $30\text{ cm}$ và chiều cao lăng trụ $60\text{ cm}$. Người ta sơn xung quanh (không sơn hai đầu). Chi phí sơn $20\,000$ đồng/m². Tính tiền sơn.

Lời giải:

Chu vi đáy: $C = 15 \times 3 + 30 = 75\text{ (cm)}$.

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 75 \times 60 = 4\,500\text{ (cm}^2\text{)}$.

Đổi: $4\,500\text{ cm}^2 = 0{,}45\text{ m}^2$.

Chi phí sơn: $0{,}45 \times 20\,000 = 9\,000\text{ (đồng)}$.

Bài mẫu 3: Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tứ giác có độ dài các cạnh đáy lần lượt là $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$, $6\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ và chiều cao $12\text{ cm}$.

Lời giải:

Chu vi đáy: $C = 4 + 5 + 6 + 7 = 22\text{ (cm)}$.

$$S_{xq} = C \cdot h = 22 \times 12 = 264\text{ (cm}^2\text{)}$$

Dạng 2: Tính thể tích

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính diện tích đáy $S_{\text{đáy}}$.

• Đáy tam giác: $S = \dfrac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}$.
• Đáy hình thang: $S = \dfrac{1}{2} \times (\text{đáy lớn} + \text{đáy nhỏ}) \times \text{chiều cao}$.
• Đáy hình chữ nhật: $S = \text{dài} \times \text{rộng}$.

Bước 2: Áp dụng $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$.

Bài mẫu 1: Tính diện tích xung quanh và thể tích hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $6\text{ cm}$ và $8\text{ cm}$, cạnh huyền $10\text{ cm}$, chiều cao lăng trụ $15\text{ cm}$.

Lời giải:

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = (6 + 8 + 10) \times 15 = 24 \times 15 = 360\text{ (cm}^2\text{)}$.

Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\text{ (cm}^2\text{)}$.

Thể tích: $V = 24 \times 15 = 360\text{ (cm}^3\text{)}$.

Bài mẫu 2: Một chiếc khay đựng linh kiện bằng nhựa có dạng hình lăng trụ đứng, đáy là hình thang vuông có hai cạnh đáy $30\text{ cm}$ và $40\text{ cm}$, chiều cao hình thang $15\text{ cm}$, chiều cao lăng trụ (chiều dài khay) $20\text{ cm}$. Tính thể tích của khay.

Lời giải:

Diện tích đáy (hình thang vuông):

$$S_{\text{đáy}} = \dfrac{1}{2} \times (30 + 40) \times 15 = \dfrac{1}{2} \times 70 \times 15 = 525\text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích:

$$V = 525 \times 20 = 10\,500\text{ (cm}^3\text{)}$$

Bài mẫu 3: Thùng một chiếc máy nông nghiệp có dạng hình lăng trụ đứng tứ giác, đáy là hình thang vuông có đáy lớn $3\text{ m}$, đáy nhỏ $1{,}5\text{ m}$, chiều cao hình thang $1{,}5\text{ m}$ và chiều cao lăng trụ $2\text{ m}$. Tính dung tích thùng.

Lời giải:

Diện tích đáy:

$$S_{\text{đáy}} = \dfrac{1}{2} \times (1{,}5 + 3) \times 1{,}5 = \dfrac{1}{2} \times 4{,}5 \times 1{,}5 = 3{,}375\text{ (m}^2\text{)}$$

Dung tích:

$$V = 3{,}375 \times 2 = 6{,}75\text{ (m}^3\text{)}$$

Dạng 3: Tính thể tích hình ghép từ nhiều lăng trụ

Phương pháp giải:

Chia hình phức tạp thành các hình lăng trụ đơn giản (hình hộp chữ nhật + lăng trụ tam giác…), tính thể tích từng phần rồi cộng lại.

Bài mẫu 1: Một hình gồm hai hình lăng trụ đứng ghép lại: phần dưới là lăng trụ tứ giác (đáy hình chữ nhật $10\text{ cm} \times 5\text{ cm}$), phần trên là lăng trụ tam giác (đáy tam giác có cạnh đáy $10\text{ cm}$, chiều cao $3\text{ cm}$). Cả hai có cùng chiều cao (chiều sâu) $8\text{ cm}$. Tính tổng thể tích.

Lời giải:

Thể tích lăng trụ tứ giác: $V_1 = 10 \times 5 \times 8 = 400\text{ (cm}^3\text{)}$.

Diện tích đáy lăng trụ tam giác: $S_2 = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 10 = 15\text{ (cm}^2\text{)}$.

Thể tích lăng trụ tam giác: $V_2 = 15 \times 8 = 120\text{ (cm}^3\text{)}$.

Tổng thể tích: $V = 400 + 120 = 520\text{ (cm}^3\text{)}$.

Bài mẫu 2: Một bể bơi được ghép bởi một hình hộp chữ nhật (dài $25\text{ m}$, rộng $10\text{ m}$, cao $2\text{ m}$) và một hình lăng trụ đứng tam giác (đáy tam giác có cạnh đáy $4\text{ m}$, chiều cao $7\text{ m}$, chiều rộng bể $10\text{ m}$). Tính dung tích bể khi đầy nước.

Lời giải:

Thể tích hình hộp chữ nhật: $V_1 = 25 \times 10 \times 2 = 500\text{ (m}^3\text{)}$.

Diện tích đáy lăng trụ tam giác: $S_2 = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 7 = 14\text{ (m}^2\text{)}$.

Thể tích lăng trụ tam giác: $V_2 = 14 \times 10 = 140\text{ (m}^3\text{)}$.

Dung tích bể bơi: $V = 500 + 140 = 640\text{ (m}^3\text{)}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Công thức chung cho mọi lăng trụ đứng:

$$S_{xq} = C \cdot h \qquad V = S_{\text{đáy}} \cdot h$$

Chỉ khác nhau ở cách tính $C$ (chu vi đáy) và $S_{\text{đáy}}$ (diện tích đáy) tuỳ theo hình dạng đáy.

Mẹo 2 – Nhận biết nhanh hình lăng trụ đứng: Nếu hai đáy song song, các mặt bên đều là hình chữ nhật, các cạnh bên vuông góc với đáy → đó là lăng trụ đứng.

Mẹo 3 – Hình ghép: Khi gặp hình phức tạp, tìm cách cắt thành các hình đơn giản (hộp chữ nhật + lăng trụ tam giác). Tính riêng rồi cộng lại.

Tổng kết

Hình lăng trụ đứng tam giác / tứ giác:

• Hai đáy song song, là tam giác (hoặc tứ giác) bằng nhau.
• Các mặt bên là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với đáy.
• Chiều cao $h$ = độ dài cạnh bên.

Công thức:

$$S_{xq} = C \cdot h \qquad V = S_{\text{đáy}} \cdot h$$

Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là trường hợp đặc biệt của lăng trụ đứng tứ giác.

Bài toán hình ghép: Chia thành các lăng trụ đơn giản → tính riêng → cộng lại.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du