Lớp 6 · Toán
Bài 8
Quan Hệ Chia Hết Và Tính Chất
Khi nào $a \vdots b$ – Ước và Bội – Tính chất chia hết của tổng
1
Khi nào $a$ chia hết cho $b$?
▼
Xét hai phép chia:
21
$:$
7
$=$
3
(không dư)
→ Ta nói $21$ chia hết cho $7$, viết $21 \vdots 7$
22
$:$
7
$=$
3
(dư 1)
→ Ta nói $22$ không chia hết cho $7$, viết $22 \not\vdots 7$
📐
Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ (với $b \neq 0$). Nếu tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $a = k \cdot b$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$, kí hiệu $a \vdots b$.
Nếu $a$ không chia hết cho $b$, ta kí hiệu $a \not\vdots b$.
Nếu $a$ không chia hết cho $b$, ta kí hiệu $a \not\vdots b$.
Ví dụ kiểm tra
$21 \vdots 7$ vì $21 = 3 \cdot 7$
$22 \not\vdots 7$ vì $22 = 3 \cdot 7 + 1$
💡Nhận xét quan trọng: Trong một tích, nếu có một thừa số chia hết cho một số thì tích cũng chia hết cho số đó.
Ví dụ: Vì $28 \vdots 7$ nên $(15 \cdot 28) \vdots 7$.
Ví dụ: Vì $28 \vdots 7$ nên $(15 \cdot 28) \vdots 7$.
2
Ước và Bội
▼
Khi $a$ chia hết cho $b$, ta có hai cách nói:
$b$ là ước của $a$
Ước
Tập các ước của $a$: $\text{Ư}(a)$
(tập hữu hạn)
(tập hữu hạn)
$a$ là bội của $b$
Bội
Tập các bội của $b$: $\text{B}(b)$
(tập vô hạn)
(tập vô hạn)
Ví dụ: $21 \vdots 7$
→ $7$ là ước của $21$
→ $21$ là bội của $7$
→ $21$ là bội của $7$
🎯Mẹo phân biệt: Trong phép chia $a : b = k$ (chia hết), số bị chia $a$ là bội, còn số chia $b$ là ước. Ước thì ít (hữu hạn), bội thì nhiều (vô hạn).
3
Cách tìm ước của một số
▼
Muốn tìm tất cả các ước của $a$ (với $a > 1$), ta lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ 1 đến $a$. Số nào chia hết thì là ước.
Ví dụ: Tìm tất cả các ước của $18$
| Chia thử | Kết quả | Kết luận |
|---|---|---|
| $18 : 1$ | $= 18$ | ✓ Ước |
| $18 : 2$ | $= 9$ | ✓ Ước |
| $18 : 3$ | $= 6$ | ✓ Ước |
| $18 : 4$ | dư 2 | ✗ Không |
| $18 : 5$ | dư 3 | ✗ Không |
| $18 : 6$ | $= 3$ | ✓ Ước |
| $18 : 9$ | $= 2$ | ✓ Ước |
| $18 : 18$ | $= 1$ | ✓ Ước |
$\Rightarrow \text{Ư}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$
💡Mẹo: Khi tìm ước của $a$, ta không cần thử chia $a$ cho hết tất cả các số từ $1$ đến $a$. Chỉ cần thử đến số chia $b$ mà thương của phép chia không lớn hơn $b$ thì có thể dừng, vì các ước lớn hơn đã xuất hiện ở cột thương của các bước trước.
Ví dụ với $18$: đến $18 : 6 = 3$, thương $3$ đã nhỏ hơn số chia $6$ nên ta dừng lại. Các ước còn lại của $18$ (là $9$ và $18$) chính là các thương $9; 18$ đã xuất hiện ở các phép chia $18:2$ và $18:1$ trước đó.
Ví dụ với $18$: đến $18 : 6 = 3$, thương $3$ đã nhỏ hơn số chia $6$ nên ta dừng lại. Các ước còn lại của $18$ (là $9$ và $18$) chính là các thương $9; 18$ đã xuất hiện ở các phép chia $18:2$ và $18:1$ trước đó.
4
Cách tìm bội của một số
▼
Muốn tìm các bội của $b$ (với $b \neq 0$), ta nhân $b$ lần lượt với $0; 1; 2; 3; \dots$
Ví dụ: Tìm các bội của $7$ nhỏ hơn $40$
0
$7 \cdot 0$
7
$7 \cdot 1$
14
$7 \cdot 2$
21
$7 \cdot 3$
28
$7 \cdot 4$
35
$7 \cdot 5$
$7 \cdot 6 = 42 > 40$ nên dừng lại.
Các bội của $7$ nhỏ hơn $40$: $\{0; 7; 14; 21; 28; 35\}$
⚠️Lưu ý: Số $0$ cũng là bội của mọi số khác $0$ (vì $0 = 0 \cdot b$). Khi liệt kê bội, phải bắt đầu từ $0$.
5
Tính chất 1 — Tổng chia hết
▼
✅ Tính chất 1 — Trường hợp chia hết
Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng cũng chia hết cho số đó.
Nếu $a \vdots m$ và $b \vdots m$
thì $(a + b) \vdots m$
thì $(a + b) \vdots m$
📌Mở rộng: Tính chất 1 cũng đúng với:
• Tổng nhiều số hạng: $a \vdots m$, $b \vdots m$, $c \vdots m$ $\Rightarrow (a + b + c) \vdots m$
• Phép trừ (hiệu): $a \vdots m$ và $b \vdots m$ $\Rightarrow (a - b) \vdots m$
• Tổng nhiều số hạng: $a \vdots m$, $b \vdots m$, $c \vdots m$ $\Rightarrow (a + b + c) \vdots m$
• Phép trừ (hiệu): $a \vdots m$ và $b \vdots m$ $\Rightarrow (a - b) \vdots m$
Ví dụ: Xét $9 + 21 + 42$ có chia hết cho $3$ không?
✓
$9$
chia hết cho $3$ (vì $9 = 3 \cdot 3$)
✓
$21$
chia hết cho $3$ (vì $21 = 3 \cdot 7$)
✓
$42$
chia hết cho $3$ (vì $42 = 3 \cdot 14$)
Tất cả đều chia hết cho $3$
$\Rightarrow (9 + 21 + 42) \vdots 3$ ✓
$\Rightarrow (9 + 21 + 42) \vdots 3$ ✓
Ví dụ 2 (với phép trừ): $(36 - 20)$ chia hết cho $4$?
$36 \vdots 4$ (vì $36 = 4 \cdot 9$)
$20 \vdots 4$ (vì $20 = 4 \cdot 5$)
$\Rightarrow (36 - 20) \vdots 4$ ✓
$20 \vdots 4$ (vì $20 = 4 \cdot 5$)
$\Rightarrow (36 - 20) \vdots 4$ ✓
6
Tính chất 2 — Tổng không chia hết
▼
❌ Tính chất 2 — Trường hợp không chia hết
Nếu trong một tổng, đúng một số hạng không chia hết, còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho cùng một số, thì tổng không chia hết cho số đó.
Nếu $a \vdots m$ và $b \not\vdots m$
thì $(a + b) \not\vdots m$
thì $(a + b) \not\vdots m$
Ví dụ: Xét $10 + 35 + 2023$ có chia hết cho $5$ không?
✓
$10$
chia hết cho $5$
✓
$35$
chia hết cho $5$
✗
$2023$
không chia hết cho $5$ ($2023 = 5 \cdot 404 + 3$)
Có đúng 1 số không chia hết cho $5$
$\Rightarrow (10 + 35 + 2023) \not\vdots 5$
$\Rightarrow (10 + 35 + 2023) \not\vdots 5$
⚠️Lưu ý CỰC QUAN TRỌNG: Tính chất 2 chỉ áp dụng khi có đúng MỘT số hạng không chia hết.
Nếu có hai hay nhiều số hạng cùng không chia hết → KHÔNG thể kết luận ngay, cần xét kĩ hơn (gộp lại tính toán cụ thể).
Ví dụ nhầm lẫn: $6 \not\vdots 4$ và $10 \not\vdots 4$ nhưng $6 + 10 = 16 \vdots 4$!
Nếu có hai hay nhiều số hạng cùng không chia hết → KHÔNG thể kết luận ngay, cần xét kĩ hơn (gộp lại tính toán cụ thể).
Ví dụ nhầm lẫn: $6 \not\vdots 4$ và $10 \not\vdots 4$ nhưng $6 + 10 = 16 \vdots 4$!
7
Tóm tắt — Sơ đồ xét tính chia hết
▼
Khi xét một tổng $(a + b + c + \dots)$ có chia hết cho $m$ hay không, hãy làm theo các bước:
1
Kiểm tra từng số hạng xem có chia hết cho $m$ không.
2
Nếu tất cả đều chia hết → dùng Tính chất 1 → tổng chia hết.
3
Nếu đúng 1 số hạng không chia hết, các số còn lại đều chia hết → dùng Tính chất 2 → tổng KHÔNG chia hết.
4
Nếu có nhiều số hạng cùng không chia hết → phải tính cụ thể, không thể kết luận ngay.
🎯Đối với tích: Chỉ cần một thừa số chia hết cho $m$ là cả tích chia hết cho $m$. Không cần kiểm tra tất cả thừa số.
1
—
Điểm: 0/25
🔢
Khám phá quan hệ chia hết!
25 câu: 19 trắc nghiệm · 3 tư duy · 3 tự luận
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du