Lớp 6 · Toán
Bài 12
Bội Chung Và Bội Chung Nhỏ Nhất
BC & BCNN – Phân tích thừa số – Quy đồng mẫu phân số
1
Bội chung là gì?
▼
Hãy xét hai số $8$ và $6$. Ta liệt kê bội của từng số:
B($8$) =
0
8
16
24
32
40
48
...
B($6$) =
0
6
12
18
24
30
36
42
48
...
Quan sát: Các số $0; 24; 48; \dots$ (màu xanh lá) xuất hiện đồng thời ở cả hai tập → chúng là bội chung của $8$ và $6$.
BC($8, 6$) =
0
24
48
72
...
📐
Định nghĩa: Bội chung của hai (hay nhiều) số là bội của tất cả các số đó.
Kí hiệu: $\text{BC}(a, b)$ là tập hợp các bội chung của $a$ và $b$.
Kí hiệu: $\text{BC}(a, b)$ là tập hợp các bội chung của $a$ và $b$.
⚠️Chú ý: Tập $\text{BC}(a, b)$ luôn là tập vô hạn, và luôn chứa số $\mathbf{0}$.
2
Bội chung nhỏ nhất (BCNN)
▼
Trong tập $\text{BC}(8, 6) = \{0; 24; 48; 72; \dots\}$, nếu bỏ số $0$, thì số nhỏ nhất còn lại là $24$. Ta gọi $24$ là bội chung nhỏ nhất của $8$ và $6$.
BC($8, 6$) — đánh dấu BCNN:
0
24
48
72
...
$\text{BCNN}(8, 6) = 24$
📐
Định nghĩa: Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai (hay nhiều) số là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các bội chung của chúng.
Kí hiệu: $\text{BCNN}(a, b)$.
Kí hiệu: $\text{BCNN}(a, b)$.
🌟Phân biệt:
• $\text{BC}(a, b)$ là một tập hợp (vô hạn).
• $\text{BCNN}(a, b)$ là một số (nhỏ nhất khác $0$).
Nhớ: BCNN không bao giờ là $0$!
• $\text{BC}(a, b)$ là một tập hợp (vô hạn).
• $\text{BCNN}(a, b)$ là một số (nhỏ nhất khác $0$).
Nhớ: BCNN không bao giờ là $0$!
3
Trường hợp đặc biệt
▼
⚡
Trường hợp 1: Nếu số lớn nhất là bội của tất cả các số còn lại, thì BCNN chính là số lớn nhất đó.
$$a \vdots b \Rightarrow \text{BCNN}(a, b) = a$$
$$a \vdots b \Rightarrow \text{BCNN}(a, b) = a$$
Ví dụ
• $\text{BCNN}(8, 24) = \mathbf{24}$ (vì $24 \vdots 8$)
• $\text{BCNN}(36, 9) = \mathbf{36}$ (vì $36 \vdots 9$)
• $\text{BCNN}(12, 24, 48) = \mathbf{48}$ (vì $48 \vdots 12$ và $48 \vdots 24$)
• $\text{BCNN}(36, 9) = \mathbf{36}$ (vì $36 \vdots 9$)
• $\text{BCNN}(12, 24, 48) = \mathbf{48}$ (vì $48 \vdots 12$ và $48 \vdots 24$)
🌟
Trường hợp 2: Với mọi số tự nhiên $a$ khác $0$: $\text{BCNN}(a, 1) = a$.
(Vì $a$ chia hết cho chính nó và $a \vdots 1$, nên $a$ chính là bội chung nhỏ nhất.)
(Vì $a$ chia hết cho chính nó và $a \vdots 1$, nên $a$ chính là bội chung nhỏ nhất.)
💡Mẹo nhanh: Trước khi phân tích thừa số, hãy kiểm tra xem số lớn có phải bội của các số nhỏ không. Nếu có → BCNN chính là số lớn, không cần phân tích.
4
Cách 1 — Tìm BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố
▼
1
Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2
Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng (tức là tất cả các thừa số NT xuất hiện).
3
Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN.
🔑Khẩu quyết BCNN: "Phân tích – Chọn tất cả – Mũ lớn nhất".
Ví dụ: Tìm $\text{BCNN}(18, 30)$
Bước 1 — Phân tích:
$18$
$= 2 \cdot $$3^2$
$30$
$= $$2$$ \cdot 3 \cdot $$5$
Bước 2 — Chọn tất cả thừa số NT:
Chung: $2$ và $3$. Riêng: $5$ (chỉ có ở $30$).
→ Chọn cả ba: $2, 3, 5$.
→ Chọn cả ba: $2, 3, 5$.
Bước 3 — Lấy số mũ lớn nhất:
• $2$: mũ lớn nhất là $\mathbf{1}$ → $2$
• $3$: mũ lớn nhất là $\mathbf{2}$ (ở $18$) → $3^2$
• $5$: mũ lớn nhất là $\mathbf{1}$ → $5$
• $3$: mũ lớn nhất là $\mathbf{2}$ (ở $18$) → $3^2$
• $5$: mũ lớn nhất là $\mathbf{1}$ → $5$
$\text{BCNN}(18, 30) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$
5
Phân biệt ƯCLN và BCNN
▼
Đây là điểm dễ nhầm lẫn nhất của học sinh. Hãy ghi nhớ bảng sau:
| Tiêu chí | ƯCLN | BCNN |
|---|---|---|
| Chọn thừa số NT | Chỉ thừa số chung | Tất cả (chung + riêng) |
| Lấy số mũ | Nhỏ nhất | Lớn nhất |
| So với 2 số | $\leq$ số nhỏ nhất | $\geq$ số lớn nhất |
🎯Khẩu quyết nhớ:
• ƯCLN = Chung + Nhỏ (chung, mũ nhỏ nhất)
• BCNN = Tất cả + Lớn (tất cả, mũ lớn nhất)
• ƯCLN = Chung + Nhỏ (chung, mũ nhỏ nhất)
• BCNN = Tất cả + Lớn (tất cả, mũ lớn nhất)
Ví dụ so sánh với $a = 18, b = 30$
ƯCLN
Chung: $2, 3$
Mũ nhỏ: $2, 3$
Mũ nhỏ: $2, 3$
$= 2 \cdot 3 = 6$
BCNN
Tất cả: $2, 3, 5$
Mũ lớn: $2, 3^2, 5$
Mũ lớn: $2, 3^2, 5$
$= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$
✨Công thức liên hệ: $a \cdot b = \text{ƯCLN}(a, b) \cdot \text{BCNN}(a, b)$
Ví dụ kiểm tra: $18 \cdot 30 = 540$; $6 \cdot 90 = 540$ ✓
Ví dụ kiểm tra: $18 \cdot 30 = 540$; $6 \cdot 90 = 540$ ✓
6
Cách 2 — Tìm BCNN từ ƯCLN (dùng thuật toán Ơ-clit)
▼
Ngoài cách phân tích thừa số nguyên tố, ta có thể tìm BCNN thông qua ƯCLN (đã học ở Bài 11). Cách này đặc biệt hữu ích khi các số lớn, khó phân tích ra thừa số nguyên tố.
$\text{BCNN}(a, b) = \dfrac{a \cdot b}{\text{ƯCLN}(a, b)}$
(Suy ra từ công thức $a \cdot b = \text{ƯCLN}(a, b) \cdot \text{BCNN}(a, b)$)
1
Tìm ƯCLN$(a, b)$ bằng thuật toán Ơ-clit: lấy số lớn chia số nhỏ, nếu còn dư thì lấy số chia chia cho số dư, lặp lại đến khi được dư $= 0$. Số chia cuối cùng là ƯCLN.
2
Tính tích $a \cdot b$.
3
Lấy $\text{BCNN} = \dfrac{a \cdot b}{\text{ƯCLN}}$.
Ví dụ 1: Tìm $\text{BCNN}(18, 30)$ qua ƯCLN
Bước 1 — Tìm ƯCLN$(18, 30)$ bằng Ơ-clit:
B1
$30 : 18 = 1$ dư $12$
B2
$18 : 12 = 1$ dư $6$
B3
$12 : 6 = 2$ dư $0$
$\Rightarrow \text{ƯCLN}(18, 30) = 6$
Bước 2 — Áp dụng công thức:
$\text{BCNN}(18, 30) = \dfrac{18 \cdot 30}{\text{ƯCLN}(18, 30)} = \dfrac{540}{6} = 90$
$\text{BCNN}(18, 30) = \dfrac{18 \cdot 30}{\text{ƯCLN}(18, 30)} = \dfrac{540}{6} = 90$
$\text{BCNN}(18, 30) = 90$
✓ Kết quả trùng khớp với Cách 1 (phân tích TSNT) ở Card 4.
Ví dụ 2: Tìm $\text{BCNN}(48, 180)$ — số lớn hơn
Bước 1 — Tìm ƯCLN$(48, 180)$ bằng Ơ-clit:
B1
$180 : 48 = 3$ dư $36$
B2
$48 : 36 = 1$ dư $12$
B3
$36 : 12 = 3$ dư $0$
$\Rightarrow \text{ƯCLN}(48, 180) = 12$
Bước 2 — Áp dụng công thức:
$\text{BCNN}(48, 180) = \dfrac{48 \cdot 180}{12} = \dfrac{8\,640}{12} = 720$
$\text{BCNN}(48, 180) = \dfrac{48 \cdot 180}{12} = \dfrac{8\,640}{12} = 720$
$\text{BCNN}(48, 180) = 720$
💡Khi nào dùng Cách 2?
• Khi hai số quá lớn hoặc khó phân tích ra thừa số nguyên tố.
• Ơ-clit chỉ cần thực hiện vài phép chia đơn giản là ra ƯCLN ngay, nhanh hơn phân tích.
• Sau khi có ƯCLN, chỉ cần một phép chia là ra BCNN.
• Khi hai số quá lớn hoặc khó phân tích ra thừa số nguyên tố.
• Ơ-clit chỉ cần thực hiện vài phép chia đơn giản là ra ƯCLN ngay, nhanh hơn phân tích.
• Sau khi có ƯCLN, chỉ cần một phép chia là ra BCNN.
⚠️Lưu ý quan trọng: Công thức $\text{BCNN}(a, b) = \dfrac{a \cdot b}{\text{ƯCLN}(a, b)}$ chỉ áp dụng cho 2 số. Với từ 3 số trở lên, phải làm từng đôi một:
$\text{BCNN}(a, b, c) = \text{BCNN}\big(\text{BCNN}(a, b),\; c\big)$
$\text{BCNN}(a, b, c) = \text{BCNN}\big(\text{BCNN}(a, b),\; c\big)$
🎯So sánh hai cách:
• Cách 1 (phân tích TSNT): dễ hiểu, phù hợp với số nhỏ.
• Cách 2 (qua ƯCLN + Ơ-clit): hiệu quả với số lớn, chỉ cần phép chia.
Cả hai cách đều cho cùng kết quả — chọn cách nào tùy vào đề bài!
• Cách 1 (phân tích TSNT): dễ hiểu, phù hợp với số nhỏ.
• Cách 2 (qua ƯCLN + Ơ-clit): hiệu quả với số lớn, chỉ cần phép chia.
Cả hai cách đều cho cùng kết quả — chọn cách nào tùy vào đề bài!
7
Tìm tập bội chung từ BCNN
▼
🎯
Nguyên tắc: Tập $\text{BC}(a, b)$ chính là tập các bội của $\text{BCNN}(a, b)$.
$$\text{BC}(a, b) = \text{B}(\text{BCNN}(a, b))$$
$$\text{BC}(a, b) = \text{B}(\text{BCNN}(a, b))$$
Ví dụ: Tìm các bội chung nhỏ hơn $100$ của $8$ và $6$
Bước 1: $\text{BCNN}(8, 6) = 24$.
Bước 2: Tìm các bội của $24$ nhỏ hơn $100$:
$24 \cdot 0 = 0$; $24 \cdot 1 = 24$; $24 \cdot 2 = 48$; $24 \cdot 3 = 72$; $24 \cdot 4 = 96$; $24 \cdot 5 = 120$ (dừng).
Bước 2: Tìm các bội của $24$ nhỏ hơn $100$:
$24 \cdot 0 = 0$; $24 \cdot 1 = 24$; $24 \cdot 2 = 48$; $24 \cdot 3 = 72$; $24 \cdot 4 = 96$; $24 \cdot 5 = 120$ (dừng).
Các bội chung nhỏ hơn $100$: $\{0; 24; 48; 72; 96\}$
📝Quan trọng: Không cần liệt kê bội của từng số rồi tìm giao — chỉ cần nhân BCNN với $0, 1, 2, \dots$ là đủ!
8
Ứng dụng: Quy đồng mẫu & Cộng trừ phân số
▼
Khi quy đồng mẫu các phân số, ta chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu số.
1
Tìm BCNN của các mẫu → đây là mẫu chung.
2
Tính thừa số phụ = mẫu chung $:$ mẫu cũ.
3
Nhân cả tử và mẫu với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu $\dfrac{3}{10}$ và $\dfrac{7}{15}$
B1: $\text{BCNN}(10, 15) = 30$ → mẫu chung $30$.
B2: Thừa số phụ: $30 : 10 = 3$; $30 : 15 = 2$.
B3: Nhân:
B2: Thừa số phụ: $30 : 10 = 3$; $30 : 15 = 2$.
B3: Nhân:
3
10
3 · 3
10 · 3
9
30
7
15
7 · 2
15 · 2
14
30
Ví dụ: Tính $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$
B1: $\text{BCNN}(4, 6) = 12$ → mẫu chung $12$.
B2: Quy đồng: $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$; $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$.
B3: Cộng tử, giữ mẫu:
B2: Quy đồng: $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$; $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$.
B3: Cộng tử, giữ mẫu:
1
4
1
6
3
12
2
12
5
12
⚠️Chú ý: Sau khi cộng/trừ, nên kiểm tra xem phân số kết quả đã tối giản chưa. Nếu chưa, rút gọn bằng cách chia tử và mẫu cho ƯCLN.
1
—
Điểm: 0/25
🔗
Khám phá BC & BCNN!
25 câu: 19 trắc nghiệm · 3 tư duy · 3 tự luận
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du