Lớp 6 · Toán
Bài 11
Ước Chung Và Ước Chung Lớn Nhất
ƯC & ƯCLN – Phân tích thừa số – Thuật toán Ơ-clit – Phân số tối giản
1
Ước chung là gì?
▼
Hãy xét hai số $20$ và $32$. Ta liệt kê ước của từng số:
Ư($20$) =
1
2
4
5
10
20
Ư($32$) =
1
2
4
8
16
32
Quan sát: Các số $1; 2; 4$ (màu xanh) xuất hiện đồng thời ở cả hai tập → chúng là ước chung của $20$ và $32$.
ƯC($20, 32$) =
1
2
4
📐
Định nghĩa: Ước chung của hai (hay nhiều) số là ước của tất cả các số đó.
Kí hiệu: $\text{ƯC}(a, b)$ là tập hợp các ước chung của $a$ và $b$.
Kí hiệu: $\text{ƯC}(a, b)$ là tập hợp các ước chung của $a$ và $b$.
2
Ước chung lớn nhất (ƯCLN)
▼
Trong tập $\text{ƯC}(20, 32) = \{1; 2; 4\}$, số lớn nhất là $4$. Ta gọi $4$ là ước chung lớn nhất của $20$ và $32$.
Phần giao (vùng xanh lá) chứa các ước chung, trong đó ★ là ƯCLN
$\text{ƯCLN}(20, 32) = 4$
📐
Định nghĩa: Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai (hay nhiều) số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng.
Kí hiệu: $\text{ƯCLN}(a, b)$.
Kí hiệu: $\text{ƯCLN}(a, b)$.
⚠️Phân biệt:
• $\text{ƯC}(a, b)$ là một tập hợp (chứa nhiều số).
• $\text{ƯCLN}(a, b)$ là một số (số lớn nhất trong tập ƯC).
• $\text{ƯC}(a, b)$ là một tập hợp (chứa nhiều số).
• $\text{ƯCLN}(a, b)$ là một số (số lớn nhất trong tập ƯC).
3
Trường hợp đặc biệt
▼
⚡
Trường hợp 1: Nếu số nhỏ nhất là ước của tất cả các số còn lại, thì ƯCLN chính là số nhỏ nhất đó.
$$a \vdots b \Rightarrow \text{ƯCLN}(a, b) = b$$
$$a \vdots b \Rightarrow \text{ƯCLN}(a, b) = b$$
Ví dụ
• $\text{ƯCLN}(8, 24) = \mathbf{8}$ (vì $24 \vdots 8$)
• $\text{ƯCLN}(80, 10) = \mathbf{10}$ (vì $80 \vdots 10$)
• $\text{ƯCLN}(12, 36) = \mathbf{12}$ (vì $36 \vdots 12$)
• $\text{ƯCLN}(80, 10) = \mathbf{10}$ (vì $80 \vdots 10$)
• $\text{ƯCLN}(12, 36) = \mathbf{12}$ (vì $36 \vdots 12$)
🌟
Trường hợp 2: Với mọi số tự nhiên $a$: $\text{ƯCLN}(a, 1) = 1$.
(Vì ước chung duy nhất của $a$ và $1$ chỉ có số $1$.)
(Vì ước chung duy nhất của $a$ và $1$ chỉ có số $1$.)
💡Mẹo nhanh: Trước khi phân tích thừa số, hãy kiểm tra xem số nhỏ có phải ước của số lớn không. Nếu có → ƯCLN chính là số nhỏ, không cần phân tích.
4
Cách 1 — Tìm ƯCLN bằng phân tích thừa số
▼
1
Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2
Chọn các thừa số nguyên tố chung (xuất hiện ở tất cả các số).
3
Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN.
🔑Khẩu quyết ƯCLN: "Phân tích – Chọn chung – Mũ nhỏ nhất".
Ví dụ: Tìm $\text{ƯCLN}(36, 84)$
Bước 1 — Phân tích:
$36$
$= \;$$2^2$$ \cdot $$3^2$
$84$
$= \;$$2^2$$ \cdot $$3$$ \cdot 7$
Bước 2 — Thừa số chung:
Cả hai số đều có $2$ và $3$ (nhưng $7$ chỉ có ở $84$, và $5$ không có ở cả hai).
Bước 3 — Lấy số mũ nhỏ nhất:
• $2$: mũ nhỏ nhất là $\mathbf{2}$ (cả hai đều là $2^2$) → $2^2$
• $3$: mũ nhỏ nhất là $\mathbf{1}$ (ở $84$ là $3^1$) → $3$
• $3$: mũ nhỏ nhất là $\mathbf{1}$ (ở $84$ là $3^1$) → $3$
$\text{ƯCLN}(36, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12$
5
Cách 2 — Thuật toán Ơ-clit (Euclid)
▼
Đây là phương pháp rất hiệu quả, đặc biệt với các số lớn khó phân tích ra thừa số nguyên tố.
🔑
Cách làm:
• Lấy số lớn chia cho số nhỏ, tìm số dư $r$.
• Nếu $r = 0$ → số nhỏ chính là ƯCLN.
• Nếu $r \neq 0$ → lấy số chia chia cho số dư, lặp lại đến khi được dư $= 0$.
• Số chia cuối cùng (khi dư bằng $0$) chính là ƯCLN.
• Lấy số lớn chia cho số nhỏ, tìm số dư $r$.
• Nếu $r = 0$ → số nhỏ chính là ƯCLN.
• Nếu $r \neq 0$ → lấy số chia chia cho số dư, lặp lại đến khi được dư $= 0$.
• Số chia cuối cùng (khi dư bằng $0$) chính là ƯCLN.
Ví dụ 1: Tìm $\text{ƯCLN}(126, 18)$
B1
$126 : 18 = 7$ dư $0$
Dư bằng $0$ ngay lần đầu → số chia cuối cùng là $18$.
$\text{ƯCLN}(126, 18) = 18$
Ví dụ 2: Tìm $\text{ƯCLN}(186, 16)$
B1
$186 : 16 = 11$ dư $10$
B2
$16 : 10 = 1$ dư $6$
B3
$10 : 6 = 1$ dư $4$
B4
$6 : 4 = 1$ dư $2$
B5
$4 : 2 = 2$ dư $0$
Dư bằng $0$ ở bước cuối → số chia cuối cùng là $2$.
$\text{ƯCLN}(186, 16) = 2$
💡Ý tưởng: Nếu $a : b$ dư $r$ thì $\text{ƯCLN}(a, b) = \text{ƯCLN}(b, r)$. Ta cứ "tịnh tiến" như vậy cho đến khi dư bằng $0$.
6
Tìm tập ước chung từ ƯCLN
▼
🎯
Nguyên tắc: Tập $\text{ƯC}(a, b)$ chính là tập các ước của $\text{ƯCLN}(a, b)$.
$$\text{ƯC}(a, b) = \text{Ư}(\text{ƯCLN}(a, b))$$
$$\text{ƯC}(a, b) = \text{Ư}(\text{ƯCLN}(a, b))$$
Ví dụ: Tìm $\text{ƯC}(36, 84)$
Bước 1: Tìm $\text{ƯCLN}(36, 84) = 12$ (đã tính ở Card 4).
Bước 2: Tìm $\text{Ư}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$.
Bước 2: Tìm $\text{Ư}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$.
$\text{ƯC}(36, 84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
📝Quan trọng: Không cần liệt kê ước của từng số rồi tìm giao — chỉ cần tìm ước của ƯCLN là đủ! Cách này nhanh hơn nhiều.
7
Phân số tối giản & số nguyên tố cùng nhau
▼
🌟 Phân số tối giản
$\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản $\Leftrightarrow$ $\text{ƯCLN}(a, b) = 1$
📐Khi $\text{ƯCLN}(a, b) = 1$, ta nói $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ: $4$ và $9$ là hai số nguyên tố cùng nhau (vì $\text{ƯCLN}(4, 9) = 1$), dù cả hai không phải số nguyên tố.
Ví dụ: $4$ và $9$ là hai số nguyên tố cùng nhau (vì $\text{ƯCLN}(4, 9) = 1$), dù cả hai không phải số nguyên tố.
Cách rút gọn về phân số tối giản
Bước 1: Tìm $\text{ƯCLN}$ của tử và mẫu.
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN đó.
Phân số thu được là phân số tối giản.
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN đó.
Phân số thu được là phân số tối giản.
Ví dụ: Rút gọn $\dfrac{24}{40}$
Bước 1: $\text{ƯCLN}(24, 40) = 8$
24
40
24 : 8
40 : 8
3
5
Kiểm tra: $\text{ƯCLN}(3, 5) = 1$ $\Rightarrow$ $\dfrac{3}{5}$ là phân số tối giản ✓
⚠️Sai lầm thường gặp: Rút gọn chưa hết.
Ví dụ: $\dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{9}$ rồi dừng lại ← SAI! $\dfrac{6}{9}$ chưa tối giản, còn chia được cho $3$: $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
Cách nhanh: chia luôn cho $\text{ƯCLN}(12, 18) = 6$ → $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$.
Ví dụ: $\dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{9}$ rồi dừng lại ← SAI! $\dfrac{6}{9}$ chưa tối giản, còn chia được cho $3$: $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
Cách nhanh: chia luôn cho $\text{ƯCLN}(12, 18) = 6$ → $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$.
1
—
Điểm: 0/25
🔗
Khám phá ƯC & ƯCLN!
25 câu: 19 trắc nghiệm · 3 tư duy · 3 tự luận
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du