Tập Hợp Các Số Thực $\mathbb{R}$
Số thực, trục số thực, so sánh và giá trị tuyệt đối
Qua các bài học trước, ta đã biết:
Mối quan hệ giữa các tập hợp số:
$\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$
Các tập hợp số đã biết:
$0; 1; 2; 3; \ldots$
$\ldots; -2; -1; 0; 1; 2; \ldots$
$\dfrac{1}{2}; -0{,}75; 2{,}(3); \ldots$
$\sqrt{2}; \pi; \sqrt{15}; \ldots$
• Mỗi số thực $a$ đều có số đối, kí hiệu $-a$.
• Trong tập số thực có đầy đủ các phép toán (+, −, ×, ÷) với các tính chất giống số hữu tỉ.
Cách viết nào sau đây đúng:
$\sqrt{3} \in \mathbb{Q}$; $\quad \pi \in \mathbb{I}$; $\quad 12 \in \mathbb{R}$?
Ta đã biết mọi số hữu tỉ đều biểu diễn được trên trục số. Các số vô tỉ cũng biểu diễn được trên trục số.
• Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.
• Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.
• Các số thực lấp đầy trục số → trục số còn gọi là trục số thực.
• Các điểm bên trái gốc $O$ biểu diễn số âm.
• Các điểm bên phải gốc $O$ biểu diễn số dương.
• Điểm $O$ biểu diễn số $0$.
Mọi số thực đều viết được dưới dạng số thập phân, nên ta so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số thập phân: so sánh từng chữ số từ trái sang phải.
Tính chất bắc cầu: Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.
🔑 Tính chất quan trọng với căn bậc hai:
→ Tính chất này giúp so sánh căn bậc hai số học với nhau hoặc với một số nguyên.
Ta có: $3 = \sqrt{9}$ (vì $3^2 = 9$).
Vì $7 < 9$ nên $\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$.
Vậy $\sqrt{7} < 3$.
So sánh $1{,}414233\ldots$ và $1{,}(42)$.
Phần nguyên bằng nhau ($1$). Chữ số phần mười bằng nhau ($4$). Chữ số phần trăm: $1 < 2$.
Vậy $1{,}414233\ldots < 1{,}(42)$.
Công thức:
Tính chất quan trọng:
Khi giải phương trình có giá trị tuyệt đối, ta dựa vào tính chất: hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối.
• Nếu $b < 0$ → phương trình vô nghiệm (vì $|A| \geq 0$).
• Nếu $b = 0$ → chỉ có một nghiệm: $A = 0$.
🔵 Bài toán nâng cao — Tìm GTNN, GTLN:
Dựa vào tính chất $|A| \geq 0$:
• Dấu "$=$" xảy ra khi $\dfrac{3}{5} - x = 0$, tức $x = \dfrac{3}{5}$.
→ $A_{\min} = \dfrac{1}{9}$ khi $x = \dfrac{3}{5}$.
• $\mathbb{R}$ = $\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$: tập hợp các số thực.
• Quan hệ: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ và $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$.
• Trục số thực: mỗi điểm là một số thực và ngược lại.
• So sánh: theo cách so thập phân; với căn dùng $0 < a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$.
• $|a|$: khoảng cách từ $a$ đến $O$. $|a| \geq 0$ luôn.
• Phương trình $|A| = b$ ($b \geq 0$): $A = \pm b$.
Luyện tập số thực $\mathbb{R}$!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du