Menu Học Tập

Bài tập toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (20 bài tập)

Lớp 7 · Toán Bài 32

Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên

Đường vuông góc là đường ngắn nhất — Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

1
Khái niệm đường vuông góc và đường xiên
▼

Cho điểm $A$ không nằm trên đường thẳng $d$. Từ $A$ ta kẻ đường thẳng vuông góc với $d$ tại $H$. Sau đó lấy thêm một điểm $M$ bất kỳ trên $d$ (với $M \neq H$).

Đường vuông góc AH và đường xiên AM từ điểm A đến đường thẳng d
$AH \perp d$ tại $H$ — $AM$ là đường xiên (với $M$ khác $H$)
⊥Đường vuông góc $AH$
Đoạn thẳng $AH$ kẻ từ $A$ đến đường thẳng $d$, vuông góc với $d$ tại $H$, gọi là đường vuông góc (hay đoạn vuông góc) kẻ từ $A$ đến $d$. Điểm $H$ gọi là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $d$.
/Đường xiên $AM$
Lấy điểm $M$ bất kỳ trên $d$ ($M \neq H$). Đoạn thẳng $AM$ gọi là một đường xiên kẻ từ $A$ đến đường thẳng $d$.
📌Lưu ý quan trọng:
• Từ một điểm nằm ngoài đường thẳng, kẻ được duy nhất một đường vuông góc.
• Nhưng kẻ được vô số đường xiên (mỗi điểm $M$ khác $H$ trên $d$ sẽ cho một đường xiên).
2
Định lí: Đường vuông góc là đường ngắn nhất
▼

Câu hỏi đặt ra: trong các đoạn thẳng kẻ từ $A$ đến đường thẳng $d$ (gồm 1 đường vuông góc và rất nhiều đường xiên), đoạn nào ngắn nhất?

Suy luận: Xét tam giác $AHM$:

1
Vì $AH \perp d$ tại $H$ nên $\widehat{AHM} = 90°$ → tam giác $AHM$ vuông tại $H$.
2
Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất → cạnh đối diện góc vuông là cạnh lớn nhất.
3
Cạnh đối diện $\widehat{H}$ là cạnh $AM$ → $AM > AH$.
4
Vì điều này đúng với mọi điểm $M \neq H$ trên $d$, ta có định lí sau.
📐 ĐỊNH LÍ
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
$AH < AM \quad (\forall M \in d,\ M \neq H)$
💡Hiểu bản chất: Định lí này chính là hệ quả của bài 31 (cạnh đối diện góc lớn nhất là cạnh lớn nhất). Trong tam giác vuông $AHM$, vì $\widehat{H} = 90°$ là góc lớn nhất nên cạnh huyền $AM$ là lớn nhất, tức $AH$ luôn bé hơn $AM$.
Ví dụ — Bạn Minh ở hồ bơi

Bạn Minh xuất phát từ điểm $M$ ở giữa hồ. Bạn ấy muốn bơi đến thành hồ đối diện $AD$ theo đường ngắn nhất. Phải bơi theo đường nào?

Bạn Minh bơi từ điểm M trong hồ đến thành hồ AD - đường vuông góc là đường ngắn nhất
Đường vuông góc (xanh) ngắn hơn mọi đường xiên (xám)

Theo định lí, đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AD$ là ngắn nhất. Vậy Minh phải bơi theo đường vuông góc với thành hồ.

3
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
▼

Vì đường vuông góc $AH$ là đoạn ngắn nhất kẻ từ $A$ đến $d$, người ta lấy độ dài đoạn này làm đại lượng đặc trưng cho "khoảng cách" giữa $A$ và $d$.

📏 KHÁI NIỆM KHOẢNG CÁCH
Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ là độ dài đoạn vuông góc $AH$ kẻ từ $A$ đến $d$.
$\text{khoảng cách}(A, d) = AH$
📌Quy ước: Khi điểm $A$ nằm trên đường thẳng $d$, khoảng cách từ $A$ đến $d$ bằng $0$.

Ứng dụng quan trọng — Chiều cao tam giác:

🎯Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh chính là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó. Đây là khái niệm xuất hiện rất nhiều trong các bài toán hình học.
Ví dụ — Hình vuông $ABCD$ cạnh $3$ cm, $M$ trên cạnh $BC$
Hình vuông ABCD cạnh 3 cm với điểm M trên cạnh BC, AM là đường xiên

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \perp BC$. Do đó:

  • Đường vuông góc từ $A$ đến đường thẳng $BC$ là $AB$.
  • Đường xiên từ $A$ đến $BC$ là $AM$ (và $AC$).

b) Theo định lí: $AB < AM$.

c) Khoảng cách từ $D$ đến đường thẳng $AB$: vì $AD \perp AB$, chân đường vuông góc là $A$, nên khoảng cách $= DA = $ $3$ cm.

4
Tổng kết & Cách làm bài
▼

Bảng so sánh nhanh:

Khái niệmĐặc điểm
Đường vuông góc $AH$Đoạn nối $A$ với chân đường vuông góc $H$ trên $d$. Tạo góc $90°$ với $d$. Duy nhất.
Đường xiên $AM$Đoạn nối $A$ với điểm $M \neq H$ trên $d$. Vô số đường xiên.
Định lí cốt lõi$AH < AM$ — đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên.
Khoảng cách từ $A$ đến $d$Bằng độ dài đoạn vuông góc $AH$.

Quy trình giải bài chuẩn:

1
Xác định điểm và đường thẳng cần xét.
2
Tìm đường vuông góc: đoạn có ký hiệu góc vuông (hoặc dữ kiện $\perp$) tại chân.
3
Các đoạn còn lại kẻ từ điểm đó đến đường thẳng đều là đường xiên.
4
Áp dụng định lí: đường vuông góc < mọi đường xiên → kết luận.
Quy tắc vàng: "Vuông góc luôn ngắn nhất". Bất kể hình vẽ phức tạp thế nào, chỉ cần xác định được đường vuông góc thì nó chắc chắn ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ cùng điểm đến cùng đường thẳng.
📚
Xem đầy đủ lý thuyết & các dạng toán
Bài viết chi tiết kèm sai lầm thường gặp, mẹo giải nhanh và bài tập mở rộng.
→
1
—
Điểm: 0/20
⊥

Luyện đường vuông góc & đường xiên!

20 câu · 5 dạng · 16 trắc nghiệm + 4 tự luận

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập toán 7 Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác (20 bài tập) ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương (20 bài tập) ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác (20 bài tập) ( 28/04 )