Lớp 7 · Toán
Bài 34
Sự Đồng Quy Của Ba Đường Trung Tuyến, Ba Đường Phân Giác Trong Tam Giác
Đường trung tuyến · Trọng tâm · Đường phân giác · Điểm cách đều ba cạnh
1
Đường trung tuyến của tam giác
▼
Định nghĩa – Đường trung tuyến
Đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến của tam giác.
Ví dụ minh hoạ
Trong tam giác $ABC$, nếu $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ thì đoạn thẳng $AM$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ (hay ứng với cạnh $BC$). Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến (ứng với ba đỉnh).
Hình minh hoạ: tam giác $ABC$ với đường trung tuyến $AM$, $M$ là trung điểm $BC$
2
Trọng tâm – Tính chất ba đường trung tuyến
▼
Định lí 1
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (đồng quy). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Nếu các trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$ đồng quy tại $G$ thì:
Nếu các trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$ đồng quy tại $G$ thì:
$\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{GB}{NB} = \dfrac{GC}{PC} = \dfrac{2}{3}$
Điểm $G$ được gọi là trọng tâm của tam giác.
Hình minh hoạ: ba đường trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$ đồng quy tại trọng tâm $G$
Hệ quả quan trọng
Từ $GA = \dfrac{2}{3}\cdot MA$ suy ra $GM = MA - GA = \dfrac{1}{3}\cdot MA$, do đó $GA = 2\cdot GM$.
Tức là trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần: phần từ đỉnh gấp đôi phần từ trung điểm cạnh đối diện.
Tức là trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần: phần từ đỉnh gấp đôi phần từ trung điểm cạnh đối diện.
🔑 Cách tìm trọng tâm
Chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến, giao điểm của chúng chính là trọng tâm (không cần vẽ đường thứ ba vì nó chắc chắn đi qua điểm đó).
💡 Ví dụ
Cho tam giác $ABC$ với $AM$ là trung tuyến, $G$ là trọng tâm. a) Chứng minh $GA = 2GM$. b) Biết $GM = 3$ cm, tính $GA$ và $MA$.
a)Vì $G$ là trọng tâm nên $\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{2}{3}$, hay $GA = \dfrac{2}{3}\cdot MA$.
Ta có $GM = MA - GA = MA - \dfrac{2}{3}\cdot MA = \dfrac{1}{3}\cdot MA$.
Vậy $GA = \dfrac{2}{3}\cdot MA = 2\cdot\left(\dfrac{1}{3}\cdot MA\right) = 2\cdot GM$.
b)$GA = 2\cdot GM = 2\cdot 3 = 6$ (cm); $MA = GA + GM = 6 + 3 = 9$ (cm).
3
Đường phân giác – Điểm cách đều ba cạnh
▼
Định nghĩa – Đường phân giác
Trong tam giác $ABC$, tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D$ thì đoạn thẳng $AD$ được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh $A$) của tam giác $ABC$. Mỗi tam giác có ba đường phân giác (ứng với ba góc).
Định lí 2
Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Nếu các phân giác $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại $I$ thì:
Nếu các phân giác $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại $I$ thì:
$IH = IK = IL$
(với $IH$, $IK$, $IL$ lần lượt là khoảng cách từ $I$ đến ba cạnh $BC$, $AC$, $AB$).
Hình minh hoạ: ba đường phân giác đồng quy tại $I$, với $IH = IK = IL$
🔑 Cách tìm điểm cách đều ba cạnh
Chỉ cần vẽ hai đường phân giác, giao điểm của chúng chính là điểm cách đều ba cạnh (đường phân giác thứ ba chắc chắn đi qua điểm đó).
💡 Ví dụ – Tam giác cân
Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$.
Gọi $I$ là giao điểm ba đường phân giác, $M$ là giao điểm của đường thẳng $AI$ với $BC$.
Xét hai tam giác $ABM$ và $ACM$ có: $AB = AC$ (gt); $AM$ chung; $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (do $AI$ là phân giác góc $\widehat{BAC}$).
Do đó $\triangle ABM = \triangle ACM$ (c.g.c). Suy ra $BM = CM$, tức $M$ là trung điểm $BC$.
Vậy $AI$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.
4
Dạng 1: Tính độ dài liên quan đến trọng tâm
▼
🔧 Phương pháp – Ba tỉ số cần nhớ
Với trọng tâm $G$ và trung tuyến $AM$:
$GA = \dfrac{2}{3}\cdot AM \qquad GM = \dfrac{1}{3}\cdot AM \qquad GA = 2\cdot GM$
Biết một trong ba đại lượng ($GA$, $GM$, $AM$) thì tính được hai đại lượng còn lại.
💡 Ví dụ 1 & 2
VD1: Tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $AM$ là trung tuyến, $AM = 15$ cm. Tính $AG$.
VD2: Tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $CN$ là trung tuyến, $GN = 6$ cm. Tính $CN$.
VD2: Tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $CN$ là trung tuyến, $GN = 6$ cm. Tính $CN$.
VD1.$AG = \dfrac{2}{3}\cdot AM = \dfrac{2}{3}\cdot 15 = 10$ (cm).
VD2.$GN = \dfrac{1}{3}\cdot CN$ nên $CN = 3\cdot GN = 3\cdot 6 = 18$ (cm).
💡 Ví dụ 3 & 4
VD3: Tam giác $ABC$ có trung tuyến $BN$, $G$ là trọng tâm, $GN = 1$ cm. Tính $GB$ và $NB$.
VD4: Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có hai trung tuyến $BE$ và $CD$ cắt nhau tại $F$, $BE = 9$ cm. Tính $DF$.
VD4: Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có hai trung tuyến $BE$ và $CD$ cắt nhau tại $F$, $BE = 9$ cm. Tính $DF$.
VD3.$GB = 2\cdot GN = 2\cdot 1 = 2$ (cm); $NB = GB + GN = 2 + 1 = 3$ (cm).
VD4.Vì tam giác cân tại $A$ nên $\triangle ABE = \triangle ACD$ (c.g.c), suy ra $BE = CD = 9$ cm.
$F$ là trọng tâm nên $DF = \dfrac{1}{3}\cdot CD = \dfrac{1}{3}\cdot 9 = 3$ (cm).
5
Dạng 2: Đường phân giác & điểm cách đều ba cạnh
▼
🔧 Phương pháp
• Giao điểm ba đường phân giác là điểm cách đều ba cạnh → khoảng cách từ điểm đó đến ba cạnh bằng nhau.
• Biết khoảng cách đến một cạnh → suy ra khoảng cách đến hai cạnh còn lại.
• Khi hai đường phân giác cắt nhau tại $I$, đường nối đỉnh thứ ba qua $I$ chắc chắn là đường phân giác thứ ba (do ba đường phân giác đồng quy).
• Biết khoảng cách đến một cạnh → suy ra khoảng cách đến hai cạnh còn lại.
• Khi hai đường phân giác cắt nhau tại $I$, đường nối đỉnh thứ ba qua $I$ chắc chắn là đường phân giác thứ ba (do ba đường phân giác đồng quy).
💡 Ví dụ 1
$I$ là giao điểm ba đường phân giác của tam giác $ABC$. a) Biết $IM = 6$ cm ($IM \perp BC$). Tính $IK$ ($IK \perp AC$) và $IN$ ($IN \perp AB$). b) Biết $IN = x + 3$ và $IM = 2x - 3$. Tìm $x$.
a)Vì $I$ cách đều ba cạnh nên $IM = IN = IK = 6$ cm. Vậy $IK = IN = 6$ cm.
b)Vì $I$ cách đều ba cạnh nên $IM = IN$: $2x - 3 = x + 3 \Rightarrow 2x - x = 3 + 3 \Rightarrow x = 6$.
💡 Ví dụ 2
Tam giác $ABC$ có hai đường phân giác $AM$, $BN$ cắt nhau tại $I$. Hỏi $CI$ có là đường phân giác của góc $C$ không?
Theo Định lí 2, ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.
Vì $I$ là giao điểm của hai đường phân giác $AM$ và $BN$ nên $I$ cũng nằm trên đường phân giác thứ ba.
Vậy $CI$ là đường phân giác của góc $C$.
6
Dạng 3: Tam giác cân với trung tuyến & phân giác
▼
Tính chất tam giác cân tại $A$ ($AB = AC$)
• Đường phân giác từ đỉnh $A$ đồng thời là đường trung tuyến và đường cao.
• Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
• Hai đường phân giác ứng với hai góc đáy bằng nhau.
• Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
• Hai đường phân giác ứng với hai góc đáy bằng nhau.
🔧 Cách chứng minh thường dùng
Chỉ ra hai tam giác bằng nhau (c.g.c hoặc c.c.c) → suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
💡 Ví dụ 1 – Hai trung tuyến bằng nhau
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BM$ và $CN$ là hai đường trung tuyến. Chứng minh $BM = CN$.
Tam giác cân tại $A$ nên $AB = AC$ và $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.
$M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $AB$ nên $CM = \dfrac{1}{2}AC$, $BN = \dfrac{1}{2}AB$. Vì $AB = AC$ nên $CM = BN$.
Xét $\triangle MCB$ và $\triangle NBC$ có: $MC = NB$; $\widehat{MCB} = \widehat{NBC}$; $BC$ chung.
Do đó $\triangle MCB = \triangle NBC$ (c.g.c), suy ra $BM = CN$.
💡 Ví dụ 2 – Phân giác hai góc đáy
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Tia phân giác của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$. Tia $AM$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh $H$ là trung điểm của $BC$.
Tam giác cân tại $A$ nên $AB = AC$. $M$ là giao điểm hai phân giác nên $AM$ là phân giác góc $\widehat{BAC}$ (ba phân giác đồng quy).
Suy ra $\widehat{HAB} = \widehat{HAC}$.
Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$ có: $AB = AC$; $\widehat{HAB} = \widehat{HAC}$; $AH$ chung.
Do đó $\triangle AHB = \triangle AHC$ (c.g.c), suy ra $HB = HC$.
Vì $H$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $H$ là trung điểm của $BC$.
7
Sai lầm thường gặp & Tổng kết
▼
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Trọng tâm chia trung tuyến thành hai phần bằng nhau | Trọng tâm chia theo tỉ lệ $2:1$ tính từ đỉnh. Phần từ đỉnh gấp đôi phần còn lại. |
| Tính $GA = \dfrac{1}{3}\cdot MA$ | Sai! $GA = \dfrac{2}{3}\cdot MA$. Phần $\dfrac{1}{3}$ là $GM$ (từ trọng tâm đến trung điểm cạnh). |
| Giao điểm ba phân giác cách đều ba đỉnh | Cách đều ba cạnh, không phải ba đỉnh. |
| Tam giác bất kỳ, phân giác cũng là trung tuyến | Chỉ đúng trong tam giác cân (phân giác từ đỉnh cân) hoặc tam giác đều. |
| Phải vẽ đủ ba đường mới tìm được điểm đồng quy | Chỉ cần vẽ hai đường, giao điểm của chúng đã là điểm đồng quy. |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Mẹo giải nhanh
• Ba tỉ số trọng tâm: $\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{2}{3}$; $\dfrac{GM}{MA} = \dfrac{1}{3}$; $\dfrac{GM}{GA} = \dfrac{1}{2}$. Biết một đoạn → nhân/chia để tìm hai đoạn còn lại.
• Tam giác cân tại $A$: phân giác từ $A$ = trung tuyến từ $A$ = đường cao từ $A$.
• Giao điểm phân giác: cách đều ba cạnh → viết $IH = IK = IL$ rồi giải.
• Tam giác cân tại $A$: phân giác từ $A$ = trung tuyến từ $A$ = đường cao từ $A$.
• Giao điểm phân giác: cách đều ba cạnh → viết $IH = IK = IL$ rồi giải.
Tổng kết
• Đường trung tuyến nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện; ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm $G$ với $\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{GB}{NB} = \dfrac{GC}{PC} = \dfrac{2}{3}$.
• Đường phân giác: ba đường phân giác đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh.
• Trong tam giác cân tại $A$: đường phân giác từ đỉnh $A$ đồng thời là đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh đáy $BC$.
• Đường phân giác: ba đường phân giác đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh.
• Trong tam giác cân tại $A$: đường phân giác từ đỉnh $A$ đồng thời là đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh đáy $BC$.
1
—
Điểm: 0/20
🎯
Luyện tập Trung tuyến & Phân giác!
20 câu · 4 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/20
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du